排列組合中的不知所“錯”

福建省德化第一中學(362500) 鄭碧星

一、錯在計數原理理解不清

1 究竟誰是指數,誰是底數

如果完成一件事需要n 個步驟,缺一不可,即需要依次完成所有步驟才能完成這件事,完成每一個步驟各有若干種不同的方法,求完成這件事的方法種數,就用分步計數原理.

例1(1)有4 名學生報名參加數學、物理、化學競賽,每人限報一科,有多少種不同的報名方法?

(2)有4 名學生參加爭奪數學、物理、化學競賽冠軍,有多少種不同的結果?

錯解(1)43;(2)錯把3 個冠軍安排給4 位同學,有種不同結果;也可能犯以下錯誤:第1 名同學可能奪得數學、物理、化學競賽的冠軍有3 種可能,同樣的第2,3,4 名同學奪冠也是3 種可能,根據分步計數原理有34種不同結果.

錯因分析:沒有弄清題意,沒有真正理解分類計數原理的本質.錯解(1)分不清完成一件事需要的步驟和完成每一個步驟有幾種不同的方法.錯解(2)忽略了每一個學生可能奪得多項冠軍,也可能一項冠軍也沒獲得.

正解(1)完成報名這件事,需要4 名同學依次完成報名工作4 個步驟,而完成每一個步驟有3 種不同的報名方法(有3 個學科可選),根據分步乘法計數原理,不同的報名方法有3×3×3×3=34種.

(2)確定競賽冠軍的結果這件事,需要3 個學科依次完成競賽冠軍的確定3 個步驟,而完成每一個步驟有4 種不同的結果(4 名學生都有可能成為冠軍),根據分步乘法計數原理,不同的結果共有4×4×4=43種.

2 究竟是涂了幾種顏色

例2如圖1,一個地區分為5 個行政區域,現給地圖著色,要求相鄰區域不得使用同一顏色,現有4 種顏色可供選擇,有多少種不同的著色方法?

圖1

錯解1第1 步,區域1 有4 種顏色可選;第2 步,區域2有3 種顏色可選;第3 步,區域3 有2 種顏色可選;第4 步,區域4 有2 種顏色可選;第5 步,區域5 有1 種顏色可選.根據分步乘法計數原理共有4×3×2×2×1=48 種不同的著色方法.

錯解2先著色區域1,有4 種顏色可選,剩下3 種顏色著2,3,4,5 四個區域,即有一種顏色涂相對的兩塊區域有種,根據分步乘法計數原理共有4×12=48種不同的著色方法.

錯因分析:區域4 和2 著同色時,區域5 有兩種顏色可選,區域4 和2 著不同色時,區域5 只有1 種顏色可選.也就是完成區域4 涂色的兩類方法,到區域5 顏色選取時的種類是不一樣的.另外題設“有4 種顏色可供選擇”,不一定需要4 種顏色全部使用,用3 種顏色也可以完成任務.

正解1不妨假設區域1 至3 依次著1 號,2 號,3 號顏色,將區域4 和5 的著色方案列舉如下:(2,3),(2,4),(4,3).根據分步乘法計數原理共有4×3×2×3=72 種不同的著色方法.

正解2當使用4 種顏色時,由前面的誤解有48 種著色方法;當僅使用3 種顏色時:從4 種顏色中取3 種有種方法,先著色區域1,有3 種方法,剩下2 種顏色涂4 個區域,只能是1 種顏色涂區域2,4,另一種顏色涂區域3,5,有2 種著色方法,由分步乘法計數原理有種,綜上共有48+24=72 種不同的著色方法.

3 究竟是說英語還是日語

計數的基本原則是不重不漏,相當一部分錯解都是重復計數惹的禍[1].其根源在于沒有明確的分類標準導致多選或漏選.因此,解含有約束條件的排列組合問題,可按元素的性質進行分類,按事件發生的連續過程分步,做到分類標準明確,分步層次清楚,分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終.

例3有11 名外語翻譯人員,其中5 名會英語,4 名會日語,另外兩名英、日語都精通,從中選出8 人,組成兩個翻譯小組,其中4 人翻譯英語,另4 人翻譯日語,問共有多少種不同的選派方式?

錯解第1 類從5 名會英語中選出4 名翻譯英語,從其余的6 名中選出4 名翻日語;第2 類從4 名會日語中選出4 名翻日語,從其余的7 名中選出4 名翻英語.共有種.

圖2

錯因分析:錯在分類標準沒有貫穿始終!

