數學學科核心素養導向的“三角函數”教材內容變革①

張定強 梁會芳 楊 怡

(西北師范大學教育學院 730070)

1 研究背景

數學學科核心素養是落實立德樹人根本任務的重要抓手，是數學課程目標的集中體現.而數學學科核心素養的落實離不開數學教材.新一輪的教材修訂是在貫徹《普通高中數學課程標準(2017年版)》基本理念與要求的基礎上，秉持繼承創新的原則，通過對已有教材的分析思考、調研論證，重新建構了教材的編寫思路與表征方式，力求充分地體現數學學科核心素養.三角函數作為一類典型的周期函數，在高中數學教學內容當中占據著重要地位.本文基于數學學科核心素養導向的視角，通過對比人教社2004年出版的《普通高中數學課程標準實驗教科書數學必修4(A版)》[1](簡稱2004年版)與2019年出版的《普通高中教科書數學必修第一冊(A版)》[2](簡稱2019年版)的“三角函數”內容的變革，以期為數學課程改革中新教材的使用提供一定的參考素材.

2 教材內容變革的對比分析

教材是學生獲取知識的重要來源，也是教師開展有效教學的重要依據.數學教材的編寫必須全面落實立德樹人的基本要求，體現數學學科的育人價值，下面結合兩版教材的結構表征與內容特征，從順序安排、欄目設置、圖表設置、例習題設置、知識要素、素養要素等幾個方面對其進行對比分析[3]，解讀兩版教材在數學核心素養導向下的重要變革.

2.1 教材結構表征分析

2.1.1 編排順序

對新舊兩版教材三角函數內容進行比較分析，其分布情況如表1所示.

表1 新舊教材三角函數部分內容分布情況

2004年版將其安排在必修4，并分兩章呈現，中間間隔一章；2019年版圍繞函數主線對三角函數內容進行系統重構，將所涉及的內容調整到必修第一冊的第五章，與函數的概念、性質、基本初等函數等構成一個整體，更加凸顯了數學知識之間的邏輯連貫性以及思想方法的前后一致性，有助于教師進行“三角函數”主題單元教學設計.

2.1.2 欄目設置

教材中的欄目是表征知識的一種方式，也是體現教材建構特色的一種形式，蘊含著豐富的教育教學價值.對新舊兩版教材欄目設置進行對比分析，結果如表2所示.

表2 新舊教材欄目設置

由表2可知，新舊兩版教材的欄目設置類型豐富，使教材更具趣味性、拓展性與應用性.2019年版新增的“歸納”、“文獻閱讀與數學寫作”、“數學建模”、“數學探究”等欄目，使數學文化、數學建模、數學探究等數學學科核心素養據此落到實處；統計發現，2019年版在三角函數這一內容新增10個“探究”欄目，是2004年版的近2倍，足見2019年版十分注重數學探究思想的滲透，以強化學生的探究意識和創新精神；就欄目的編排順序而言，2019年版對舊版部分欄目的順序進行了適當的調整，如“振幅、周期、頻率、相位”這一閱讀與思考欄目，在修訂的過程中將其后移至“三角函數的應用”一節習題后，更符合學生的數學邏輯思維習慣；就欄目的內容結構來看，2019年版在吸收、繼承舊版經驗的基礎上，適當性地穿插了一些開放性的問題，以引發學生思考，揭示知識所蘊含的數學思想方法，從而拓展學生的思維方式，發展學生的數學核心素養.

2.1.3 圖表設置

圖表作為表征數學知識的重要工具，可以使學生直觀、形象地理解抽象的數學概念與性質.對新舊兩版教材中圖表的設置情況進行統計，結果如表3所示.其中解釋圖是指除函數圖象之外教材中文字描述時作為例子相應出現的圖以及例習題所對應圖形[3].

表3 新舊教材三角函數部分圖表設置

三角函數作為一類典型的周期函數，借助單位圓及其圖象可以更直觀地探究其概念、性質與應用，由表3可以看出，兩版教材在編排的過程中其解釋圖與函數圖占比較大.此外，兩版教材圖表的使用頻率存在一定的差異，2004年版這部分內容分兩章，共96頁，其中課文插圖、習題配圖共81幅，平均圖文比為0.84；而2019年版僅一章，共91頁，其中課文插圖、習題配圖共90幅，平均圖文比高達0.99，2019年版的圖表使用頻率高于舊版，更有助于學生直觀想象素養的發展.

