數(shù)形結(jié)合中不可忽視的“隱患”

廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 李文東

數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一,我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微”.在解決函數(shù)問題時(shí),我們經(jīng)常會采用數(shù)形結(jié)合的思想和方法,通過數(shù)與形之間的對應(yīng)與轉(zhuǎn)化來解決函數(shù)問題,使得復(fù)雜的問題簡單化,抽象的問題直觀化.由于我們在數(shù)形結(jié)合時(shí),作出的一般只是函數(shù)的大致圖像,但是有些時(shí)候需要我們對函數(shù)的細(xì)節(jié)把握的更清楚,這些細(xì)節(jié)是數(shù)學(xué)結(jié)合中的“隱患”,作圖時(shí)如果不消除這些“隱患”,往往就會導(dǎo)致嚴(yán)重的錯(cuò)誤.本文就數(shù)形結(jié)合中常見的一些“隱患”舉例說明,以期將這些“隱患”消除在萌芽中!

一、由定義域?qū)е碌摹半[患”

圖1

圖2

二、由增長速度導(dǎo)致的“隱患”

例2函數(shù)h(x)=2x-x4的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為____.

解函數(shù)h(x)=2x- x4的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)?方程2x-x4=0 的解的個(gè)數(shù)?函數(shù)f(x)=2x與函數(shù)g(x)=x4圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù).在同一坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像(如圖2),容易看出這兩個(gè)函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn).由于f(x)=2x和g(x)=x4在(0,+∞)上都為增函數(shù),且隨著x的變大,函數(shù)f(x)=2x的增長速度會遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過g(x)=x4的增長速度,又h(2)＜0,h(20)=220-204=324-204＞0,故在(2,20)內(nèi)兩函數(shù)圖像還會有一個(gè)交點(diǎn).綜上函數(shù)h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3 個(gè).

評注因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x與函數(shù)g(x)=x4增長速度都比較快,數(shù)形結(jié)合很難直觀完整的反映出兩者圖像直接的關(guān)系,作圖時(shí)若不考慮到它們之間的增長差異性,則會得出兩個(gè)零點(diǎn)的錯(cuò)誤結(jié)論!

圖3

圖4

三、由漸近線導(dǎo)致的“隱患”

圖5

圖6

四、由凹凸性導(dǎo)致的“隱患”

評注本題若沒有考慮到f(x)在(2,+∞)上的凹凸性,則有可能得出2 個(gè)零點(diǎn)的錯(cuò)誤結(jié)論!

五、由特殊點(diǎn)導(dǎo)致的“隱患”

例7(2015年高考山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a ∈R.

(1)討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由;

(2)若?x＞0,f(x)≥0 成立,求a 的取值范圍.

評注本題是山東省高考的壓軸題,原題解法是采用分類討論,比較復(fù)雜,這里我們采用分離函數(shù),數(shù)形結(jié)合的方法,顯得直觀簡便,當(dāng)然其中除了要考慮函數(shù)圖像的漸近線和增長速度外,還特別需要注意函數(shù)g(x)在x →0 時(shí)的函數(shù)值的情況,否則會得出a 的取值范圍為[0,+∞)錯(cuò)誤的結(jié)果!

圖7

圖8

六、由直覺導(dǎo)致的“隱患”

評注在采用數(shù)形結(jié)合時(shí),對于一些涉及函數(shù)圖像細(xì)節(jié)的地方,我們不能過于依賴直覺,有時(shí)還需要用數(shù)(計(jì)算)來輔助解決!

一般來說,在函數(shù)作圖中,我們需要考慮:

1 確定函數(shù)的定義域;

2 判斷函數(shù)是否具有奇偶性,周期性及其它的對稱性,方便快速作圖;

3 確定函數(shù)的增減區(qū)間和極值點(diǎn);

4 確定函數(shù)的凹凸性和拐點(diǎn);

5 確定函數(shù)是否具有漸近線;

6 求出一些特殊點(diǎn)的函數(shù)值;

7 多個(gè)函數(shù)之間有時(shí)還需要比較增長的速度.

只要我們做到以上這些,就能防患于未然,真正完美的發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的功能!