新課程背景下概率與統計的變式教學探析

李 健

(江蘇省外國語學校 215104)

1 問題提出

正如美國科學院院士C．R．勞所說:“在抽象的意義下，一切科學都是數學；在理性的基礎上，所有的判斷都是統計”，步入大數據時代以來，社會、經濟、科技等領域的發展與數學尤其是概率統計學的研究和應用實現了深度融合．與此同時，《普通高中數學課程標準(2017年版)》(簡稱《課標》)也對概率與統計的學科價值和教育價值進行了深度挖掘，并對高中數學教學提出了新的要求[1]．然而筆者注意到，“概率和統計”——這個“獨具個性”的數學分支——雖然成為了新課程體系中一個突出的獨立主題，但在目前實際教學中其概念內涵和學科本質往往會被忽視，甚至存在“機械記憶”的現象，這有悖于新課程提出的“為學生的可持續性發展和終身學習創造條件”的要求．基于此，筆者結合教學實際，希冀借助變式教學這一有效途徑進行分析和探討，在開展概率統計教學時逐步理解和落實新課程理念．

2 “概率與統計”的新課程背景簡析

2.1 對學科內容要求的解讀

作為新課程體系中的“四大主線”之一，“概率與統計”貫穿于“必修”、“選擇性必修”以及“選修”三個階段的課程中，其中，“必修”和“選擇性必修”涵蓋了“計數原理”、“概率”、“統計”3個模塊5個單元的內容(詳見表1)．相比較2003年頒布的《課標(實驗)》而言，《課標》主要有三個方面的變化或調整，一是在結構調整上，主要體現在“隨機事件的獨立性”由選擇性必修調整至必修，而“變量的相關性”則由必修調整到選擇性必修；二是在內容變化上，主要集中在必修課程內“隨機事件和概率”以及“抽樣”兩個知識點中；三是在教學要求上，更加強調了“古典概型”的作用以及對“統計本質”的理解[2]．這些變化和調整恰好為變式教學的實施提供了可操作空間．

2.2 從核心素養的視域分析

《課標》對該主題的學業要求是重點提升“數據分析”、“數學建模”、“邏輯推理”、“數學運算”和“數學抽象”等5項數學學科素養(詳見表1)．不難看出，這5項學科素養是按照關聯度“從高到低”的順序排列的．作為統計學的核心內容，“數據分析”必然成為概率統計學習過程中所逐步形成的最關鍵能力；而在《課標》中，“實例”作為高頻詞在本主題中出現了高達20次，這充分說明了概率和統計模型是落實開展數學建模學習活動的重要載體[3]．所以，在日常教學中，我們要面向實際背景，讓學生學會從數據思維的角度去發現、提出、分析和解決問題，即在概率統計的課程教學中，重點聚焦“數據分析”、“數學建模”這兩項數學學科核心素養的形成與發展，同時兼顧“邏輯推理”、“數學運算”和“數學抽象”三項素養的滲透與培養，幫助學生逐步提升“四能”，把握數學本質．

表1

3 變式教學的案例實施探析

3.1 通過“概念性變式”多維度認知概念內涵

對核心概念內涵的理解是建構知識體系的關鍵，《課標》基于學生已有的知識儲備，增設了“同邏輯、類屬性”的概念，讓學生自發地將舊的知識與新的概念有效地拼接與融合，促進學生知識的縱向遷移和多角度認知，動態地對體系中的核心概念加以深度理解．這本質上就是“概念性變式”，即“用不同形式的直觀材料或具體事例說明概念的本質屬性, 或變換同類事物的非本質特征以突出概念的本質特征[4]．”

案例1《課標》增加了新概念——“樣本點及有限樣本空間”，它的引入讓我們可以用集合的語言去刻畫“事件的關系及運算”，從而能夠從集合的角度去審視概率問題．以2019年人教版《普通高中教科書·數學·必修·第二冊》(簡稱《必修二》)P230-231的內容為例，正是利用了學生所熟悉的“集合”的相關知識，來類化新增內容——“事件的關系和運算”的概念，同時借助Venn圖從“數和形”的角度幫助學生深度認知其概念內涵．這既是“化歸”和“數形結合”思想方法的體現，也是“概念性變式”實效的彰顯．

