橢圓內接菱形的性質
——一道模考試題的研究

安徽省濉溪縣第二中學(235100) 張瑞禹 祝峰

菱形和橢圓都是中心對稱圖形.菱形內接于橢圓時,會呈現出豐富的性質.下文以一道模擬試題為起點,探討這些性質.旨在深化對這類問題認識,為教學、命題提供借鑒.

一、問題展示

(I)求Γ 的方程;

(Ⅱ)如圖1,若菱形ABCD 內接于橢圓Γ,求菱形ABCD 面積的最小值.

二、對稱中心重合可以默認嗎?

綜上命題成立,可得下述定理.

定理1橢圓與其內接菱形中心重合.

上述論證過程,稍顯冗長,卻是證明這一問題的通法.如果能證明橢圓兩平行弦的中點連線過橢圓中心,也能證明此定理,行文關系,在此不予贅述.

解題過程,不應輕言“易知”,該想清楚的地方,絲毫不能含糊.按著別人(包括文本)的指引學習和思考問題,無法真正學會思考、學會學習.感覺并發現結論是數學學習重要步驟,但數學相信理性、尊重事實,崇尚謹慎判斷、公正評價、敏于探究、追求真理的批判性思維,不能用感覺來代替清晰的思維過程及嚴密的邏輯判斷.

三、內接菱形面積最小值的求法舉隅及一般性結論

1 求法舉隅

2 一般性結論

四、橢圓內接菱形的其它性質

菱形面積最小.

五、結語

試題的求解過程中,鞏固知識、提升能力應該是第二位的.重要的是通過解題學會數學地思維,即逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理的進行思考,努力提升思維的整體性與靈活性、自覺性與創造性,實現對日常經驗與直觀感知的必要超越.

思維的清晰性和合理性方面,探究過程中,兩圖形中心重合問題,沒有人云亦云,而是在嚴密地推理后才下結論.思維的深入性方面,面積最小值的求解沒有滿足于解答問題,而是從不同角度考慮,從不同思維方法中優化思維的靈活性.

思維的全面性方面,對于內接菱形,沒有僅局限于問題設置中面積最小值的求解,而是更一般地考慮內接菱形的性質,積累全面思考問題的習慣,逐步提升思維的合理性.

整體性思維而言,可作更一般的考慮,橢圓的內接平行四邊形會怎樣? 可以考慮諸如以下問題:(1)平行四邊形內接于橢圓的充要條件是它們的對稱中心重合嗎? (2)如何求橢圓內接平行四邊形面積、周長的最值? (3)橢圓存在四邊所在直線都有斜率的內接矩形嗎? 當然,也可以由內接類比到外切,即橢圓的外切平行四邊形會有什么性質?

“發展學生數學核心素養”的思想啟示下,數學的解題應超越具體的知識和技能,深入到思維層面,由具體的數學方法和策略過度一般性的思維策略.幫助學生由“學會數學地思維”轉向“學會思維”,不斷提升自身思維品質,才能實現素養目標的達成.