指向講理的數學教學①

劉成龍 余小芬

(1.內江師范學院數學與信息科學學院 641112；2.馬來西亞沙巴大學心理及教育學院 88400 )

1 引言

從古至今，數學都是一門講理的科學.然而，把講理的數學教成不講理的數學卻時有發生，比如：袁隆平院士上初中時，問數學老師為什么負負得正，老師的回答是這是規定.這一事件給少年袁隆平留下了數學不講理的深刻印象.又如，一些老師講授三角形穩定性時，讓學生拉三角形教具，通過“拉不動”來說明三角形穩定，這顯然是對三角形穩定性的不當理解.再如，一些老師在講授勾股定理第一課時，花費大量時間在勾股定理的發現上，但從數學發展史來看，勾股定理的發現歷經過程漫長，顯然一節課的學習不能達成發現勾股定理這一目標.諸如此類的例子舉不勝舉，一個個活生生的不講理的教學案例，表現為不究本質，不顧學情，不思教理，其結果是沒有揭示知識本質之理、沒有把握學情之理、沒有遵循教學原則之理，導致學生不明原理，不會說理，更何談用理、通理.[1]于是，講理的數學學科特色呼喚講理的數學教學.

2 指向講理的數學教學

“澆花澆根，教人教心”，“造燭求明，讀書求理”，生活經驗早已告訴我們教學要講理.[1]這不僅是良善而道德的教學方式，也是現代教育對教學的要求，是教學高級形態的核心特征[2].數學教學如何講理？聚焦到現代教學系統的幾個根本要素——教師、學生、內容、方法和媒體[3]，不難發現，教師對內容的理解、對學情的把握、對方法的選取和對媒體的使用直接影響著教學的走向和質量.因此，開展講理的數學教學，教師應該把握四個要點：理解內容——究數學之理，了解學生—遵學情之理，善用方法——循教學之理，活用媒體——思技術之理.其中，究數學之理是講理教學的前提，遵學情之理是講理教學的基礎，循教學之理是講理教學的保障，思技術之理是講理教學的輔助，四者之間相互促進，構成一個和諧、完整的講理數學教學體系(如圖1).

圖1

2.1 究數學之理

教師對數學的理解水平，直接影響學生對數學的學習水平.因此，究數學之理是數學教學的基礎，更是講理的數學教學的前提.如何究數學之理呢？可以從宏觀和微觀兩個維度展開.

在宏觀上，要深刻認識到數學是自然的——數學概念、數學方法和數學思想的起源與發展都是自然的[4]；數學是清楚的——清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的結論，數學中的命題，對就是對，錯就是錯，不存在絲毫的含糊[4]；數學是有用的——宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學(華羅庚語)；數學是邏輯的科學——邏輯的體系，邏輯的思考，邏輯的推理，邏輯的表達和邏輯的基礎；數學是獨特的文化——數學的思想、精神、語言、方法、觀點以及它們的形成和發展，還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動[5],形成了數學特有的文化.

在微觀上，首先，弄清是什么，即準確理解數學的基本內容——數學概念、公式、定義、法則、符號、方法、推理、表達等.比如，高中函數概念的理解應做到5點：(1)函數研究的對象；(2)對應關系滿足什么條件才能構成函數；(3)f(x)的具體含義；(4)函數的三要素；(5)高中函數概念和初中函數概念的異同.其次，搞懂為什么，即搞懂數學知識背后的道理——規定的合理性，“舊知”的局限性、“新知”產生的必要性，“大概念”(或“大觀念”)的統攝性，知識表征的多樣性，知識板塊間的關聯性，知識系統的整體性，等等.比如：為什么高中還要學習函數？為什么高中定義函數要引進f(x)？為什么向量沒有除法運算？為什么稱logaN為對數？為什么負負得正？函數與數列、三角函數、密度函數有何聯系？最后，追蹤數學知識的走向，即追蹤數學知識發展到后續階段的樣態.比如，初中階段對單調性的描述是定性描述，以看為基礎，而高一對單調性的描述上升為定量描述，以算為核心，高三對單調性的描述借助了導數這一工具，充分揭示了單調性的幾何特征；初中階段認識的切線僅與曲線有一個交點，而高中對切線的界定超出了一個交點的限制；中學階段歐氏幾何下的平行線不可能相交，而后繼課程非歐幾何視角下的兩條平行線可在無窮遠處交于一點；中學階段規定集合的元素具有三個特性，但高等數學模糊集中的對象就不具有確定性；中學定義極值要求函數連續可導，而大學數學用局部最值來定義極值，不要求連續、可導.因此，講理的數學教學應基于數學學科特點、在教師對數學內容充分理解的基礎上展開.正如克萊因所說“一個數學教師的職責是：應使學生了解數學并不是孤立的一門學問，而是一個有機的整體.一個稱職的教師應該掌握或了解數學的各種概念、方法及其發展與完善的過程以及數學教育演化的經過.”

