圓錐曲線中一類定直線問題的再推廣*
2021-02-05 01:16:16廣東省中山市中山紀念中學528454鞠火旺
中學數學研究(廣東) 2021年1期
關鍵詞：拋物線
廣東省中山市中山紀念中學(528454) 鞠火旺
廣東省中山市濠頭中學(528437) 閆偉
本刊于2019年11月上半月刊發了福建漳州教科院張兵源老師的《一道解析幾何聯考題的解析及推廣》,該文對2019年湖北八校高三第一次聯考解析幾何題進行了推廣,共得到了3 個結論,分別是關于橢圓、雙曲線和拋物線的,其中關于橢圓的結論如下:
圖1
上述結論反映了圓錐曲線中焦點與準線的對應關系,結果非常優美,且在高考及模擬考試題中經常出現.但仔細觀察推廣后的結論,不難發現結論仍然局限于橢圓的焦點和準線,那么對于橢圓長軸上不與左、右頂點重合的任意一點F(δ,0)以及定點H(m,0),按照結論I 的方式作圖,得到的交點T 又具有怎樣的性質呢?如圖1所示,我們借助Ti-Nspire 圖形計算器,發現并輔助完成了如下結論Ⅱ的證明.
⑥式即為交點T 的普通方程,其圖像如圖2,圖3所示.
圖2
圖3
圖4
圖6
圖7
至此,該問題在橢圓中得到了完美的拓展,經過研究發現,在雙曲線和拋物線中也有類似的結論,本文不再贅述.
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