基于冪次趨近律滑模觀測器的永磁同步電機控制*

白天宇，劉 軍，許志明，唐文俏

(上海電機學院電氣學院，上海 201306)

0 引言

永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor，PMSM)具有功率密度高，轉子損耗小等優點，被應用于各個領域。要對永磁同步電機實施高性能控制，那么精準的轉子位置和轉速信息的獲取變得至關重要。由于機械傳感器會增加電機驅動系統的成本和體積，而且在一些極端環境下機械傳感器的使用存在著許多不便。因此，無傳感器控制技術成為了永磁同步電機控制系統的研究熱點[1-5]。

目前，PMSM無傳感器控制獲取電機轉速和轉子位置的方法主要分以下兩種：基于電機的數學模型和基于電機的凸極效應[6]。基于電機數學模型主要有適用于電機中高速運行階段的模型參考自適應法[7]、滑模觀測器法[8-9]、擴展卡爾曼濾波法[10-11]等。基于電機凸極效應的主要有適用于零低速運行階段的旋轉高頻信號注入法和脈振高頻信號注入法。當電機運行在中高速階段，通常是對電機的反電動勢進行觀測，從而根據反電動勢來獲得電機的轉子位置和轉速信息。文獻[12]采用sigmoid函數代替傳統的符號函數來對反電動勢進行估計，在一定程度上削弱了系統的抖振問題。文獻[13]采用一種分段型指數函數作為滑模觀測器的切換函數，可以有效的削弱抖振，但電機啟動時的轉速誤差較大。文獻[14]采用反正切方法來估算轉子位置和轉速，導致了較大的估計誤差。文獻[15]采用鎖相環的方法來估算轉子位置，但是轉子位置的觀測值受到轉速變化的影響，降低了轉子位置和轉速的觀測精度。

本文提出了一種基于冪次趨近律的新型滑模觀測器，該新型滑模觀測器采用新型分段函數代替傳統滑模觀測器中的切換函數，并引入冪次趨近律結合到新型滑模觀測器的切換函數中，利用李雅普諾夫(Lyapunov)函數驗證了其穩定性，同時對用于轉子位置和轉速估計的鎖相環進行改進，消除了轉速對轉子位置觀測精度的影響。最后通過仿真對比分析，結果表明該控制方法提高了轉子位置和轉速的觀測精度，減弱了系統的高頻抖振，具有良好的控制性能。

1 永磁同步電機數學模型

假定永磁同步電機為理想電機，并滿足條件: ①忽略定子鐵芯飽和，磁路為線性，電感參數不變；②轉子永磁體磁場在氣隙空間分布為正弦波；③不計鐵芯和渦流損耗；④轉子上無阻尼繞組,則表貼式永磁同步電機在兩相靜止坐標系下的數學模型為：

(1)

(2)

式中，iα、iβ為定子電流在α、β軸上的電流分量，Rs為定子電阻，Ls為定子電感，uα、uβ為定子電壓在α、β軸上的電壓分量，Eα、Eβ為α、β軸上的反電動勢分量，ψf為永磁體磁鏈，ωe為電角速度，θ為轉子位置角度。

由式(1)可得，轉子位置和轉速信息包含在反電動勢中，因此，可以通過對反電動勢進行觀測，從而得到轉子位置和轉速。

2 傳統滑模觀測器

為了獲得反電動勢的估計值，傳統滑模觀測器設計通常如下：

(3)

(4)

(5)

式中，k為滑模切換增益，且k滿足：

k>max(|Eα|,|Eβ|)

(6)

為了獲得連續的反電動勢，需要對式(6)進行低通濾波處理，濾波后得：

(7)

式中，ωc為低通濾波器的截止頻率，可得到反電動勢的估算值，由式(2)可得轉子位置和轉速的觀測值為：

(8)

(9)

由于低通濾波器的使用，會引起相位滯后和幅值變化，因此為了獲得較為精確的轉子位置信息，需要對轉子位置角進行補償，即：

(10)

3 新型滑模觀測器

3.1 切換函數

傳統滑模觀測器的抖振現象主要是因為切換函數的不連續性所引起的，傳統滑模觀測器大多使用的是符號函數，因此使得系統存在大量的高次諧波，本文設計了一種新型分段函數作為滑模觀測器的切換函數，其公式為：

(11)

圖1 分段型冪函數曲線

式中，Δ為邊界層厚度。該分段函數的函數特性曲線如圖1所示，由圖可知，在邊界層內，函數f(x)為光滑上升曲線，在邊界層外，函數f(x)可以使電流的誤差值飽和，所以能夠使估算反電動勢更加光滑。