2.1.4 例習題設置

例習題是教材體系的重要組成部分，承擔著鞏固新知與訓練思維的作用.現就新舊教材中的例習題從數量、類型兩個方面進行對比分析.

(1)例習題的數量

對新舊兩版教材三角函數部分例、習題數量進行統計分析，結果如圖1所示.

圖1 新舊教材三角函數部分習題數量統計情況

如圖1表明，2019年版三角函數部分的例習題總量略低于2004年版，是在2004年版例習題的基礎上重新審視與篩選，保留原有習題190道，刪除部分重復、繁瑣、過難、超標的題目68道，新增49道，有效地提高了例習題的針對性與有效性.具體而言，例題作為數學思維的示范引領，在2019年版中，保留原有例題33道，新增7道，刪減7道，并依據實際背景及前后銜接，部分保留題目的數據及內容做了適當的調整；練習題承擔著鞏固知識、反饋教學的功能與作用，2019年版保留原有練習題63道，新增19道，刪減13道，2處合并，并根據這部分內容的學業要求，部分題目的小題數量有所增減；習題承擔著深化理解、拓展知識、學業評價的功能，在此次修訂中，保留原有習題94道，新增23道，刪減48道，18處合并，且習題的層次劃分由原先的“A組”、“B組”變為“復習鞏固”、“綜合運用”、“拓廣探索”三部分，由淺入深，使學生在鞏固練習、綜合應用的基礎上，進一步感悟數學基本思想.總體而言，2019年版例習題系統的容量更加科學、準確，針對性更強.

(2)例習題的類型

教材中多樣的例習題類型不僅可以促進學生鞏固和掌握知識點，而且可以提高學生多方面的數學素養.對新舊兩版教材三角函數部分習題的類型進行統計，結果如表4所示.

表4 新舊教材三角函數部分習題類型分布

總體上看，兩版教材題型基本相同，都以傳統題型為主.由于三角函數部分涉及公式較多，且變化靈活，對學生的運算素養要求較高，因此2019年版教材在建構中，延續舊版計算題居多的特點，通過反復的計算練習，以加深學生對公式的理解和記憶；此外，選擇題的比例有所上升且簡答題的比例下降，由于選擇題是各類考試常見的題型，增加其比例有助于彌補以往學考不協調的弊端；探究題與作圖題是培養學生應用意識與實踐能力的主要載體，基本保持原有的建構體例，事實上還可適當增加題類的開放度與占比，以提升學生的數學建模和直觀想象等素養.

2.2 教材內容特征分析

2.2.1 知識要素分析

(1)知識比重

所謂知識的比重，是指各知識點占教材編排體系的比重.由表1可知，新舊教材除了編排體系有所不同之外，所包含的知識內容基本一致.對新舊教材三角函數部分各知識所占比重進行統計分析，結果如表5所示.

表5 新舊教材三角函數部分各知識所占比重

由表5可得，在“三角函數概念”部分，通過對“三角函數線”這一知識點的刪減，知識比重雖有所下降，但2019年版在修訂的過程中，以簡馭繁，通過利用單位圓上點的運動規律引入概念，更有利于學生把握知識的本質.此外，三角函數作為一類特殊的函數模型，2019年版中“圖象與性質”所占知識比重在2004年版的基礎上，上升了4.1個百分點，占比高達37.9%，強化了這部分內容的學習.另外，三角函數部分總共包含22個公式，且變化靈活，對于學生的運算素養要求較高，2019年版注重借助單位圓的性質直觀明了地導出公式，更有助于學生的理解與掌握.而三角函數的模型應用是學生體會三角函數的價值與作用、增強應用意識的重要載體，但新舊兩版教材“三角函數的應用”占比相對都比較小，有待提高.

(2)學科知識聯系

隨著跨學科知識融合的STEM教育的不斷推進，學科知識的整合取向成為學生學習創新的載體.教材通過尋找不同學科知識之間的聯結點與整合點，使各學科知識邏輯結構化，更有利于學生對數學知識建立完整的認知.通過對新舊教材三角函數部分所融入的各學科知識進行統計，其結果如表6所示.

