一類平面向量線性表示問題的簡單解法

鄭美華

【摘要】平面向量是高中數學的重要知識點，它融數、形于一體，是代數、幾何與三角函數的交匯點.本文在數學學科核心素養下，以三點共線定理引出推論，簡化一類平面向量線性表示問題的求解.

【關鍵詞】平面向量線性表示;三點共線定理;推論;簡化求解

平面向量在人教版《普通高中課程標準實驗教科書》A版必修四第二章，平面向量是高中數學的重要內容，也是高考考查的重要內容之一.以平面向量為載體，結合其他知識的考查也是歷年全國各地高考命題的一大亮點，常常與解三角形、解析幾何、三角函數等內容交叉滲透.高考對這部分的考查常以選擇、填空的形式出現，題型較穩定，而解選擇、填空的基本要求和策略是：準確、迅速.

在“平面向量”的復習教學中，數形結合是重要的思想方法之一，理解向量線性運算的幾何意義更是本專題的教學目標之一，學生往往不能做到恰當轉化.數形結合的關鍵是把握基本量的代數形式與幾何特征之間的聯系.一方面，復習中學生要時刻注意二者的聯系和相互表達，學會“看圖說話”，另一方面，學生也可選擇恰當的例題，對某些幾何特征量進行歸納，逐漸學會“由數到形”的思維能力.

一、平面向量三點共線問題拓展

1.定理

圖1如圖1，已知O是直線AB外任意一點，則A，B，P三點共線的充要條件是PO=λOA+μOB，λ+μ=1（λ，μ∈R）.當點P在線段AB之間移動時，λ，μ∈（0，1）;當點P落在AB延長線上，λ<0，當點P在BA延長線上，μ<0.

2.推廣

問題：如圖2，當點P落在與直線AB平行的直線l上，且l與點O的距離是直線AB與點O距離的12，λ+μ=12嗎？反之亦然嗎？

圖2證明：延長OP交AB于Q，則OQ=xOA+yOB，x+y=1.

∴OP=12OQ=12xOA+12yOB，

∴λ=12x，μ=12y，

∴λ+μ=12x+12y=12.

反之，當λ+μ=12時，我們來證明滿足這個條件的點P都在直線l上.延長OP交AB于Q，則OQ=xOA+yOB，x+y=1.設OP=tOQ，則OP=txOA+tyOB.

∴λ=tx，μ=ty，

∴λ+μ=tx+ty=12，∴t=12，

∴OP=12OQ，

∴點P在直線l上.

同理可證：（1）當點P落在與直線AB平行的直線l上，且l與點O的距離是直線AB與點O距離的2倍時，λ+μ=2，反之也成立.（圖略） （2）當點P落在與直線AB平行的直線l上，直線AB與直線l分別在點O兩側，并且點O到直線AB與直線l的距離相等時，λ+μ=-1，反之也成立.（圖略）

3.推論

通過以上三個特殊的例子，可以得到一般性的結論：

已知O是直線AB外任意一點.

（1）當點P所在直線l平行于直線AB，兩直線在點O同側，并且點O到直線l的距離是點O到直線AB距離的n倍，則點P落在直線l上的充要條件是λ+μ=n;

（2）當點P所在直線l平行于直線AB，兩直線在點O異側，并且點O到直線l的距離是點O到直線AB距離的n倍，則點P落在直線l上的充要條件是λ+μ=-n.

證明：（1）“必要性”：設OP或其延長線與直線AB交于Q，則OQ=xOA+yOB，x+y=1.

∴OP=nOQ=n（xOA+yOB）=nxOA+nyOB，

∴λ=nx，μ=ny，

∴λ+μ=nx+ny=n.

“充分性”：設OP或其延長線與直線AB交于Q，則OQ=xOA+yOB，x+y=1.

設OP=tOQ=txOA+tyOB.

∴λ=tx，μ=ty，

∴λ+μ=tx+ty=n，

∴t=n，

∴OP=nOQ，

∴點P在直線l上.

綜合以上，推論（1）得證.

（2）證法同上.

有了三點共線定理的推論，可以大大簡化某一類平面向量線性表示問題的解法.

二、平面向量三點共線問題應用

圖3例1 如圖3，A，B分別是射線OM，ON上的兩點，當向量OP分別滿足下列條件時：①OP=13OA+23OB;②OP=43OA+23OB;

③OP=13OA+13OB;④OP=43OA-13OB.

