信息技術環境下冪函數的教學實踐研究

董慧

【摘要】教學“簡單的冪函數”一課時，教師通過合理的設計在教學中融入信息技術，進行教學實踐，結果表明：借助信息技術進行課堂教學，可以更好地幫助學生構建知識體系;依托信息技術進行課后探究，可以拓展學生的思維深度.信息技術和數學教學的全方位深度融合，不僅能夠培養學生的數學核心素養、自主學習能力和知識構建能力，還能培養學生的表達能力、歸納能力、探究能力、協作能力和軟件使用能力.

【關鍵詞】冪函數;信息技術;教學實踐;核心素養

【基金項目】安徽省教育信息技術研究課題——信息技術環境下的高中數學深度教學實踐研究（AH2019167）;安徽省教育信息技術研究課題——基于“互聯網+”利用數學文化開展立德樹人教育研究（AH2020149）.

2012年3月13日，教育部發布的《教育信息化十年發展規劃（2011～2020年）》（以下簡稱《規劃》）提出“面向未來，育人為本;應用驅動，共建共享;統籌規劃，分類推進;深度融合，引領創新”的工作方針.《規劃》強調要加強現代信息技術與教育的全面深度融合，以信息化引領教育理念和教育模式的創新，充分發揮教育信息化在教育改革和發展中的支撐與引領作用[1].

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）也指出高中數學提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，教師要激發學生學習數學的興趣，讓學生養成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創新意識的發展，注重信息技術與數學課程的深度融合，提高教學的實效性，不斷引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值[2].

《規劃》和《標準》都對當前傳統的課堂教學提出挑戰，傳統的課堂教學以教師為中心，比較關注知識內容本身的講授.這種課堂教學形式已不能完全滿足當前學生學習發展的需要.隨著信息技術的快速發展，當前課堂教學對教師的“教”和學生的“學”都提出了更高的要求.《標準》要求教師在課堂教學時要注意引導學生發現問題、探究問題、解決問題，培養學生的自主學習能力.

本文中，筆者充分利用現代信息技術，結合“簡單的冪函數”教學內容，從課堂教學和課后探究入手，分析了一個信息技術與高中數學教學深度融合的教學案例，希望為高中數學課堂教學中信息技術的利用提供借鑒.

一、課堂教學借助信息技術讓學生自主探究

建構主義理論重視以學生為中心的教學模式，強調在教學中激發學生的主動學習能力[3].利用信息技術，讓學生借助教學軟件對教學內容進行自主探究，不斷發現問題、分析問題、解決問題，達成讓學生構建完整的知識體系這一教學目的.

下面以“簡單的冪函數”課堂實錄片段為例說明.

【案例】PPT出示：

1.如果小明購買每千克1元的水果x千克，那么他需要付的錢數y=x元，這里y是x的函數.

2.若正方形的邊長為x，面積為y，則有y=x2，這里y是x的函數.

3.若正方體的邊長為x，體積為y，則有y=x3，這里y是x的函數.

4.若正方形的面積為x，邊長為y，則有y=x12，這里y是x的函數.

5.若一輛車x 小時行駛了1 km，則該車的平均速度y=1x=x-1 km/h，這里y是x的函數.

師：同學們，我們觀察剛剛出現的五個函數，y=x（正比例函數），y=x2（二次函數），y=x3，y=x12，y=1x=x-1（反比例函數），他們的函數解析式有什么形式特征？都有哪些共同點呢？

生1：指數為常數.

生2：都是以自變量x為底的冪函數.

生3：系數都是1.

師：很好，我們還能寫出類似形式的函數嗎？試一試.

生4：y=x4，y=x-12等等，太多了.

師：那你們能寫出這種類型的函數的一般形式嗎？大家一邊思考一邊想想我們剛剛發現的三個共同點.（用PPT呈現三個共同點）

生5：y=xm可以嗎？

師：這里的x，y，m分別代表什么呢？

生5：x是自變量，y是因變量，m是常數.