正解以只會日語的4 人中選出翻譯日語的人數為標準進行分類:第1 類只會日語的4 人全選出來翻譯日語,再從剩下的7 人中選出4 人翻譯英語,有種選法;第2 類從只會日語的4 人中選出3 人翻日語,再從都精通的2 人中選出1 人翻日語,最后從剩下的6 人選出4人翻譯英語,有種選法;第3 類從只會日語的4 人中選出2 人翻譯日語,再從都精通的2 人中選出2 人翻日語,最后從剩下的5 人選出4 人翻譯英語,有種選法.根據分類加法計數原理,共有185 種不同的選派方式.

本題還有如下分類標準:以2 名都精通的人被選上翻譯英語的人數為標準;以2 名都精通的人被選上翻譯日語的人數為標準;以只會英語的5 人選出翻譯英語的人數為標準.

二、錯在無序與有序混亂

1 究竟哪里多算了

一般地,將mn 個元素均勻分成n 組(每組m 個元素),共有種方法.在排列組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等,這些問題要注意避免重復計數產生的錯誤.尤其要注意分組分配的問題,要求能夠先分組再分配!

例45 本不同的書全部分給4 個學生,每個學生至少1本,不同分法種數為()

A.480 種 B.240 種 C.120 種 D.96 種

錯解先從5 本書中取4 本分給4 個人,有種方法,剩下的1 本書可以給任意一個人有4 種分法,共有種不同的分法,選A.

錯因分析:設5 本書為a,b,c,d,e,四個人為甲、乙、丙、丁.按照上述分法,列出兩種情況如下表:

表1

表2

表1 是甲首先分得a,乙分得b,丙分得c,丁分得d,最后一本書e 給甲的情況;表2 是甲首先分得e,乙分得b,丙分得c,丁分得d,最后一本書a 給甲的情況.這兩種情況是完全相同的,而在錯解中計算成了不同的情況,重復了一次.

正解把5 本書轉化成4“本”,然后分給4 個人.第1 步,從5 本書中任意取出2 本捆綁成1“本”書,有種方法;第2 步,再把4“本”書分給4 個學生,有種方法.根據乘法計數原理,共有種方法,故選B.

本題是有關分組與分配的問題,是一類極易出錯的題型,解決這類問題就是要分清“有序”還是“無序”,題中將5 本不同的書按2 本、1 本、1 本、1 本這樣分成4 組,有種分法,這里均分了3 組,要除以順序.

2 究竟是排列還是組合

在處理排列組合問題時,要認真仔細審題,根據題設條件判斷是排列還是組合問題,不能因混淆兩個概念而造成錯解[2].

例5把10 個相同的小球放入編號為1,2,3 的三個不同的盒子中,使得盒子里的球的個數不小于它的編號數,則不同的放法種數是多少?

錯解因為盒子里的球的個數不小于它的編號數,所以先分給2 號盒子1 個小球,3 號盒子2 個小球,再把剩下的7個小球分給3 個不同盒子,要求每個盒子至少一個小球.先分組有以下4 類:

錯因分析:上述錯解忽視了小球都是相同的,因而將7個小球分成3 堆只有4 種分法,其次將3 堆小球放入3 個不同的盒子時只有(1,2,4)這種情況屬于不同元素的排列問題有種不同的排法,而其它3 類中的3 堆小球有兩堆個數是一樣的,不能用全排列,每一類中將3 堆小球分到3 個不同的盒子只有3 種分法,如(1,1,5),(1,5,1),(5,1,1).

正解15 種.提示:因為盒子里的球的個數不小于它的編號數,所以先分給2 號盒子1 個小球,分給3 號盒子2 個小球,再把剩下的7 個小球分給3 個不同盒子,要求每個盒子至少1 個小球.

方法1.先分堆有以下4 類:(1,1,5),(2,2,3),(1,3,3),(1,2,4);再排列,不同的放法種數是3+3+3+6=15 種.

方法2.在7 個小球之間形成的6 個空位放入兩個隔板將小球分成3 份,每一份小球對應放入3 個不同的盒子,共有種不同的放法.

將n 個相同元素分配給k(k ≤n)個不同的對象,這類問題處理的策略是——隔板法,即將n 個相同元素排成一列,再從元素兩兩之間的n-1 個空隙中選取k-1 處插入隔板,從而使這些元素分成了k 份,對應著k 個分配對象,故不同的分配方案有種[3].

三、錯在不能合理建立模型

一些不易理解的排列組合題如果能轉化為非常熟悉的模型,如占位填空模型,排隊模型,裝盒模型,可使問題直觀解決.