案例1“三角形內角和180°”教學片段.

教師證明方法

如圖2所示，設三角形的內角和為x，則∠B+∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=2x，又因為∠B+∠1+∠2+∠C=x，所以x+∠3+∠4=2x，即x+1800=2x，得x=180°.

圖2

評注在一次“國培送教”活動中，授課教師證明三角形內角和180°采用了上述方法.在交流環節，大部分聽課教師和學生聽了授課教師的講解后覺得醍醐灌頂，頗有大徹大悟之感，普遍對上述方法贊不絕口，認為該方法簡潔、直觀，回避了“三線八角”.筆者相信在未來的課堂教學中許多聽課教師會將該方法搬到課堂之中.不妨先冷靜思考，為什么大家追捧該方法？顯然，是因為授課老師不同凡響的“講理”方式和“講理”過程.題后追問，這樣的“講理”方式和“講理”過程對嗎？事實上，上述推理過程犯了循環論證這一邏輯錯誤：授課教師暗含了三角形內角和為一個定值這一前提條件.然而，三角形內角和為一個定值是在證明完三角形內角和180°后才能得出.可見，不懂數學、不究數學之理的教學如同盲人摸象，更為致命的是一些教師傳授錯誤的數學而尚且不知.對此，章建躍老師指出，以邏輯性著稱的數學學科，不知所以然的教學，“把原本講道理的數學搞成了‘不講理的學問’，使原本最容易學的學科變成了最令人懼怕，生厭的學科”．

2.2 遵學情之理

為較好的提升課堂質量，實現講理的數學教學，教師在究數學之理的前提下，要進一步遵循學情之理.如何講學情之理呢？可以從學生先備知識(包括經驗)和認知規律兩個方面展開.

先備知識(包括經驗)是指學生學習新知識之前具備的知識(經驗).美國著名心理學家奧蘇貝爾認為：“如果要我只用一句話來說明教育心理學的要義，我認為影響學生學習的首要因素是他的先備知識(包括經驗)；研究并了解學生學習新知識之前具有的先備知識，進而配合設計教學，以產生有效的學習，就是教育心理學的任務.”顯然，先備知識(包括經驗)影響著新的意義的學習和保持.但是，內容僅停留在先備知識水平的教學是重復，而內容極大跨越先備知識的教學是冒進.如果說重復意味著無效，那么冒進必將導致負效.

認知規律指認知發展的規律.瑞士著名心理學家皮亞杰將兒童認知發展劃分為四個階段：感知運動階段(0-2歲)、前運算階段(2-7)、具體運算階段(7-12)和形式運算階段(12-15).[7]每一個階段有獨特的認知特點，講理的數學教學理應順應認知特點.比如，具體運算階段的兒童思維具有守恒性、非自我中心性和可逆性，認知發展側重于抽象概念，但仍需要用具體內容來支持思維活動.[8]顯然，滯后于學生當前認知階段的教學是對學生的嚴重束縛，而超越學生當前認知階段的教學是揠苗助長.

因此，遵循先備知識(包括經驗)和認知規律是講理教學的基礎.只有把握這一基礎，才能認清學生現有水平，成功跨越最近發展區.

案例2“平行四邊形性質”教學片段.

教學流程制作平行四邊形(紙板)教具——繞對角線交點旋轉平行四邊形(180°)——獲得猜想：平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分——證明猜想.

