基于矩陣方程的齒輪點蝕發生與擴展模擬*

溥 江，趙 鑫，張秀華，

(1.貴州民族大學機械電子工程學院，貴陽 550025；2.貴州大學機械工程學院，貴陽 550025 )

0 引言

齒輪是機械設備中最重要的部件之一，通過齒面接觸傳遞動力，其傳動性能取決于齒面接觸狀況。由于惡劣的工作環境、較高的工作負載、長時間的運轉，齒輪易出現點蝕等失效模式。齒輪表面的損壞會降低時變嚙合剛度(time-varying mesh stiffness,TVMS)，因此齒輪齒面點蝕的嚴重與否可以通過TVMS的減小量來衡量。

上述大部分研究都是將點蝕作為規則形狀進行的，這并不能客觀體現真實點蝕對時變嚙合剛度帶來的影響。本文提出一種基于矩陣模擬點蝕發生與擴展的方法，將模擬點蝕與真實發生點蝕形狀相對應，應用改進勢能法分析了點蝕擴展對TVMS的影響，為后續繼續研究點蝕變化規律提供一種手段。

1 三類實際齒面點蝕與點蝕模擬方法

1.1 三類實際點蝕齒面

齒輪由于表面材料的去除導致嚙合時有效接觸面積減小，從而使嚙合剛度發生減小，嚙合剛度的變化是沖擊與動載荷產生的原因。齒輪點蝕由于形成原因不同，其形狀、位置、深度也不盡相同。而大部分學者在研究齒輪點蝕時將點蝕形狀模擬為規則圖形，圓形、矩形、橢圓形、V形等。然而規則的形狀只能模擬特定的情況，不能代表所有點蝕，應用規則形狀來模擬點蝕雖然會使計算變得簡單，但可能會導致較大的計算誤差。

圖1為幾種齒面點蝕，圖1a為規則形狀橢圓形點蝕。圖1b為不規則形狀點蝕，圖1c[11]為節線附近正態分布多點蝕坑點蝕,這類點蝕通常是由于節線下方區域油膜厚度較低，且為齒頂與齒根接觸區域，應力集中較為明顯，潤滑油進入微小裂紋形成裂紋，裂紋擴展形成微點蝕，當多個微點蝕連接時，點蝕會在節線下方一定區域擴展、增多，隨著運行時間增長，附近輪齒上也會相繼出現這種點蝕。

(a) 規則形狀點蝕 (b) 不規則形狀點蝕

(c) 節線附近正態分布多點蝕坑點蝕圖1 三種點蝕

1.2 點蝕模擬方法

以3個二維n階方陣x(i,j)、y(i,j)、z(i,j)分別代表沿齒厚方向矩陣、齒寬方向矩陣、齒高方向矩陣。提出一種基于該3個方陣的變化用于模擬點蝕發生與擴展程度的方法。即任一矩陣數值發生變化時表示曲面在相對應的方向上發生變化，利用這種原理可以模擬點蝕發生與擴展。即當齒面發生點蝕時，點蝕向著齒厚方向生長，致使齒厚矩陣發生變化。

齒輪齒面為漸開線，由于漸開線的發生線沿基圓滾過的長度等于基圓上被滾過的弧長的特性，齒輪得以正確嚙合。漸開線齒廓方程為式(1)

(1)

其中，φ為漸開線發生線與基圓切點與圓心連線與漸開線起始點與圓心連線的夾角，rb為漸開線基圓半徑。

為了在模擬點蝕發生與擴展時點蝕在齒面上的各個位置上的幾率相同。由于齒面為弧面，需將齒面沿漸開線弧長方向等弧長離散。根據平面曲線弧長公式求得漸開線弧長為：

(2)

則沿漸開線方向等弧長離散的每個微元長度為：

(3)

第i個微元對應的角度φi為：

(4)

則等弧長離散后的漸開線方程為式(5)：

(5)

依照上述模擬方法畫出齒輪齒面如圖2a所示，圖2b為真實三維齒面模型。

(a) 模擬齒面(b) 真實齒面圖2 齒面對比

點蝕會在齒面上發生，面積在齒面上逐漸變大，深度向著齒厚方向逐漸加深。為了模擬點蝕，首先建立一個n×n的零矩陣作為點蝕矩陣的初始矩陣，如圖3a所示。將該矩陣與齒厚方向矩陣相加得到未發生點蝕時的齒面方程，當齒輪發生點蝕時點蝕矩陣一部分值發生變化，如圖3b所示，數值變化大小相當于點蝕坑在該位置的深度，將該矩陣與齒厚方向矩陣相加，得到點蝕齒面方程。

(a) 健康齒面點蝕矩陣 (b) 發生點蝕后的點蝕矩陣

模擬得到的點蝕齒面如圖4a，圖4b為齒面發生矩形點蝕的真實情況，兩圖對比可發現該方法可以較為準確的模擬齒面點蝕。通過對點蝕矩陣設置不同的算法，從而模擬不同形狀、位置的點蝕，而不是僅限于矩形，這樣會與真實情況更為接近。對點蝕矩陣進行迭代，模擬點蝕生長。

(a) 矩形點蝕模擬 (b) 真實矩形點蝕齒面圖4 矩形點蝕對比

2 勢能法計算嚙合剛度

勢能法計算點蝕狀態下的TVMS如下：

(17)

