關于弧度制中幾點誤讀的分析

王姿婷 朱一心 王 安

(首都師范大學數學科學學院 100048)

1 問題提出

在小學及初中教材中,平面角的度量是先以角度制形式出現的,即將一個圓周角表示成360°.在此基礎上展開了關于平面角的比較、平面幾何圖形的研究,并在含有特殊角的直角三角形中討論三角函數.而高中教材中,任意角的三角函數則以弧度制的認識開始,即將一個圓周角表示成2π(rad).關于引入弧度制的必要性,有幾種常見的說法:1.“借助單位圓建立角度與對應弧長的關系,用對應弧長刻畫角的大小;因為長度單位與實數單位一致,這就使得三角函數的自變量與函數值的取值都是實數,符合對應關系的函數定義”;2.“角度作為自變量表示三角函數,還存在一個突出問題,就是自變量的值與函數值不能進行運算(例如, 60°與sin60°不能相加),阻礙了三角函數通過運算法則形成其他初等函數”;3.“(角度制中)自變量的取值是60進位制的角度,不是10進位制的實數,不符合對應關系的函數定義”[1,P.111].文獻[9]主要針對上述第一個說法進行論述,本文增加了對后面幾種說法的分析;與文獻[10]相比,在實數的進位制表示與度量單位間進率的區別,以及自變量的值與函數值不能運算等問題有了更清晰的表述,同時更深入了物理量綱的討論.

2 基本概念

2.1 數與量

在討論度量制的內容之前,先對“數”和“量”的相關概念進行劃分,以避免因語義不同帶來的表達偏差.

數(作為名詞),是人們從生產和生活實踐中抽象出來的,如自然數、有理數、實數等.從現實世界中客觀對象的多少開始,人們對數有了最原始的感受.一方面,數可以表達各種現實對象的數值特征,另一方面,數又是人類創造出的形式化表達,這種形式化的本質不依賴于現實對象的特殊屬性,甚至不依賴于表達數的符號.

量(作為名詞),泛指可以定性區別和定量確定的屬性,如現實中的距離、面積、重量等.類似地,數學中的測度“作為線段的長度,平面圖形的面積,空間圖形的體積等概念的抽象與擴充”[2,P.841],也可以理解為“量”.

度量(作為動詞),就是通過比較,對給定的量賦予數值(根據文獻[3,P.7],這種賦值具有可列可加性)的過程(有時度量也作名詞,指某種度量方法).在度量時,首先要選取一個與給定量同類的量作為標準,即作為單位(通常稱為單位量,也稱為度量單位),進而約定比較的方式,得到其定量指標——度量值(即數值(1)數值是物理對度量值的稱呼,因度量值本質上是一個數,故數值一詞的用法在數學和物理中無明顯區別.).度量值一般賦值為給定量與單位量之間的比值(2)與擁有天然不可分割單位的量(例如一個人)相對的,有些量無法通過“數個數”來確定給定量與天然單位間的數量關系(例如線段長度),這類量可以無限細分,而度量則提供了處理這些量的辦法,其無限細分的性質也成了其度量值(實數)連續性的直觀對應.關于天然不可分割單位的量的簡單描述,見項武義主編教材[17,P.12]..例如某人的身高h為1.7m,就是將人抽象成一條線段,它恰好是人為選取的長度單位1m的1.7倍.不同的度量標準和方法稱為不同的度量制.“單位本身也是一個量(3)單位一般相當于“數值等于1的量”(也有某些約定作為單位的特定量其數值并非1).通常地,單位這個詞也被用于特定度量制中單位量的名稱符號,如1.7m中的m,但其本質與1m無異.……單位與量之間只有定性的關系,加上數以后才有定量的關系”[4.P10].一個量總是可以表達為量值的形式,即“數值與單位的積”[4.P3],如1.7m,就是度量值1.7與單位m的積.“當說明某物理量為多少時,必須同時說明單位,否則沒有意義”[5,P.13].有時會有“面積為4”的數學結果,這種說法蘊含著“4平方單位”或者“面積的度量值為4”的簡化,在解釋物理現象時不能單獨稱“面積4”.

