基于EEMD與頻域分析的主軸回轉誤差評定*

呂 銘，陳蔚芳，蘇 川，韋子祥

(南京航空航天大學機電學院，南京 210016)

0 引言

主軸是數控機床的關鍵功能部件，其精度直接影響機床的加工精度。主軸回轉誤差過大，將影響機床的工作性能和壽命，這對精密機床來說是不允許的。隨著加工精度要求的提高，對高速主軸的回轉誤差進行動態檢測具有重要意義。目前常見的主軸誤差測試方法有靜態打表法、單向法、雙向法、多步法、多點法[1-3]等。在回轉誤差測量中往往還涉及到誤差分離技術，Wei G等提出的混合法利用兩個線位移傳感器和一個角位移傳感器同時進行測量[4]，能夠將圓度誤差和主軸的回轉誤差進行完全分離，也能很好地測出表面形貌里的高頻成分。譚久彬等通過分析多步法誤差分離技術的原理誤差，提出鑒相法誤差分離技術[5]，擴展了無諧波抑制范圍，并簡化測量過程和測量系統。對于標準球或檢測棒安裝偏心的消除，KimK、梁淑卿等[6-7]將其視為正余弦信號，通過濾除一階諧波分量進行消除，該方法由于采用近似算法，存在誤差。

目前較先進的主軸回轉誤差測量方法設備和工裝成本高，檢測方法較繁瑣，檢測的實時性也沒有很好地解決，不適用于廣泛運用。為此，本文在前人研究基礎上，結合時域和頻域的信號分析方法，以FFT頻域分析和集合經驗模態分解方法為理論基礎，提出了一種新的主軸回轉誤差測試方法。通過建立理論誤差模型分析了各回轉信號的特征，彌補了兩點法無法完全分離偏心誤差的缺陷，降低了對設備精度和傳感器安裝位置精度的要求。

1 主軸回轉誤差測量原理

主軸系統的回轉誤差包含了軸向竄動、徑向跳動和傾角擺動誤差[8]。測量主軸軸向竄動時，只需要在主軸端面安置一個位移傳感器進行測量即可，本文不多贅述。主軸的徑向跳動和傾角擺動都屬于徑向誤差：徑向跳動為單個截面的徑向誤差，包含了二維信息，故可以采用雙向正交測量法進行間接測量；傾角擺動可由兩個截面的徑向誤差數據求得，故準確測量徑向跳動誤差是評估主軸回轉誤差的重要前提。徑向跳動誤差的測量結果中一般包含了檢測棒制造和安裝的誤差、傳感器安裝偏心引入的偏心誤差和主軸變形誤差等。為了準確評估主軸回轉誤差，需要從綜合誤差中剔除偏心誤差以及變形誤差。對于主軸回轉誤差常以回轉精度作為評判指標，其測量原理是：主軸帶動軸端的檢測棒做回轉運動時產生徑向跳動，點激光位移傳感器測量與測試棒間的位移變化數據并轉化為模擬電壓信號，采集系統進行定時信號采集，最終使用最小二乘圓法評價主軸回轉誤差。

如圖1所示為主軸徑向跳動的示意圖，圖中O為主軸理想回轉中心，由主軸的支撐部件確定。

圖1 徑向跳動原理圖

Oi為主軸平均旋轉中心，由于電主軸旋轉存在徑向跳動，故圖中點O和點Oi不重合；ri為檢測棒的徑向跳動誤差；R為檢測棒橫截面半徑；θi為檢測棒回轉角。隨著電主軸的運行，主軸支撐結構的變形將導致主軸平均旋轉中心在不同溫度場下產生偏移，加上運動過程中主軸的隨機跳動，點激光位移傳感器與被測圓柱表面間的距離實時發生變化。兩個位移傳感器的位移信號xi和yi可表示為：

xi(θi)=Sx(θi)+ex(θi)+rx(θi)

(1)

yi(θi)=Sy(θi)+ey(θi)+ry(θi)

(2)