師：很好，這就是我們今天要研究的冪函數，下面給出冪函數的概念：

如果一個函數，底數是自變量，指數是常量α，即y=xα，這樣的函數稱為冪函數.

師：接下來通過一道練習題檢驗同學們對冪函數的概念的掌握情況.

練習 下列函數中有幾個冪函數？

（1）y=x2+x;（2）y=3x2;（3）y=2x;（4）y=3x3.

師：下面請同學們4人一組，用電腦上的幾何畫板軟件，嘗試畫出α取不同數值時函數的圖像，并通過圖像總結冪函數有哪些特征.

學生作圖后，分組提交，教師依次展示，驗證分類是否正確.

師：首先我們來看第一組，老師發現第一組同學選的α的值都是正的.請來闡述你們得到的性質特征.

生6：我們組畫了α分別為12，23，1，54，3，4時的冪函數圖像，發現當α>0時，冪函數y=xα有下列性質：

（1）函數圖像都經過點（0，0）和（1，1）;

（2）函數在區間[0，+∞）上是增函數.

師：同學們還有沒有其他發現呢？可以從圖像上升的快慢來考慮.

生7：在第一象限內，當α>1時，圖像上升得比較快;當α=1時，就是正比例函數y=x;當0<α<1時，圖像上升得比較慢.

師：補充得很好，現在我們來看看第二組同學提交的圖像，這組同學選擇的α值有正有負，剛剛我們已經總結了α>0時的情況，現在請同學們來看看當α<0時，冪函數有哪些性質？

生8：當α<0時，冪函數y=xα有下列性質：

（1）函數圖像都經過點（1，1）;

（2）函數在區間[0，+∞）上是減函數;

（3）在第一象限內，圖像向上與y軸無限接近，向右與x軸無限接近.

師：大家總結得很好，我們有沒有漏掉什么呢？

生9：α=0時的情況漏掉了，當α=0時，冪函數就變成了y=x0，此時就是直線y=1.

生10：不對，沒有考慮定義域xx≠0，應該是y=1但是不包括點（0，1），它的圖像不是直線.

師：大家從α<0，α=0和α>0三個方面進行分類并總結了冪函數的性質，下面請大家三人一組，一位同學出題目，第二位同學畫出函數的大致圖像，第三位同學用幾何畫板軟件作圖以檢驗第二位同學畫得是否正確.畫之前請思考，如何根據我們剛剛總結的性質畫出大致圖像呢？（用PPT展示剛剛總結的冪函數的性質）

生11：我畫的是函數y=x-4的圖像，先根據α<0時冪函數的性質畫出在第一象限的圖像，因為該函數是偶函數，偶函數圖像關于y軸對稱，進而作出函數的完整圖像.

生12：我畫的是函數y=x35的圖像，我先是根據α>0時冪函數的性質畫出在第一象限的圖像，因為該函數是奇函數，奇函數圖像關于原點對稱，于是根據對稱性作出完整的函數圖像.

生13：我畫的是y=x14的函數圖像，由于該函數定義域是[0，+∞），且0<14<1，根據冪函數的性質，該函數圖像在第一象限緩慢上升.

師：大家完成得很好，現在我們來回憶剛剛的作圖過程，在作圖的時候大家首先是根據冪函數性質作出函數在第一象限的圖像，然后根據函數的奇偶性得到完整圖像.

師：下面用一道例題為大家講解冪函數的實際應用.

例題 當x∈（0，+∞）時，冪函數y=（m2+m-1）x-5m-3為減函數，求實數m的值.

解 因為函數y=（m2+m-1）x-5m-3既是冪函數又是（0，+∞）上的減函數，

所以m2+m-1=1，-5m-3<0，

解得m=1.