在物理層面,“由于量與量之間常常是相互聯系的,因此沒有必要對每個量的單位都逐一規定,只需選取基本的物理量作為基本量(4)基本量與單位量是有區別的,單位量是某類量在某種度量制中的標準,而基本量則是某一量制(物理名詞)中選出的一組彼此相互獨立的量,其它的量是由基本量以乘和除的代數關系導出的.國際單位制SI中,選擇長度、質量、時間、熱力學溫度、電流、物質的量和發光強度這七個量作為基本量.,基本量的單位稱為基本單位.由基本量導出的其他物理量稱為導出量,導出量的單位稱為導出單位.表示每個物理量如何由基本量組成的公式,稱為該物理量的量綱公式,簡稱量綱”[6,P.88].通常將結合某些特定的物理定律及概念,對量之間的量綱關系作相關界定或分析的方法稱為量綱分析.

2.2 角度制與弧度制

3 對引入弧度制的必要性相關觀點的分析

3.1 “借助單位圓建立角度(7)嚴格講這應該是平面角而不是角度,以免與角度制中的用詞混淆.與對應弧長的關系,用對應弧長刻畫角的大小(8)由弧度制定義,“弧長刻畫角的大小”的說法易引起誤解,見注③及下頁注④.;因為長度單位與實數單位一致,這就使得三角函數的自變量與函數值的取值都是實數,符合對應關系的函數定義.”

一方面,“長度單位與實數單位一致”的說法混淆了不同類的單位量,長度單位是1m,1km等單位量,而實數單位是數值1,二者一致的說法無從談起.誠然,線段通過度量可以對實數進行幾何直觀表征,但現代數學中實數系統的建立無需借助于線段或其他具象,若將實數與長度等同視之,實數系統中許多運算將變得無法解讀,如開方、取對數等.就好比于將自然數停留在現實存在的物體個數層面上理解,那“1個對象×1個對象+1個對象”也是無法進行的.

另一方面,角度制和弧度制下定義的三角函數都是實數集到實數集的映射,具體分析如下：

角度制和弧度制雖采用了不同的單位量,但兩種度量制下的度量值都是實數.例如1度和1弧度,單位量的不同不會引起這個“1”的實數屬性發生變化.“這兩種度量制,都能夠實現在平面角的集合與實數集之間建立一一對應關系”[8,P.8].任意給定一個實數作為度量值,都能在相應的度量制下唯一決定一個平面角(例如在弧度制下,度量值2對應了2 rad的平面角,在角度制下度量值2則對應著2°的平面角),進而又能唯一決定其對應的三角函數值.

因此,基于兩種度量制下定義的三角函數都是實數集到實數集的映射,不會因單位量的選取不同而造成差異.這在李忠《為什么要使用弧度制》[9]以及朱一心《弧度制教學中相關問題的問答》[10]中均有指出.

3.2 “角度作為自變量表示三角函數,還存在一個突出問題,就是自變量的值與函數值不能進行運算(例如, 60°與sin60°不能相加),阻礙了三角函數通過運算法則形成其他初等函數.”

下面分三點來闡述該表述涉及到的問題:

(1)弧度單位的省略

在平面角的兩種度量制中,約定“用弧度制表示角(10)依原文,此處的角指的是平面角.時,‘弧度’二字或‘rad’通常略去不寫,而只寫該平面角所對應的弧度數”[7,P.174],即角度制下，一個量值必須帶著“°”,在弧度制中,量值可略去單位“rad”.這種人為約定能帶來書寫和表達上的便利,但隨之而來的問題是,它模糊了弧度制下量值與度量值(弧度數)的區別.

(2)平面角的量綱問題

平面角的單位弧度(rad)通常被約定略去不寫,除了表達便利性外,還有量綱層面的考慮.

“在1960年的第11屆國際計量大會(CGPM)將平面角的單位弧度(rad)和立體角的單位球面度(sr)規定為國際單位制的輔助單位,提出它們既可作基本單位使用,也可作導出單位使用,并認為平面角和立體角既可認為是基本量,也可認為是導出量……而1995年召開的第20屆國際計量大會正式決定:在SI中稱為弧度和球面度的這兩個輔助單位是一種無量綱的導出單位,因而在SI的分類中應當取消輔助單位”[11,P.42].根據文獻[4,P.74],度(°)是我國選定的SI制外單位(11)不屬于SI的單位..

(3)數學與物理中的運算

數學上的運算是同類對象之間的二元映射,受到運算結構本身的性質約束,不涉及任何描述物理屬性的單位,更不涉及量綱分析.事實上,數學抽象化的過程已經舍棄了具體的物理屬性.