3.2 冪次趨近律新型滑模觀測器

定義滑模面函數為:

(12)

取冪次趨近律:

(13)

冪次趨近律新型滑模觀測器建立如下：

(14)

式中，k為冪次趨近律新型滑模觀測器的滑模增益。

將式(14)減去式(1)可得滑模觀測器的誤差方程為：

(15)

由式(15)可知，將新型分段函數代替傳統滑模觀測器中的符號函數，并引入冪次趨近律代替傳統滑模觀測器的等速趨近律，經過濾波器濾波后，可得到觀測的反電動勢，從而估算轉子轉速和位置信息。

為了驗證其穩定性，采用李雅普諾夫函數穩定性判據對冪次趨近律新型滑模觀測器進行穩定性分析，選取李雅普諾夫函數為：

(16)

對式(16)求導，并代入電流誤差方程，可得：

(17)

根據穩定性條件，需要滿足：

(18)

k>max(|Eα|,|Eβ|)

(19)

3.3 鎖相環估計轉子位置

基于反正切函數的轉子位置估算方法會導致較大的轉子位置估算角度誤差，因此本文采用鎖相環來獲取轉子位置的觀測值。

當定子電壓電流經過冪次趨近律新型滑模觀測器后，可以得到觀測的反電動勢，在反電動勢中包含電機的轉子位置和轉速信息，故轉子位置誤差信號為：

(20)

誤差信號ΔE經過PI調節器，再經過積分可以得到轉子位置，鎖相環的傳遞函數為：

(21)

(22)

由式(21)可知，速度的變化會影響鎖相環估算轉子位置的精度，因此在傳統鎖相環中加入一個除法環節，可提高觀測器的觀測精度。改進后的鎖相環結構框圖如圖2所示。

圖2 鎖相環結構圖

因此可得：

(23)

此時鎖相環的傳遞函數為：

(24)

該鎖相環可濾除反電動勢中的高頻諧波分量，提高轉子位置的觀測精度。

4 仿真結果及分析

圖3為基于冪次趨近律新型滑模觀測器的永磁同步電機無傳感器控制系統結構框圖，采用Matlab/Simulink軟件，搭建了基于冪次趨近律新型滑模觀測器的永磁同步電機無傳感器控制系統仿真模型，并對參數如表1的表貼式永磁同步電機進行了系統仿真。

圖3 PMSM無傳感器控制框圖

表1 電機參數表

圖4為采用傳統滑模觀測器系統的實際轉速、觀測轉速以及轉速誤差波形。圖5為采用冪次趨近律新型滑模觀測器系統的實際轉速與觀測轉速、轉速誤差波形。由圖可知，傳統滑模觀測器起動性能差，起動階段轉速誤差較大，穩定后轉速觀測誤差為±13r/min,基于冪次趨近律的新型滑模觀測器減弱了系統的抖振問題，起動階段轉速誤差較小，響應速度快，可以很好地跟蹤實際轉速并且穩定在目標轉速，穩定后轉速觀測誤差為±0.1r/min,提高了系統的轉速觀測精度。

(a)轉速實際值與估計值 (b)轉速誤差圖4 傳統滑模觀測器控制的響應波形

(a)轉速實際值與估計值 (b)轉速誤差圖5 冪次趨近律新型觀測器控制的響應波形

圖6為使用傳統滑模觀測器系統的轉子實際位置、觀測位置和轉子位置觀測誤差響應波形。圖7為使用冪次趨近律新型滑模觀測器系統的轉子實際位置、觀測位置和轉子位置觀測誤差波形。根據圖6和圖7對比分析可得，傳統滑模觀測器對于電機轉子位置的觀測在初始階段存在著明顯的抖振現象，而且轉子位置觀測誤差較大，基于冪次趨近律的新型滑模觀測器可以快速準確地觀測轉子位置，減弱了系統的高頻抖振，轉子位置誤差遠遠小于傳統滑模觀測器，觀測精度較高。

(a)轉子位置實際值與估計值 (b)轉子位置誤差圖6 傳統滑模觀測器控制的響應波形

(a)轉子位置實際值與估計值 (b)轉子位置誤差圖7 冪次趨近律新型觀測器控制的響應波形

5 結論

針對傳統滑模觀測器存在的高頻抖振、觀測精度差等問題，本文采用新型分段函數代替傳統滑模觀測器中的符號函數，并引入冪次趨近律結合新型分段函數，同時采用改進鎖相環技術對轉子位置和轉速進行估計。仿真結果表明基于冪次趨近律的新型滑模觀測器能夠減弱系統的高頻抖振，準確地估算轉子位置及轉速，具有良好的控制性能。