點P分別落在哪一個區域？

解法一 直接在圖上作出每一種情形的向量OP.

解法二 ①由三點共線基本定理可知點P在線段AB上.

②OP=13OA+23OB+OA，運算即可求得點P在二區，③同理可求.

④有的學生可能會利用圖形分析發現它在BA延長線上.

解法三 ②OP=43OA+23OB=223OA+13OB，結合①可知點P在二區.

③OP=13OA+13OB=2312OA+12OB，同上可知點P在一區.

④可類似直角坐標系象限符號判斷，若學生未提及，看學生具體情況可稍加點撥.

解法四 由三點共線定理推論，由基底的系數符號及系數和即可判斷點P的位置.

解析 （1）由基底系數和是1且都是正數，點P在線段AB上.

（2）由基底系數和比1大，且都是正數，點P在二區.

（3）由基底系數和比1小，且都是正數，點P在一區.

（4）由一個系數是負數判斷點P在三區，再由系數和是1可以進一步判斷點P落在線段BA的延長線上.

例2 三角形的角平分線定理：如圖4，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于D，則ABAC=BDDC.已知點O在AD上，滿足AO=2OD，AC=2，BC=4，AB=3，且AO=xAB+yAC，利用三角形的角平分線定理可求得x+y的值為（? ）.

A.415??? B.25??? C.815??? D.23

圖4解法一 ∵ABAC=BDDC=32，∴BD=35BC，

∴AO=23AD=23AB+BD

=23AB+35AC-35AB

=2325AB+35AC，

∴x+y=2325+35=23.

解法二 過O作BC的平行線，由推論知，x+y的值即為直線l到點A的距離與直線BC到點A距離的比值，即線段AO與AD的比，故選D.

圖5

例3 （2017全國3理12）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=λAB+μAD，則λ+μ的最大值為（? ）.

A.3B.22

C.5D.2

解法一 由題意，畫出圖形，如圖5所示.設BD與⊙C相切于點E，連接CE.以點A為坐標原點，AD為x軸正半軸，AB為y軸正半軸建立平面直角坐標系，則點C的坐標為（2，1）.

因為|CD|=1，|BC|=2，所以|BD|=12+22=5.

因為BD與⊙C相切于點E，所以CE⊥BD，

所以CE是Rt△BCD斜邊BD上的高，

∴|EC|=2S△BCD|BD|=2·12·|BC|·|CD||BD|=25=255，

即⊙C的半徑為255.

因為點P在⊙C上，所以點P的軌跡方程為（x-2）2+（y-1）2=45.

設點P的坐標為（x0，y0），可以設出點P坐標滿足的參數方程x0=2+255cos θ，y0=1+255sin θ.

而AP=（x0，y0），AB=（0，1），AD=（2，0）.

因為AP=λAB+μAD=λ（0，1）+μ（2，0）=（2μ，λ），

所以μ=12x0=1+55cos θ，λ=y0=1+255sin θ.

兩式相加得

λ+μ=1+255sin θ+1+55cos θ=2+2552+552·sin（θ+φ）=2+sin（θ+φ）≤3其中sin φ=55，cos φ=255，

圖6當且僅當θ=π2+2kπ-φ，k∈Z時，λ+μ取得最大值為3.故選A.

解法二 如圖所示，由定理推論，可得λ+μ的最大值為3.

通過以上幾個例子，我們歸納出OP=xOA+yOB這一類平面向量線性表示問題的解法：（1）由基底前系數的符號及系數和可以判定點P的位置.（2）由點P位置的變化，過點P作與AB平行的直線l，由直線l與點O距離和直線AB與點O距離的比值可以得到基底系數和的范圍，從而得到基底系數和的最大或最小值.

三、結 語

總之，平面向量是一個運算的工具，它具備形與數轉化的便利.教學過程中，教師應該不斷地讓學生嘗試發散思維，在顯著的幾何特征圖形中尋找向量關系，在代數運算的情景下構造向量關系，并能歸納解題模型.平面向量問題是多姿多彩的，利用其運算的幾何意義來發掘平面的內在本質是解決平面問題的有效手段，也充分體現了數學學科核心素養在解題教學過程中的滲透.

【參考文獻】

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[3]羅賢旭.一道平面向量題解法探究[J].中學數學研究，2020（03）：34-36.