蝴蝶定理、牛頓定理之間的聯系

李偉健

(安徽省滁州中學 239000)

蝴蝶定理過圓內接四邊形對角線的交點，作連心線的垂線，該垂線被四邊形對邊所截線段等長.

文[1]記錄了蝴蝶定理的證明、變形與推廣，這一發展歷程顯示了該定理與笛沙格對合定理之間的聯系.實際上對角線的交點是一個自對應點，但是另一個自對應點為什么是該垂線上的無窮遠點？

當對角線的交點在圓的內部時，該問題是顯然的；當對角線的交點在圓的外部時，再從歐氏平面看，直觀性就不強了.這也是為什么平面幾何中對對角線交點在圓的內部和外部分別予以證明的原因.

從射影平面看，二者是統一的.因為圓內接四邊形對角線的交點與圓心連線，其極點恰恰是該垂線上的無窮遠點.所以對角線的交點、該垂線上的無窮遠點調和分割該垂線與圓相交所成點對.這一點就可以解釋另一個自對應點的確是該垂線上的無窮遠點.

牛頓定理圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線.

文[2]記錄了牛頓定理證明較有代表性的面積法，文[3]更是給出一個異常漂亮的幾何方法，文[4]創造性地提出質點法并以非常簡潔的方式證明了牛頓定理.本文無意去比較牛頓定理不同證明的優劣，目的是揭示蝴蝶定理、牛頓定理之間的聯系.發現牛頓定理與蝴蝶定理的一個變形射影等價.

先從蝴蝶定理的一個簡單變形談起，即：

圖1

結論1設圓O的內接四邊形ABCD，AB、CD、BC、AD與過圓心O的直線交于點P、Q、X、Y，且OX=OY，那么OP=OQ.

該問題的實質與蝴蝶定理相同，這是因為結論1中也是對合自對應點的性質.一個自對應點是圓心，另一個自對應點是該條直線上的無窮遠點.

本文感興趣的是結論1的另一種等價表述，即：

圖2

結論2設圓O的內接四邊形ABCD，AD、BC交于點E，AB、CD交于點F，過點E作直線l使得l、EO調和分割EC、ED，過點F作直線m使得m、FO調和分割FA、FD，那么l、m交于無窮遠點.

其實，從歐幾里得平面看，l∥m.具體的證明，讀者可以過O作l的平行線n交直線AB、CD于點P、Q，交直線BC、AD于點X、Y.

因為l、EO調和分割EC、ED，且n∥l，所以OX=OY(一線段被它的中點和這直線上的無窮遠點所調和分割[5]).根據結論1可知，OP=OQ.又m、FO調和分割FA、FD，所以n∥m.那么l∥m(歐幾里得平面)，即l、m交于無窮遠點(射影平面).

前面已經提出，本文的目的是獲得蝴蝶定理和牛頓定理之間的聯系，結論2作為蝴蝶定理的一種變形，從配極對應的角度看，結論2正是牛頓定理.即：

結論3設圓O的外切四線形abcd，a×d、b×c連線為直線e，a×b、c×d連線為直線f，在直線e上作點L使得L、e×l∞調和分割e×c、e×d，在直線f上作點M使得M、f×l∞調和分割f×a、f×d，那么LM經過圓心.

圖3

注:l∞指的是無窮遠直線.

其實，從歐幾里得平面看，點L、M即為對角線的中點.

所以結論3也就是本文開始提到的牛頓定理，因此牛頓定理與蝴蝶定理的一個變形射影等價.這一例子再一次說明：在歐氏空間里某些不好解釋的現象，從射影空間的觀點看，就有滿意的說明，觀點越高，事物就顯得越簡單[6].