基于全階滑模控制的雙輪移動機器人跟蹤誤差研究*

萬 軍，賈宇明

(1.重慶城市職業學院信息工程系，重慶 402160；2.電子科技大學通信與信息工程學院，成都 610036)

0 引言

隨著人工智能技術的發展，機器人的應用領域也逐漸擴大。消防機器人 、醫療機器人、航天機器人、服務機器人及教育機器人等已經得到了快速發展[1-2]。在機器人發展過程中，兩輪差速機器人因結構簡單，在社會發展中得到了普遍應用。對兩輪差速機器人的研究，主要問題還是控制的精確性和穩定性。當設置參考運動軌跡時，機器人能夠平穩、精確、快速地按照指定運動軌跡進行追蹤。

當前，對機器人控制的研究方法有多種。例如：文獻[3-4]研究了清洗機器人控制系統，主控制器硬件采用單片機控制，通過圖像識別技術，設計出清洗機器人人機交互界面，該控制系統具有結構簡單、操作靈活等優點；文獻[5-6]研究了機器人分數階PID控制方法，采用粒子群算法對PID控制器參數進行優化，將優化后的參數通過MATLAB軟件進行仿真，從而提高了機器人控制系統的響應速度；文獻[7-8]研究了鋼結構壁面機器人模糊控制系統，設計了模糊推理測試模型，通過MATLAB軟件對模塊控制系統進行測試，較好地實現人機作業的控制要求。例如：文獻[9]研究了兩輪移動機器人狀態反饋控制器，建立了兩輪機器人空間坐標系，推導其移動速度和角速度方程式，設計了狀態反饋控制器仿真模型，能夠使機器人速度和角速度保持在零線附近。但是，對兩輪移動機器人的運動速度和角速度跟蹤控制方法研究較少。

對此，本文主要介紹經典PI控制器和全階滑模控制器，全階滑模控制器以獨立輪角速度控制器的形式用于兩輪差動驅動移動機器人。為了獲得相關的實驗數據，除了一般的動力學特性外，構成的基礎數學仿真模型還包括驅動器的動態特性和粘滯摩擦。驗證和比較內部速度控制回路在使用經典PI控制和全階滑模控制器中的性能。

1 移動機器人模型

1.1 機器人運動學模型

本文研究的是雙輪移動機器人，其模型及參數如圖1所示。

圖1 雙輪移動機器人簡圖

移動機器人位置和速度向量定義如下：

(1)

式中，x、y、φ分別為移動機器人橫坐標、縱坐標和方向角度；v、ω分別為移動機器人線速度和角速度。

移動機器人動力學模型[10]定義為：

(2)

式中，d為重心到車輪轉動中心的距離。

移動機器人左輪、右輪角速度定義為：

(3)

式中，ωR、ωL分別為移動機器人左輪和右輪角速度。因此，可以得到移動機器人的線速度和角速度分別如下所示：

(4)

式中，r、b分別為車輪半徑、車輪到車輪轉動中心的距離。

由式(3)、式(4)經過逆變換可得移動機器人的線速度v和角速度η之間的關系如下：

(5)

1.2 機器人動力學模型

根據牛頓第二運動定律，在全局坐標中的加速度v′、速度v和左、右輪輸入的扭矩τR、τL之間的微分關系為：

(6)

(7)

式中，M為移動機器人的質量；Ic為移動機器人的轉動慣量。

移動機器人在運動過程中，實際產生的扭矩為：

τi=τmi-(τfi-τzi)

(8)

式中，τmi為驅動器產生的扭矩；τfi為車輪旋轉產生的摩擦扭矩；τzi為外部干擾產生的扭矩；i=R，L。

式(6)、式(7)采用矩陣表示為：

M(q)v′+V(q′,q)v+Fv=B(q)τm-B(q)τz

(9)

式中，M(q)為慣性矩陣；V(q′,q)為向心力矩陣；F為摩擦力矩陣；B(q)為變換矩陣。

1.3 直流電動機模型

帶有減速器和負載的直流電動機機電部分結構如圖2所示,本文使用的直流電動機驅動機器人通過理想變速器實現,該變速器的輸入與輸出比為1：N。

圖2 電機驅動簡圖

兩臺電動機在負載旋轉軸上產生的電動機轉矩可用矢量表示如下：

(10)

式中，Kτ為電機轉矩常數；iL、iR分別為左右兩個轉子線圈電流。

當電機轉速改變時，由于變速箱速比的關系，其等效轉動慣量Je可表示為：

Je=N2Jr+Jl

(11)