在總結冪函數的性質特征部分，傳統教學中，教師直接從熟悉的冪函數y=xα（α=1，2，3，12，-1）出發，給出圖像，總結性質，無法讓學生體會知識形成的過程，導致學生對冪函數的圖像和性質認識不清，只能選擇死記硬背.本案例中利用信息技術（幾何畫板軟件），讓學生自己畫圖、總結性質，既能讓學生感受信息技術帶來的直觀體驗，又能培養學生的歸納推理能力、協作能力和語言表達能力.同時，學生親自體驗冪函數的符號語言與圖像語言之間的相互轉化，有利于其數形結合思想的形成，也突破了綜合應用冪函數的重點和難點.這些知識儲備都為學生后續深入探討冪函數的性質奠定了基礎.

二、依托信息技術開展課后思考，拓寬學生的思維廣度

學習可以理解為原有經驗的遷移，只有當學生根據需要通過已有的知識自主建構新知識時，學習才會發生.當學習者意識到他們本身是學習者和思考者時，他們的學習過程才是成功的.依托信息技術開展課后思考，不僅能夠培養學生的自主學習能力，而且可使學生在已有知識的基礎上構建新知，拓寬學生的思維廣度，加深學生的思維深度，更有利于學生本身的知識體系和學習框架的完善.

下面以“簡單的冪函數”一課中的課后思考題為例進行說明.

【案例】如何根據α來確定冪函數的奇偶性呢？以α是有理數為例（任意有理數都可以表示成qp的形式，其中p，q∈Z，p，q互素，且p≠0）.

要求：大家將各自的結論發到QQ群，共同討論，互相評價.

通過簡單冪函數的學習，學生已經熟練掌握如何借助幾何畫板軟件來輔助作圖，進而探究冪函數的性質和特征.在鞏固實踐環節，學生通過畫冪函數的大致圖像，已經感受到探究冪函數奇偶性的重要性.通過課后自主探究，借助幾何畫板軟件和網絡資源，學生得到冪函數y=xα=xqp（p，q∈Z，p，q互素，p≠0）的奇偶性，具體見下表.

借助信息技術進行知識的探究和拓展，不僅可以培養學生的網絡和軟件使用能力、語言表達能力、歸納推理能力和交流協作能力，更重要的是學生通過自主探究，感受數學知識的形成過程，層層遞進，拓寬了知識體系，加強了對深層次數學知識的理解.

三、信息技術與數學教學相融合，培養學生的數學核心素養

數學學科的核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的[4].

本節“簡單的冪函數”的教學主要從以下幾方面培養學生的數學核心素養.首先從熟悉的函數實例中抽象出冪函數的概念，注重培養學生的數學抽象素養;其次借助幾何畫板等軟件，通過函數圖像研究冪函數的性質，注重培養學生的直觀想象與邏輯推理素養;最后運用冪函數模型來解決簡單的實際問題，注重培養學生的數學建模與數學運算素養.

將信息技術與高中數學教學深度融合，在課堂教學中借助信息技術幫助學生構建知識體系、在課后探究中依托信息技術拓寬學生思維廣度.這種在教學中多方位、多層次地利用信息技術的教學模式，不僅能夠培養學生自主學習、知識構建的能力，高效完成教學任務，還能激發學生的求知欲，培養學生表達、歸納、探究、協作和軟件使用等綜合能力.教師在教學過程中注重信息技術與數學課程的深度融合，不僅能提高教學的實效性，還能培養學生的數學核心素養.

【參考文獻】

[1]規劃編制專家組.教育信息化十年發展規劃（2011～2020年）解讀[M].北京：人民教育出版社，2012.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]溫彭年，賈國英.建構主義理論與教學改革：建構主義學習理論綜述[J].教育理論與實踐，2002（05）：17-22.

[4]王磊.學科能力構成及其表現研究：基于學習理解、應用實踐與遷移創新導向的多維整合模型 [J].教育研究，2016（09）：83-92.