例6(2016年高考全國III 卷)定義“規范01 數列”{an}如下:{an} 共有2m 項,其中m 項為0,m 項為1,且對任意k ≤2m,a1,a2,···,ak中0 的個數不少于1 的個數,若m=4,則不同的“規范01”數列共有()

A.18 個 B.16 個 C.14 個 D.12 個

錯解選D.

錯因分析:本題問的是已知4 個0,4 個1 能排成多少個“規范01 數列”——即要求任意前k 項中0 的個數不少于1的個數,屬于有特殊要求的站隊問題,沒能轉化為熟悉的模型求解是導致本題錯誤的原因.

正解由于ak只能取0 和1,可以聯想到排列組合中從A 地走到B 地,每步只能向右或向上走的問題,構造如圖3所示的模型,假設ak=0 相當于向右走一步,ak=1相當于向上走一步,則該問題等價于從點A 出發到點B,任意k 步中,向右的步數不少于向上的步數,求最短路徑有多少種方法.由于第一步必須是A →E,最后一步必須是F →B,故只考慮正方形EGFH 內的部分,按要求,不能走線段AB 之上的路線,即不能經過點K,H,I.從點E 到點F共有種不同的方法,其中經過點K(含過點H)的有種不同的方法,而經過點I 但不經過點K 的有2 種,故有種不同的方法.故選C.

圖3

圖4

例7在一次射擊比賽中,8 個泥制的靶子掛成三列,其中兩列各掛3 個,一列掛2 個,如圖4所示,一射手射擊時只準擊碎三列靶子中任意列的最下面的一個,若每次射擊都遵循這條原則,擊碎全部8 個靶子,共有多少種不同的次序?

錯解根據字母A,B,C 的不同排序,所以有種不同次序.或者簡單的按8 個字母排序,所以有種不同的次序.

錯因分析:本題是有特殊要求的排序,打完8 個靶子的所有不同的次序相當于8 個字母排次序,但要求的次序是A1→A2→A3,B1→B2,C1→C2→C3,所以這是一個定序模型問題,沒掌握好該模型的運用是導致錯誤的原因.

正解根據定序問題——除法倍縮策略[3],把8 個字母全排列,再消去3 個A 字母的排列順序,消去2 個B 字母的排列順序,消去3 個C 字母的順序,擊碎8 個靶子所有的不同次序有種.

四、錯在讀題不清,審題不嚴

排列組合問題,往往是失之毫厘謬以千里.因此解決這類問題一定得注意題中的每句話,甚至每個字和符號,避免由于讀題不清楚,審題不嚴謹導致錯誤[2].

1 “至多”,“至少”,究竟是多少

例8編號為1,2,3,4,5 的五個人,分別坐在編號為1,2,3,4,5 的座位上,則至多有兩個號碼一致的坐法種數為( )

A.120 B.119 C.110 D.109

錯解“至多有2 個號碼一致”的對立事件是“3 個或4個(5 個)號碼一致”,3 個號碼一致有種,4 個號碼一致僅一種,所以所求的坐法種數為無選項.

錯因分析:3 個號一致時,另2 個號則不能一致,例如選擇了1,2,3 號一致,則4 號人只能坐5 號位置且5 號人坐4號位,僅一種坐法而不是種.思維不嚴謹導致解題出錯.

正解選D.“至多有2 個號碼一致”的對立事件是“3 個或4 個(5 個)號碼一致”,3 個號碼一致有種(若3 個號一致,另外2 個不在自己號位僅一種方法),4 個號碼一致僅一種,所以所求的坐法種數為種,選D.

2 究竟確定了幾個面

解與幾何圖形有關的排列組合問題時,要充分挖掘圖形的隱含條件,轉化為有限制條件的組合或排列問題求解.空間識圖不準,會造成多算漏算,因此計算時一定要注意共點、共線、共面等情形.

例9四面體的頂點和各棱中點共10 個點,在其中取4個不共面的點,有多少種不同的取法?

錯解種.

錯因分析:對空間幾何圖形認識不準確,沒有把所有共面的點找出來,造成了多算.

正解直接考慮4 個不共面的點的取法比較繁瑣,種類繁多,形式復雜,正面解答比較困難,而通過反面入手,從4 點共面考慮比較便捷.在四面體的頂點和棱的中點中,取4 個點共面的情形有三類:①同在四面體4 個表面的6 個點,任選4 個點是共面的,共有個;②每一條棱和對棱的中點確定一個平面,共有6 個不同的平面,每個面內的4 個點共面,共有個;③6 個中點構成了分別與一組對棱平行的平面3 個(平行四邊形),所以有種不同的取法.

總之,正所謂“處處留心皆學問”,在排列組合的學習過程中留心容易出錯的地方,定能做到不重不漏,把排列組合學好.