(18)

(19)

(20)

其中，E為彈性模量，Ix為面積慣性矩，Ax為輪齒截面積，α1為任一時刻壓力角。式中各參數計算如下[11]：

(2)

由式(17)～式(20)可知當齒輪發生點蝕時接觸線長減少量為ΔL，橫截面積減小量為ΔAx，面積慣性矩減小量為ΔIx，其余參數不變。

圖5 齒輪點蝕部位橫截面積示意圖

圖5中dx為齒面發生點蝕后圖形中心軸偏移量，則面積慣性矩變化量ΔIx計算方法如下：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

式中，Ix為原圖形相對于x軸的慣性矩，Ix2為截面積少了橢圓形bco時相對于x軸的慣性矩，Ix′為截面積少了橢圓形bco時相對于軸線偏移dx后的慣性矩。

3 點蝕擴展與嚙合剛度計算

點蝕面積擴展速率與運行時間呈正比關系,齒輪受力越大點蝕擴展速度越快。當點蝕面積超過50%時，齒輪失效。

點蝕成長形狀：點蝕體積與直徑的2.1次方呈正比關系υ∝D2.1，點蝕深度與直徑的0.1次方呈正比關系h∝D0.1。點蝕坑的深度在達到極限值后停止發生變化，點蝕的面積會持續擴大[7]。

齒面點蝕由于制造誤差、安裝誤差、后期運行、潤滑等原因出現的形狀、位置各不相同。在實際情況中點蝕很少會形成規則圖形，大部分研究為了便于計算將點蝕模擬為圓形或橢圓形，橢圓形點蝕生長代碼流程見表1，模擬點蝕如圖6a所示，此圖與圖1a相對應。圖6b～圖6d為點蝕矩陣迭代100、300、500次的結果，為點蝕的生長過程，隨著迭代次數增加，點蝕面積逐漸變大，點蝕深度在增加到一定深度后不再發生變化。

表1 橢圓形點蝕矩陣控制MATLAB代碼流程

(a) 橢圓形點蝕 (b) 迭代100次點蝕

(d) 迭代300次點蝕 (e) 迭代500次點蝕圖6 橢圓形點蝕生長

齒面點蝕的形狀通常為不規則的，而且隨著運行環境的不同，點蝕不會朝著同一個方向擴展，而是以原有點蝕坑為中心向著四周以不同的速率生長。此類點蝕模擬MATLAB代碼與橢圓形點蝕類似，只是將表1中3行代碼修改為如表2所示，其余代碼不變。圖7a為不規則形狀點蝕，此點蝕對應圖1b的不規則形狀點蝕。圖7b～圖7d為點蝕矩陣迭代100、300、500次的結果，點蝕形狀會根據點蝕矩陣迭代次數不同而變化。

表2 不規則點蝕矩陣控制MATLAB代碼流程

(a) 任意形狀點蝕 (b)迭代100次點蝕

(c) 迭代300次點蝕 (d)迭代500次點蝕圖7 任意形狀點蝕生長

點蝕通常不會單個出現，當點蝕出現時，其附近會更容易出現新的點蝕，通常情況下，點蝕的深度、面積會逐漸增大，附近也會相繼出現新的點蝕，直至齒輪失效。而這類點蝕主要會在應力較大的地方出現，點蝕沿節線附近生長，節線附近點蝕坑較深、面積較大，遠離節線處，點蝕面積小，深度淺。此類點蝕代碼流程見表3。點蝕模擬如圖8a，此圖對應圖1c的情況,圖8b～圖8d為此類點蝕生長過程。

表3 節線附近正態分布多點蝕坑點蝕矩陣MATLAB代碼流程

續表

(a) 節線附近點蝕 (b) 迭代100次點蝕

(c) 迭代300次點蝕 (d) 迭代500次點蝕圖8 節線附近點蝕生長

圖9 正態分布點蝕

4 幾種點蝕TVMS對比

以橢圓形點蝕為例，隨著點蝕面積逐漸增大，深度加深，TVMS降低越來越快。圖10a與文獻[4]得出曲線數值、趨勢相同，得以驗證本文所述方法準確性。圖11b為同樣大小點蝕，出現位置不同時的TVMS曲線。由圖可知，勢能法計算點蝕齒輪嚙合剛度并不能得出點蝕在齒寬方向位置信息；在齒高方向，點蝕越靠近單齒嚙合區中部，嚙合剛度降低越多，越靠近齒根或齒頂，嚙合剛度降低越少。

(a) 不同面積深度點蝕

(b) 不同位置點蝕圖10 幾種不同情況TVMS對比

對比不規則點蝕與節線附近正態分布多點蝕坑點蝕的TVMS，得出結論與橢圓點蝕相同。

5 結論

基于矩陣方程提出一種橢圓形、不規則形狀、節線附近正態分布多點蝕坑點蝕模擬方法，根據點蝕發生機理與擴展速率模擬了點蝕擴展，并列出了相關代碼流程。并得出以下兩條結論：

(1)將勢能法進行改進，使其可以計算本文提出的點蝕擴展情況下的TVMS，并與已有文獻進行對比，驗證了該方法的正確性。

(2)得出了點蝕擴展過程中的TVMS，結果表明點蝕坑中心越靠近單齒嚙合區的中部導致TVMS降低越多，點蝕面積越大，深度越深TVMS降低越多。