評注授課教師意在通過旋轉活動，訓練學生動手、觀察、猜想能力，激發學生的學習興趣.但是，授課教師嚴重忽略了學情：(1)教師主觀認為旋轉活動能引起學生興趣，將學生強行帶入低效高耗的活動中(旋轉活動約歷時10分鐘，占課堂的四分之一).事實上，學生在小學以及初一認識平行四邊形是中心對稱圖形時已經兩次開展了旋轉活動，此時再開展旋轉活動屬于多次重復勞動.其結果是，既不能引發學生的興趣，還浪費時間；(2)忽視了學生已有知識(包括經驗)基礎.有研究者在課前對學生進行了前測，表明[9]絕大多數學生可以猜測、計算出平行四邊形四個角的度數，而只有極少數學生不正確，有85.3%的學生可以猜測出平行四邊形對邊相等.也就是說，平行四邊形對邊相等、對角相等也是絕大部分學生的先備知識；(3)忽視學生認知能力.8年級學生，大都在14歲左右，處于形式運算階段，在這一階段，兒童出現了接近成人水平的抽象邏輯思維，其思維超出了事物的具體內容和感知事實；因此，8年級學生在幾何部分的學習上應以邏輯思維、推理訓練為主，應盡量減少實物展示、動手操作，否則將會抑制抽象能力的發展.正如李大潛院士所說：“老是‘量’，就倒退到尼羅河時代去了，當初古希臘學者不是‘量’出來的.”可見，通過旋轉活動來展開教學，僅僅是一種形式而已，但它不是內容的形式 ，沒有任何價值．因此，平行四邊形性質的教學應基于定義提出猜想，增加理性的推理論證活動，減少觀察、操作等實驗幾何活動.[10]

2.3 循教學之理

教學活動作為一個統攝教師、學生、內容和媒體的系統工程，并不是教師照本宣科、簡單重復、蠻橫強加，也不是教師放任不管，更不是學生自給自足.教學活動的根本目的是促進學生成長，而講理的數學教學活動主張學生自然、健康、積極成長，強調教學的過程性、自然性、創造性和情感性.如何開展講理的數學教學活動呢？這就需要在究數學之理和遵學情之理的基礎上進一步循教學之理.循教學之理指遵循教學的機理，它是講理數學教學的保障.盡管教育者們常說教無定法，但講理的數學教學仍然有法可依，有理可循.其法理就是講理數學教學有別于一般教學所具備的特質：

(1)講理的教學是一種再創造.一方面，教師不是“復讀機”，而是創造者.教師的任務在于將學術形態的數學改造為教育形態、學習形態的數學，即把數學的形式化邏輯鏈條，恢復為當初數學家發明創新時的火熱思考，[11]這意味著對教學內容進行重構，包括刪減、補充、整合、優化等，從而利于學生的整體學習和意義構建.正如張景中院士所說：為了教育，改造數學；改造數學使之更適宜教學和學習.另一方面，學生不是“錄音筆”，而是建構者.學生在教學活動中并非被動的吸收知識，而是主動、積極地實現知識的意義學習.

(2)講理的教學是一種多向的教育活動.教師不是旁觀者，而是參與者、引導者和建設者；學生不是聽眾、不是看客，而是知識、經驗的主動習得者，是學科素養發展的主體；信息不是教師-學生的單向流動，而是教師-學生、學生-學生、學生-教師的多向流動，這有利于在師生多向的碰撞中迸發新的火花.

(3)講理的教學呈現民主的教學氛圍.課堂中沒有“霸權”，沒有強加，沒有壓抑，教師充分將課堂的時間、話語權留給學生，師生以平等姿態、平等身份參與教學活動.

(4)講理的教學融合了豐富的情感體驗.課堂不是“流水線”，而是處處充滿生機活力的思想“交流源”；教師不是“機器人”，而是富有思想的引路人；學生不是“產品”，而是充滿情感、生機的個體.面對活生生的獨特個體，教師目中有人，口中有情，心中有愛，在和諧、互尊、互愛的氛圍中，實現情感交融和心靈熏陶.

(5)講理的數學教學關注學習過程.講理的數學教學關注知識的來龍去脈，注重知識的自然生成、個體情感體驗和學科素養的發展過程.

案例3“為什么要證明”教學片段.

教師：如圖3，假如用一根比地球赤道長1米的鐵絲將地球赤道圍起來，想象一下，鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大(地球看成球形)？[12]

圖3

學生：很小

教師：能放進一個拳頭嗎？

學生：不能

教師：能放進一顆紅棗嗎？

學生：部分說可以，部分說不可以，部分說不知道.

教師：能放下一個拳頭.