式(1)和式(2)中，Sx(θi)、Sy(θi)為檢測棒相差90°的兩個測點的表面形狀誤差，ex(θ)、ey(θ)為傳感器安裝誤差在X、Y方向上帶來的偏心誤差；rx(θi)、ry(θi)為徑向誤差運動在X、Y方向上的分量。如圖2所示，采用雙向正交測量法測量主軸徑向位移。

圖2 雙向正交測量法

主軸旋轉過程中，以高精度檢測棒作為基準，沿檢測棒軸向布置兩組點激光位移傳感器(每組兩個，共4個)，每組傳感器沿X、Y坐標軸方向呈正交分布安裝，即圖中的S1、S2、S3、S4。每組實驗測得的位移信號中不僅包含回轉誤差信號xi和yi，還混入了采集系統自身的噪聲信號、檢測棒自身制造和安裝的誤差以及傳感器安裝偏心帶來的偏心誤差信號。換言之，由xi和yi所確定的為圓截面幾何中心的軌跡而非回轉軸心的軌跡。為得到精確的主軸回轉誤差，必須盡量減小或者消除檢測棒形狀誤差S和偏心誤差e。

2 回轉誤差運動模型

徑向跳動誤差主要特點為周期性以及徑向性。所謂周期性即圓輪廓信號主要由轉速基頻和倍頻成分組成；徑向性指圓截面實際輪廓為一個封閉曲線輪廓，且各點徑向尺寸各有差異。采用高精度檢測棒情況下，徑向誤差信號主要包含了偏心誤差以及回轉誤差，使用傅里葉級數可表示為：

(3)

式中，k表示圓輪廓諧波分量階數；S0為數據中的直流分量，與傳感器安裝位置和主軸變形有關；Ak、Bk為i階諧波對應的幅值。

圖3 偏心誤差原理圖

CIRP統一文件認為主軸徑向回轉誤差中不存在一次諧波，采樣信號中的一次諧波完全由偏心引起，但相關領域內的部分學者對上述觀點持否定態度。為了探究偏心帶來的實際影響，本文對偏心作用進行了進一步分析，其原理如圖3所示。

圖中O為主軸回轉中心，O′為截面幾何中心，ri為偏心距，θ為回轉角，R為截面半徑，e為傳感器與主軸回轉中心的偏移量，D為位移傳感器軸線與y軸的交點到被測點的距離。假設檢測棒不存在形狀誤差，通過幾何關系可得到：

(4)

當e=1 mm，R=30 mm，ri在0～0.014 mm范圍內變化時，對D進行頻譜分析，結果如圖4所示。當ri=0.005 mm，R=30 mm，e在0～3 mm范圍內變化時，對D進行頻譜分析，結果如圖5所示。從圖中分析可知，ri和e均對雙方具有放大作用，信號主要以基波為主，e<1 mm，ri<0.012 mm時頻譜中的基波賦值近似等于ri，此時可忽略高次諧波的影響，通過濾除基波消除偏心誤差。但隨著ri和e的增大，高次諧波在頻譜中所占比重以指數形式增長，此時僅濾除基波無法很好地將偏心誤差完全消除。

故在不同的偏移量和偏心距情況下，僅靠傅里葉變換消除一階諧波去除偏心誤差的做法在傳感器安裝精度不高的情況下并不能完全分離偏心誤差信號，需要找到一種可靠的方法有效分離偏心誤差。

圖4 諧波幅值與偏心距ri的變化規律 圖5 諧波幅值與偏移量e的變化規律

3 基于EEMD與頻域分析的主軸回轉誤差

評定

3.1 EEMD方法基本原理

EEMD算法以EMD算法為基礎，在EMD分解過程中加入極小幅度的白噪聲，可以有效抑制模態混疊現象，使分離得到的固有模態分量(Intrinsic Mode Function，IMF)具有實際物理意義。同時，得益于白噪聲均勻分布的特點，將其投射到不同頻率尺度的信號中，可有效抑制IMF的不連續性。EEMD算法步驟如下：