圖1

概念的內涵與外延對立且統一[4]，即概念有了明確的內涵則其外延就有了清晰的界定，反之亦然．所以深化概念可以通過厘清與其“周邊概念”的界限來達到突出其本質屬性的目的．

案例2《課標》將“古典概型”列為概率教學體系中的重要概念，而作為古典概型問題必備特性的“等可能性”往往是學生的初識“盲點”，因此強化“在具體問題情境中判斷樣本點的等可能性”是教學重點，此處可借助生活中的實例——彩票中獎概率問題——設計一個對比性較強的“非概念”示例來進行概念性變式教學(詳見表2)，再與《必修二》第236頁例8的兩個“思考”相銜接，歸納出求解古典概型問題的一般思路，達到深化理解“古典概型”內涵的目的．

表2

3.2 通過“過程性變式”多層次建構知識體系

《課標》對概率和統計的概念要求做了較大的調整，與其他模塊相比較，并沒有刻意強調對其概念的認知，取而代之的是強調在對相關知識的實踐過程中感悟性質、掌握方法．在《必修二》中，對兩個概念的描述主要以章首語中的概述為主，以概率為例，其中有兩個顯性的變化：一是“概率”的定義沒有像以往教材一樣設置在本章首節，而是以“有限樣本空間”為起點進行了兩節內容的鋪墊，直到第三節“古典概型”才給出了明確定義；二是沒有從“頻率”的角度去詮釋概率的定義，僅從“概率是對隨機事件可能性大小的量化”這一層面進行了表述，是對章首語的呼應．而上述變化，正是教師在實施教學時需要調整的聚焦點，采用“過程性變式”有助于在概念辨析中揭示兩者的區別與聯系，更有助于在情景化中建構概率與統計的知識體系．

根據數學活動過程具有層次性的基本特征，“過程性變式”包含了深化認知的一系列策略與途徑，旨在形成不同概念之間的層次關系或獲得多種方法[4]．同作為量化隨機現象規律性的兩個概念，概率與統計在研究方向、推理方法和判斷準則上均有差異(圖2)[6]，針對這個特點，筆者設計了以“失蹤的彈孔”為情境的過程性變式：

圖2

案例3師：二戰中，為了提高飛機的防御效能，在盡量減少對飛機機動性影響的前提下，美國軍方決定在飛機最需要防護、受攻擊概率最高的部位增加裝甲，他們根據戰斗后返程飛機各部位的彈孔分布，給相關的統計研究小組提供了如下數據(見表3)，如果你是小組成員，你會建議在飛機的哪個部位增加裝甲呢？

表3

生：應該在彈孔出現頻率最多的機身部位進行加固．

師：但是當時研究小組中的數學家亞伯拉罕·瓦爾德可不這么認為，他給出的建議是“加固裝甲中彈頻率最低的位置——引擎.”大家可以交流思考下，這是什么原因？(拋出變式情境，引導學生思考)

生：(討論交流，思考探究)從概率學角度分析，飛機各部位中彈的幾率應是均等的，然而實際出現這么大偏差，是因為這一統計數據源自于能夠返航的“幸存者”．因此，我們可以得出結論——引擎中彈為致命傷，這些飛機無法返回導致了引擎上的彈孔大量“失蹤”．

師：很好！從上述事例中你感悟到什么了嗎？

生：概率學中的結論是確定的理論值，它對統計學的應用有著很重要的判斷和指導作用．

師：(因勢利導，實施變式)很好！大家都知道在統計學中，我們常用“頻率”來度量隨機現象變化規律，例如表3中數據就可以轉化為“飛機各部位的中彈頻率”，大家不妨結合頻率的概念談一談統計對概率的研究有著怎樣的意義？

生：統計出來的頻率是具有隨機性的實驗值，通過大量重復的實驗可以用頻率去估計概率，例如著名的“拋硬幣實驗”就很好地說明了“頻率的穩定值可以作為概率的近似值”的基本事實．