表6 新舊教材學科知識聯系對比分析

表6顯示，新舊兩版教材三角函數部分學科知識的融入從類型上來說基本一致，都涉及了物理、信息技術、地理、天文、歷史等多個學科.其中，物理與信息技術方面融入最多，地理、天文方面次之，物理當中的勻速圓周運動、簡諧運動以及交變電流都是研究三角函數的理想模型.但從融合方式及融合深度上來說，兩版教材存在一定的差異.如在信息技術的應用方面，2004年版與信息技術的融合停留在表層，應用形式單一，大多是利用計算器進行繁瑣計算，未能真正有效發揮信息技術的價值和作用.而2019年版充分落實課程標準提出的信息技術與課程深度融合的理念，注重信息技術應用的多樣化，如利用信息技術工具進行角度制與弧度制的單位互換、探究三角函數圖象以及借助信息技術進行數學實驗等，將信息技術由計算工具演變成數學問題的研究工具與認知工具，以此形象化地說明周期變化現象，增強了教材的直觀性.

2.2.2 素養要素分析

發展學生數學學科核心素養是數學課程的核心目標，同時也是教材編寫的根本宗旨[4].數學教材內容素材的選取與編排、學習活動的設計與創新以及習題系統的構建與形成都必須以培養和提高學生的數學核心素養為目標.

(1)概念引入中的素養

三角函數作為一類最典型的周期函數，在章節起始，教材就通過學生所熟悉的周而復始的自然現象引入研究對象，使其研究問題顯性化，有助于促進學生數學抽象素養的發展.此外，概念的建構過程實則是一個數學化的過程，三角函數作為一種特殊的函數，是學生在學習完函數的相關概念之后的“下位學習”，2019年版編寫者充分利用學生已有認知基礎當中圓的性質、相似形的知識以及研究函數的經驗等，從建立周期現象的數學模型出發，借助單位圓上點的坐標定義三角函數，使學生從以“代數運算”為對應關系過渡到以“幾何元素”為媒介的函數定義方式，以此破除學生已有思維體系當中研究函數模型的思維定勢[5]，不僅有助于學生體會數學內在邏輯結構的整體性以及研究問題方法的多樣性，同時借助單位圓直觀特點，有助于發展學生的直觀想象素養.

(2)知識建構中的素養

2019年版“三角函數”內容的編排，充分依據數學知識發生過程的內在邏輯結構，遵循章建躍教授所提出的研究一個數學對象的基本套路：背景—概念—性質—特殊性質—應用，通過對具有內在關聯性的內容加以分析與重組，構建了一個研究三角函數模型的具體路徑：從周而復始的運動現象出發，通過任意角與弧度制等預備知識的學習，利用單位圓上點的圓周運動給出三角函數的概念，進而通過圖象探究其性質，并加以應用.通過這種嚴密的邏輯建構，使學生建立整體理解數學知識的意識，在研究問題的過程中實現知識與素養的融合.教師在教學過程中，要注重教材和教學主題思想的一致性，在整體研究思路的指導下，將知識局部系統化，加強主題單元教學的設計，完善學生的認知結構，從而提升學生的邏輯推理素養.

(3)思想方法中的素養

數學思想方法是發展學生數學核心素養的有效載體.2019年版十分注重數學思想方法的顯性化，如通過“探究”、“思考”、“歸納”等欄目的設置，使學生在解決問題的過程中掌握類比、歸納、推理等數學思想；通過借助單位圓的直觀特點及性質對三角函數的整章進行研究，使數形結合的思想貫穿始終.此外，教材從章引言提供的情景出發，使學生從學習之初就建立起從數學模型的角度審視三角函數的意識，并通過學科背景之間的聯系，使學生螺旋上升抽象出三角函數模型，在反復理解與應用的過程中，發展學生的數學抽象與數學建模素養.

3 結語

數學教材為數學教學提供學習主題、基本線索和具體內容，也是承載數學思想、發展學生數學核心素養的教學資源.基于以上新舊兩版教材三角函數內容的對比分析，發現2019年版不斷地凸顯數學學科核心素養，無論是教材的結構表征，還是內容特征都著力于數學核心素養的滲透.因此教師在解讀和運用教材時，要在注重數學思想方法滲透的基礎上著力于提升學生的數學學科核心素養；在注重知識系統化理解的基礎上強化單元教學設計；在強化信息技術應用的基礎上重視學科間的縱橫聯系.