(1)向被分解信號xi(t)中加入均值0、幅值標準差為常數的高斯白噪聲，進行信號歸一化處理；

(2)使用EMD算法分解歸一化信號，獲得各階IMF函數；

(3)重復步驟(1)和步驟(2)，每次加入強度相同序列不同的高斯白噪聲；

(4)利用白噪聲頻譜為零的特點，將上述各階IMF函數進行集成平均處理從而消除人為加入的白噪聲對真實IMF的影響，獲得x(t)的EEMD分解，即：

(5)

EEMD 算法可根據被分析信號特征，將含相關源在內的信號分解成一系列線性、平穩的IMF分量，即將多變量信號分解成若干單分量調幅、調頻信號之和，該過程可視為線性濾波。在分解過程中加入的高斯白噪聲將直接影響其分解效果，白噪聲賦值過大將影響高頻信號的間隔分布，賦值過低則無法影響低頻極值點的選取，喪失時間尺寸補充的作用。故EEMD算法需加入有效的白噪聲準則[9]，具體如下：

(6)

式中，ηh為分解信號有效高頻成分幅值標準差；ηg為加入高斯白噪聲幅值標準差；ηf為分解信號幅值標準差。

3.2 同步、異步誤差分離

根據美國ASME標準，可以對主軸總誤差(RTRE)按照頻率劃分為同步誤差(RSRE)和異步誤差(RARE)。同步誤差又叫平均誤差，指主軸回轉基頻整倍數的那些分量的總和;異步誤差又叫隨機誤差，是指總誤差減掉同步誤差的剩余分量，包括主軸回轉基頻整數倍以外的其他誤差成分以及基頻以內的周期性諧波成分。這種分離方式對于工程評價和誤差源辨識是具有實際意義的。研究中通過對信號進行FFT變換后得到對應的頻譜圖，使用合適的梳狀濾波器對信號中的同步異步成分進行提取分離，圖6為典型的梳狀濾波器頻率特性圖。

圖6 梳狀濾波器頻率特性

3.3 主軸回轉誤差評定方法

當采用高精度測試棒的情況下，實驗測得的信號中需要分離信號的直流分量和偏心誤差，具體評定方法流程如圖7所示,基本步驟如下：

(1)對采集的位移數據先進行均值處理，濾除采集系統中的高斯白噪聲信號；將濾波后的信號進行EEMD處理，從高頻到低頻分解為若干IMF分量和一個殘余分量。中低階的IMF代表了數據的局部特征，包含了信號的高頻分量，主要為主軸各回轉誤差信號；傳感器偏心誤差包含在若干高階IMF分量之中；殘余分量和接近殘余分量的高階IMF分量則與傳感器初始安裝位置和主軸變形誤差有關，隨著溫度變化可反映主軸的回轉中心偏移量。

圖7 主軸回轉誤差評定流程

(2)以信號波數為指標，去除各分量中的偏心誤差以及直流分量。對于每個IMF分量波數的計算采用如下方式：

Di(k)=(imfi(k+1)-imfi(k))×fs

(7)

式中，Di(k)為IMF序列對應的一階導數序列，計算Di(k)與x軸的交點個數Ni，則每階IMF序列的波數Wi為[Ni/2]，[*]表示向下取整。

由前面分析可知，當以傅里葉級數表示偏心誤差時，信號主要由基頻信號和若干不確定的高次諧波組成。換言之，對于這類三角波形，傅里葉變換必然會產生多個三角諧波，也就造成了偏心誤差的諧波成分不確定的情況。而EEMD方法擺脫了必須以三角函數作為基本分解單元的束縛，可自適應各種不同的波形進行頻段分離。由于偏心誤差帶來的周期與轉速周期相同，即偏心誤差對應的波形其波數為1波/周，故波數小于1波/周的IMF分量為偏心誤差信號；殘余分量為熱誤差變形與傳感器初始值的綜合量，其變化量代表了主軸回轉中心的偏移量。將波數截止值設為1波/周，濾除波數小于截止值的IMF分量和殘余分量。

