例談“面積法”在“三角形角平分線模型”中的巧用

徐樂樂 王瑋瑋

【摘要】“三角形角平分線模型”中蘊含“同高”“等高”的特點，巧用三角形的面積公式，可以直觀、快速地建立起邊角聯系，突破難點.建構三角形角平分線模型，呈現三角形面積法在典型題中的一次、二次應用，結合角平分線的性質定理及逆定理可以破解難題;歸納模型的性質結論和應用題型，引導學生在解題中恰當運用三角形面積法，從而發展學生的數學思維和幾何模型思想.

【關鍵詞】三角形面積法;角平分線的性質;幾何模型

一般而言，在平面幾何題的求解過程中，運用三角形面積公式和由面積公式推出的相關結論來計算或者證明的方法，稱之為面積法.但是，三角形面積法在日常教學中，往往容易被學生和教師忽視.在初中數學幾何難題中，常會包含三角形的角平分線的有關問題，雖然用常規的方法可以解決，但是步驟煩瑣、計算量大，有時輔助線的添加還不明了.本文通過分析“三角形角平分線模型”問題的特性，在解題時巧妙應用三角形面積法，最終收到良好的教學效果.

一、三角形的角平分線模型

在三角形的角平分線模型中，由角平分線的性質可知：角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等.所以，學生能自然聯想到原三角形被角平分線所分得的兩個三角形的高相等，結合三角形面積法，就可以將同高 （或等高）的兩個三角形的面積比轉化為底之比.

如圖1，BD是△ABC的角平分線，則由定義可知，∠ABD=∠CBD=12∠ABC.如圖2，過點D分別向邊AB，BC作垂線DE，DF，則DE，DF分別是△ABD和△CBD的高，由角平分線的性質可知DE=DF，則S△ABDS△CBD=ABBC.

我們不妨把圖2稱為“三角形的角平分線模型”，它完整地呈現了三角形的性質的推導過程;從“面積法”的角度看，它直觀地呈現了被角平分線分得的兩個三角形的底和高，并且是較為特別的“等高”三角形.當我們建立了這樣的雙視角幾何模型，就能夠在常規的“角相等”的基礎上，發展出“邊成比例”的結論.從而為含有角平分線的幾何難題提供了新的解題思路——構造等（同）高，巧用面積法.

二、角平分線模型的應用

1.面積法在模型中的一次應用

例1 如圖3，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F為BC的延長線上一點，FG⊥AE交AD的延長線于G，AC的延長線交FG于H，連接BG，下列結論：①S△AEB∶S△AEC=AB∶AC;②∠DAE=∠F;③∠DAE=12（∠ABD-∠ACE）;④∠AGH=∠BAE+∠ACB.其中正確的結論是.

分析 這個題目是八年級數學期中考試的壓軸題，這是一個幾何圖形綜合題，難度很大，學生的正確率只有10%.②③④都是關于角的結論，通過角的轉化可以推導出三個結論都是正確的，此處省略.①就是典型的三角形的角平分線模型的直接應用.如圖4，通過抽離出△ABC，并作出邊AB，AC上的高，由于角平分線的性質，高相等，因此，面積比轉化為底之比，①正確.

例2 如圖5，在直線ABC的同一側作兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，求證：

（1）AE=DC;

（2）HB平分∠AHC.

分析 很多老師和學生都對這個類型的題目非常熟悉，并且形象地稱為“手拉手”模型，這個模型的圖形特征是兩個形狀相同、大小不同的特殊圖形（等邊三角形、正方形等）繞著一個公共頂點旋轉，在變化的過程中有著許多不變的結論，屬于典型的動態變化過程中的不變性問題.

例2中，△ABD和△BCE都是等邊三角形，則存在對應相等的邊和角，結合公共夾角構造出新的等角，從而證得△ABE≌△DBC，故AE=DC得證.第（2）問是關于角平分線的判定，此題如果采用常規的角相等去證明會十分煩瑣，而采用角平分線的判定定理，如圖6，作出兩個全等三角形的高線，通過面積法證明就非常簡便.教學中，學生常常會有強烈的頓悟感，感覺柳暗花明、十分巧妙.

證明 過點B作BM⊥AE，BN⊥CD.

（1）∵△ABD，△BCE都是等邊三角形，

∴AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°.

∵∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE，

∴∠ABE=∠DBC，∴△ABE≌△DBC（SAS），

∴AE=DC.

（2）由（1）知△ABE≌△DBC，

∴S△ABE=S△DBC，即AE·BM2=DC·BN2，

∴BM=BN.

又∵BM⊥AE，BN⊥CD，

∴HB平分∠AHC.

變式 如圖7，將△ABC繞點A逆時針旋轉60°得到△ADE，DE與BC交于點P，求證：PA+PC=PE.

分析 如圖8，此題通過連接BD與CE就變成等邊三角形“手拉手”模型.過點A向兩邊作高線，構造三角形的角平分線模型.結合三角形面積法與角平分線的性質便可證得∠APB=60°;在BC邊上截取PG=PA，連接AG，則△APG為等邊三角形，進而證明△APE≌△AGC，PA+PC=PE得證.

2.面積法在模型中的二次應用

例3 如圖9，△ABC中，BD是∠ABC的平分線，求證：ABBC=ADDC.

分析? 此題求證的邊之比相等是典型的相似三角形問題，常規方法就是構造相似三角形，利用邊的轉化求證.當換個思路——用三角形的面積法，會收到意想不到的效果.如圖10，過點D分別向邊AB，BC作垂線，則DE，DF分別是△ABD和△CBD的高，由角平分線的性質可知，DE=DF，則S△ABDS△CBD=ABBC.如圖11，過點B向邊AC作垂線，BG是△ABD和△CBD的公共高，S△ABDS△CBD=ADDC，所以ABBC=ADDC.

例4 （2016年深圳中考23題（1）（2）問）如圖12，拋物線y=ax2+2x-3與x軸交于A，B兩點，且點B的坐標為（1，0）.

（1）求拋物線的解析式和點A的坐標;

（2）如圖12，點P是直線y=x上的動點，當直線y=x平分∠APB時，求點P的坐標.

分析 第（1）問為基礎考查，易得點A的坐標為（-3，0），拋物線的解析式為y=x2+2x-3.對于第（2）問，將圖形簡化，如圖13，可以理解為PO平分∠APB，這就是三角形的角平分線模型，采取與例3的相同方法，二次應用三角形面積法得PAPB=AOBO=3，將點P的坐標設為（x，x），列方程（x+3）2+x2=9（x-1）2+9x2，解得x=32（0舍去），故點P的坐標為32，32.

通過上述例題發現，在三角形的角平分線模型中巧妙使用三角形的面積法，會為解題帶來極大的便利.無論是一次應用還是二次應用，其依據都是同高（等高）的兩個三角形的面積之比等于底之比.理解并熟練掌握三角形的角平分線模型的特點與結論，便能在復雜的問題中快速想到解題思路，通過輔助線的添加構造模型.在教學過程中，要利用基本幾何模型將復雜的問題簡單化，透過問題看本質，從而提高探究問題的能力和數學核心素養.

【參考文獻】

[1]黃孝培.淺談三角形面積法在初中幾何問題中的基本運用[J].中國數學教育初中版，2019（7-8）：90-93.

[2]祝林華.角平分線模型的構造及應用[J].初中數學教與學，2015（07）：24-26.

[3]王霞，房文慧.最短路徑與幾何定值[J].中學數學教學參考，2020（08）：41-46.