師：非常好！所以我們可以通過統計學中得出的數據，幫助我們建立相應的概率模型或者驗證某個概率模型是否合理．

由此可見，“過程性變式”中所蘊含的動態思辨更有利于學生自發地厘清概率與統計之間的“血緣關系”，可以更有效地幫助學生在形成概念的過程中構建知識體系．

3.3 通過“解題型變式”多途徑把握學科本質

近幾年的高考概率統計題中，愈發明顯地突出理論聯系實際的導向[5]．情景創設更趨于真實、模型設計更加精致、題型設置也更為多元，這充分體現了高考的導向——概率統計的解題教學應側重于現實意義下的對知識的理解掌握．例如《課標》明確要求通過具體的實例了解、掌握“超幾何分布”和“二項分布”，而學生在剛接觸“超幾何分布”時，往往會與之前所學的“二項分布”混淆，我們可設置下述“解題型變式”，以幫助學生將兩種分布融合到現實情境中辨析異同、感悟內涵．

案例4(2021蘇州高三期初調研第18題)隨著視頻傳輸和移動通信技術的日益成熟、以及新冠疫情的推動，直播+電商的模式正在全球范圍內掀起熱潮．目前，國際上Amazon、Rakuten等電商平臺和以Facebook為代表的社交類平臺都紛紛上線了直播電商業務；在國內，淘寶、京東、抖音、拼多多、蘇寧等眾多平臺都已成為該賽道內的玩家．根據中研產業研究院《2020—2025年中國直播電商行業市場深度分析及投資戰略咨詢研究報告》顯示，2020年上半年，“直播經濟”業態主要崗位的人才達到2019年同期的2.4倍；2020年“6．18”期間，帶貨主播和直播運營兩大崗位高達去年同期的11.6倍．針對這一市場現象，為了加強監管，相關管理部門推出了針對電商的商品和服務的評價體系．現從評價系統中選出200次成功交易，并對其評價進行統計，對商品的好評率為0.6，對服務的好評率為0.75，其中對商品和服務都做出好評的交易為80次．

(1)請完成關于商品和服務評價的2×2列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為商品好評與服務好評有關？(附表略)

對服務好評對服務不滿意合計對商品好評80對商品不滿意10合計200

(2)(原題)若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的3次購物中，設對商品和服務全為好評的次數為隨機變量X，求對商品和服務全為好評的次數X的分布列和數學期望．

(變式)以“評價系統中選出的200次成功交易”作為研究對象，從中隨機抽取3次交易，記這3次交易中對商品和服務全為好評的次數為隨機變量X，求X的分布列和數學期望．

師：(一題多變，比對辨析)請大家針對第2問思考下原題與變式的題設有何異同之處．

師：(引導探究，把握本質)很好！不同的統計背景對應不同的概率分布，從上述問題中我們可以解讀出“取后是否放回”、“總體容量大小”以及“是否出現‘用統計數據替代’的表述”是區分“二項分布”和“超幾何分布”的一些關鍵點．那為何上述兩種不同的概率分布期望值卻“殊途同歸”？是巧合嗎？你如何理解的？

師：(回歸教材，多題一解)很不錯的解題思路！事實上該方法還可以推出更為一般性的結論，但需要嚴格的演繹推理去論證，請大家研讀教材(人教A版《選擇性必修3》)78頁至79頁“探究”的內容，深度理解二者的期望為何相等，同時利用上述解決問題的思路去研究例6，理論聯系實際，深層次理解“超幾何分布”和“二項分布”的概念本質．

由該例我們不難窺出，“一題多變”、“一題多解”和“多題一解”等常用的“解題型變式”教學手段，是引導學生分析、解決問題并最終把握數學本質的重要研究方法．

4 結束語

長期的教學實踐證明了“唯‘變’不變”的真理，歷經幾次教改，變式教學一直都扮演著數學教學“催化劑”的重要角色，在概率與統計的學習中，它既是指向數學概念深度學習的有效手段，也是指向培養學生核心素養的重要途徑．隨著這一輪教改逐步走入深水區，變式教學也必將為“加快教學縱深發展、促進學生多向思維”提供更強大的助力．