(3)濾除偏心誤差信號以及殘余分量后，將剩余的IMF分量重構即為真實的回轉誤差信號。主軸回轉誤差計算分兩個步驟完成：第一步以重構后的信號計算主軸的總回轉誤差；第二步借助FFT頻域分析技術，將時域信號轉換為頻域信號后使用梳狀濾波器分離并提取其同步分量和異步分量，分別進行IFFT后計算各自的同步回轉誤差和異步回轉誤差。

4 實例分析

圖8 回轉誤差試驗臺

主軸回轉誤差試驗臺如圖8所示，被測對象為30 kW/24 000 r/min的高精度內藏式高速電主軸，前端夾持一個高精度檢測棒；信號采集設備使用武漢uTekl動態信號分析系統，最高采樣頻率160 MHz；以軸向為基準將MTI點激光位移傳感器沿X、Y坐標軸方向呈正交分布安裝；電主軸軸承溫度使用鉑熱電阻進行測量。測試系統搭建方案如圖9所示。

圖9 測試系統方案圖

圖10 去噪后的主軸X向原始數據

如圖10所示為3000 r/min情況下，單個截面X方向上經過均值濾波去除白噪聲后的數據。對X方向的數據進行EEMD分解后得到9個IMF以及殘余分量(見圖11)。根據本文計算波數的方法，IMF4分量的波數為1波/周，即4階到9階的IMF分量屬于偏心誤差，殘余分量為變形和傳感器初始安裝位置的綜合距離信息。分離得到的偏心誤差信號與殘余分量所對應的頻域如圖12所示，從頻域圖中可看到，偏心誤差主要由1階到5階的諧波組成，且1階基頻分量為主要成分，結果與前文對于偏心誤差的分析相吻合。將余下的低階IMF分量合并后重構組成回轉誤差信號。對同一截面Y方向上的數據進行相同處理后，使用X、Y方向的回轉誤差信號求解回轉軸心的軌跡，對應的極坐標圖如圖13所示，利用軸心軌跡并結合最小二乘圓方法即可求得主軸的各回轉誤差。

圖11 X向原始數據EEMD結果

圖12 X向偏心誤差頻譜圖

圖13 回轉誤差軌跡圖

多工況下，主軸回轉誤差的結果如圖14所示，隨著主軸轉速的上升，軸承溫度以及主軸回轉誤差均呈現增大趨勢，且回轉誤差以同步誤差為主。特定轉速下，由于主軸處于共振區，主軸回轉誤差會呈現異常增大趨勢，此類工況將會對軸承支撐系統壽命以及工件質量造成一定影響，故實際工作中避免共振區間顯得至關重要。

為驗證測量方案的可靠性，每個轉速下分別測量5次回轉誤差，對應的數據如圖15所示，從圖中可以看到，轉速從1 000～7 000 r/min過程中，每個工況下綜合回轉誤差的標準差最大值為0.046，表明該測試方案的數據重復度良好，算法的魯棒性較強。

圖14 多工況下的回轉誤差實驗結果

圖15 測量方案可靠性實驗數據

5 結論

基于FFT頻域分析和集合經驗模態分解方法提出的一種主軸回轉誤差測試方法，能有效分離偏心誤差與熱誤差變形后得到主軸的同步與異步誤差。優化的誤差分離算法無需大量原始檢測數據作為支撐，提高了檢測實時性的同時降低了設備工裝精度的要求。多工況下的實驗表明，主軸轉速上升將造成軸承組溫度升高，主軸回轉誤差也將逐漸增大，且主要以同步誤差為主；在某些轉速下由于主軸處于共振區，主軸回轉誤差會異常增大，應避免主軸在此類轉速下工作；該測試方法在同一工況下結果重復度良好，具有較強的魯棒性，能為電主軸性能測試提供一定的理論依據以及技術支撐。