評注上述教學片段在數學知識講解上沒有出現失誤，但對學生而言也就僅僅是做了一個數學題而已，典型的照本宣科，嚴重忽視了教學之理：缺乏教育的創造性、感染性和藝術性，屬于簡單粗暴型教學.一方面，案例中的提問屬于淺層的無效提問，這是因為能用“是”“不是”“能”“不能”“好”“不好”回答的問題幾乎屬于無效的、缺乏深度的問題，這是因為回答諸如此類問題，學生往往都是不假思索、隨口就答，更談不上激活思維、啟迪智慧；另一個方面，教學片段不能真切地讓學生感受“為什么證明”，過于平淡的教學過程，不能引發學生前后認識上的巨大反差和內心深處的巨大沖突，不能在學生內心種下要證明的“種子”.因此，為實現教學的創造性、感染性和藝術性，可以對“為什么要證明”教學設計做以下改造：

問題1計算地球周長.

意圖讓學生感受地球的周長(約40000000米)是一個非常大的量.

問題2計算1米與地球周長的比值.

問題3想象一下用一根比地球赤道長1米的鐵絲將地球赤道圍起來，鐵絲與地球赤道之間的間隙有多大？

意圖讓學生在大腦中形成間隙幾乎為0的意向.

問題4能放進一個拳頭嗎？能放進一顆紅棗嗎？

意圖讓學生堅信不能放進一個拳頭甚至是一顆紅棗.

問題5計算鐵絲與地球赤道之間的間隙.

意圖通過計算說明能放下一個拳頭.

評注《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出：“在數學教學活動中，教師要創造性地使用教材，在很大程度上提高學生從事數學活動的水平和教師從事教學活動的質量”.[13]改造后的教學片段，是對教材的創造性使用，極大地提升了教學質量：先讓學生感受周長是非常大的量，再感受多出的1米是多么微不足道，讓學生在內心深處接納不能放進一個拳頭，再通過計算讓學生發現能放下一個拳頭，從而顛覆學生的認知，形成強烈的認知沖突，引發情感共鳴，進而在內心深處感受數學的嚴謹性和證明的必要性.

2.4 思技術之理

在“互聯網+”時代背景下，信息技術(下文簡稱技術)的廣泛應用對數學教學產生了深刻影響.[12]一方面，技術為教學帶來了便利，比如：優化課堂教學，拓寬教學方式，豐富教學資源.另一方面，技術的使用也產生了諸多新問題：有的教師認為使用技術課堂就高大上，不用技術則教學方式落伍；有的教師認為技術的使用僅僅是為了減輕教師的勞動強度；有的教師對技術產生了過度依賴，整節課以演示替代思考和講解[1],呈現代替板書[14]；等等.諸如此類，其根源在于未厘清技術在數學教學中的地位與功能.《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出：“在數學教學中，信息技術是學生學習和教師教學的重要輔助手段，教師應注重信息技術與數學課程的深度融合，實現傳統教學手段難以達到的效果.”[5]比如：技術是處理復雜的畫圖、繁瑣的計算和數據的強大工具，能極大提高作圖、運算和數據處理的效率和效果；技術是構建“多元聯系表示”的數學學習環境的工具；信息技術能提供數學實驗和其他數學實踐活動的手段.[15]作為輔助手段的技術，是傳統數學教學方式的重要補充，當然也僅僅是補充而已，其使用從根本上是為了進一步優化教學效果，豐富教與學的方式，為教學錦上添花.因此，教學中需要以數學對象的特點為前提，選取最優的技術方式來輔助教學，實現內容和對象的深度融合.[16]

案例4“基本不等式”教學片段.

教師：如圖4，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a，BC=b，過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD．求OD與CD(用a，b表示)．

圖4

教師：判斷OD與CD的大小關系．

學生：OD≥CD

……

3 結束語

當教育指向核心素養，知識本位將真正走向學科核心素養時代.學科核心素養的發展必然告別淺層、機械、壓抑、低效的數學教學，取而代之的是“真”、“善”、“美”的教學主張.講理的數學教學承載著真實、良善、美好，必然成為了學科核心素養發展的重要載體.當然，講理的數學教學需要在核心素養理論的指引下，緊密圍繞數學、學情、教學和技術四個維度來做好教學的頂層設計，最終實現數學學科素養的發展.