物理關系常常借用數學運算來表達,這具有顯見的簡約性和便利性,但它們需要滿足物理的特定要求.例如量綱公式只表達一個定性關系而非定量關系、等號兩端各代數項的量綱必須相同、只有同類量才可以相加或相減等.

數學提供的是運算的合理性,被運用到單位或者量綱上,是出于物理方程經由數學運算的結果需要解釋自洽的考慮.注意到這點,才不會混淆數學運算和物理討論兩方面的歸因.

不難發現,“角度作為自變量表示三角函數,還存在一個突出問題,就是自變量的值與函數值不能進行運算(例如,60°與sin60°不能相加),阻礙了三角函數通過運算法則形成其他初等函數”是用無因果關系的名詞堆砌的偽問題.本質上是因為將直觀表征的量與數混為一談招致了不必要的紛擾.不同類的量之間運算無意義,與度量制的選取無關,更不影響數的運算意義.這就好比“2cm+(2cm)2”無意義,但顯然我們不能據此斷言“此處單位(cm)的選取不當”或是“x+x2這一數學運算不合理”.

3.3 “(角度制中)自變量的取值是60進位制的角度,不是10進位制的實數,不符合對應關系的函數定義”

首先,這個斷言混淆了單位之間的進率(15)有時也將同類量的不同單位之間的倍數關系描述為“進制”,但與記數法的“進制”表達的含義不同,為區別兩方面的用語,此處采用進率的說法.與數值的進位制.其次,一個數是否是實數,由數本身的性質決定,與它是否使用10進制表達無關.

平面角的量值常見有形如1°6'的多單位混合形式的表達,但正如文獻[4,P.128]所指出的,“近年來國際上主張采用十進制的數值來表達,而它們的符號則處于全部數值之后,例如:1rad=57.29577951…°;17°15′最好給出為17.25°;53°20′24″最好給出為53.34°”.不難發現,上面例舉的式子右邊皆為角度制下的10進制數值表達.可見,角度制中,角度數通常表達為10進制數,當然,數的表達可以有多種形式,可選取不同的進位制,也可使用不涉及進位制的其他特定含義的符號表示,如π.

4 小結

初等數學中的三角函數,從直角三角形中銳角對應的三個邊長比開始,然后利用直角坐標系推廣到任意角,形成三角函數,得到特殊角的函數值,誘導公式,倍角/半角三角函數關系.微積分中利用連續函數和微積分的性質得到三角函數的定義,也得到一系列的函數性質公式.在弧度制下,初等數學中得到的公式與微積分中得到的公式,在形式上高度一致.然而,兩者的發展線索不完全有邏輯的上下游關系.由此可見,引入弧度并非是某種不利與便利之間的選擇.“在解析運算中,弧度制是很方便的,這一點以后會變得很清楚.但是,在實用中,弧度制又頗為不便,因為π為無理數.所以如果我們在圓周上把單位角,即1弧度的角,一次次地標出來,它決不會回到圓上原來的點.而在建立普通的角度制時就是讓它在1度繼續標出360次后或90°繼續標出四次后,能回到原來的位置”[13,P.285].幸而,關于弧度制的一些誤讀也正在被澄清.正如文獻[14,P.191]所提及的“在弧度先生看來,他們倆(17)此處指弧度制與角度制.除了‘單位’不同外,沒有本質上的差別,而且還關系密切”.

“學生對數學的認識和理解在很大程度上也要依靠數學課堂教學”[15],因此教師在數學課堂教學中應盡可能地嚴謹,處理好數學的邏輯性與歷史性之間的關系,體現出“數學的本質”.當然,教學過程不可能完全遵循演繹邏輯的方式去梳理教學內容,學生的認知方式以及有效教學的原則也提示我們,有些教學內容確實需要作適度教學處理,特別是一些不易理解或者不適合在當下“死磕”而應日后“細品”的內容.例如北師大版必修二教材[16],先引發對角度的度量與長度的度量之間關系的思考,再明確弧度數的絕對值等于該角所對的弧長與半徑之比,輔之以兩種度量制下量值的轉化等內容的敘述,給出了弧度制中的關鍵信息,沒有刻意對角度制局限性和弧度制的優越性進行評斷.為了說明教學內容的必要性而放大其合理性和必然性,是不合適的.使用弧度制的真實合理性,在高中階段不見得能完全解釋,然而要避免用事實背景不清的內容來輔證,以免給學生帶來不必要的誤讀.