式中，Jr、Jl分別為電機轉子轉動慣量和變速器負載轉動慣量。

對于摩擦力矩和外部干擾力矩有同樣的效果,當轉子在定子中旋轉時,粘滯摩擦力可以通過已知的系數Br來計算,但是對于負載軸上的粘滯摩擦力，系數Bl是未知的，因為它與減速器和軸承有關。等效粘性摩擦系數Be的值可以通過實驗獲得。單個驅動器上的負載可近似于半徑為r的半個機器人的質量。根據第二牛頓運動定律可以得到如下：

(12)

電機輸入電壓ui和轉子線圈電流ii之間的關系可用微分方程[11]表示為：

(13)

式中，La為轉子線圈電感；Ra為終端電阻；Ke為反電動勢常數；ωi為負載角速度。

2 全階滑模控制器

機器人內部控制回路的目標是跟蹤參考輪速度，并將動態控制轉換為更簡單的運動控制問題，內部控制回路如圖3所示。

圖3 機器人內部速度控制回路

控制誤差可用車輪的角速度來定義，如下所示：

(14)

式中，ωLref、ωRref分別為車輪左右參考角速度。

使用經典PI控制器對第一種內部速度控制回路進行設計，使用全階滑模控制器對第二種內部速度控制回路進行設計。

2.1 PI控制器

從控制學的角度來看，移動機器人可以看作是一對帶有負載的電動機。通過拉普拉斯變換，帶減速器的單直流電機、粘滯摩擦和等效載荷均可用線性傳遞函數表示：

(15)

相對于控制問題，最好用下列形式表示：

(16)

式中，Z為系統增益；T1、T2為時間常數。

基于公式(16)的傳遞函數，PI控制器的參數可以采用下列方法獲得：

(17)

式中，r0、r1為PI控制器參數；ei(t)為控制誤差。

對PI控制器進行離散化處理，以便在移動機器人中實現，離散化處理的控制器形式[12-13]為：

ui(k)=ui(k-1)+q0ei(k)+q1ei(k-1)

(18)

式中，q0、q1為等效的離散控制器參數。

2.2 全階滑模控制器設計

移動機器人線速度和角速度跟蹤誤差可以定義為：

(19)

為了提高機器人軌跡跟蹤精度，抑制外界干擾信號對機器人的影響，設計全階滑模面表達式為：

(20)

式中，λ1、λ2為滑模面正實數。

根據狀態觀測器，可以得到全階滑模控制器為：

(21)

式中，τl、τr分別為左、右輪驅動力矩；T1、T2>0；k1和k2為增益系數。

將公式(21)代入公式(20)，可以得到：

(22)

其中，

通過觀測器得到的誤差可以收斂在一個很小的范圍內，即觀測誤差是有界的，滿足下列條件：∣ed1∣≤l1，∣ed2∣≤l2。

2.3 穩定性證明

根據李雅普諾夫函數[14]可以得到：

(23)

由公式(23)可知：sj≠0時，V>0。根據滑動模態穩定條件，需要對公式(23)進行求導可以得到：

(24)

V′=V1+V2≤0

(25)

根據李雅普諾夫函數的穩定性理論可知，全階滑模控制器是穩定的。

3 仿真及分析

為了進一步驗證全階滑模控制的優越性，下面采用MATLAB軟件分別對PI控制器和全階滑模控制器輸出誤差進行仿真。假設機器人初始位姿為[0,0]，機器人運動軌跡為x2+y2=4，滑模面控制器參數λ1=λ2=12、T1=T2=0.2，仿真時間為4 s，在第2 s時，對雙輪移動機器人施加y=sin(2πt)信號波干擾。采用PI控制器，移動機器人車輪運動線速度和角速度輸出誤差分別如圖4、圖5所示。采用全階滑模控制器，移動機器人車輪運動線速度和角速度輸出誤差分別如圖6、圖7所示。

圖4 線速度輸出誤差(PI控制) 圖5 角速度輸出誤差(PI控制)

分析圖4、圖5可得：采用傳統PI控制器，雙輪機器人線速度和角速度超調量較大，在0～0.5 s時間范圍內，線速度和角速度產生的最大值分別為0.52 m/s和1.18 rad/s，大約在0.5 s后，根據輸出誤差變化，控制系統處于穩定狀態，但是線速度和角速度輸出誤差分別為0.05 m/s和0.48 rad/s。另外，在第2 s時刻處，受到外界信號波干擾時，其跟蹤誤差再次變大，調整時間為0.5 s。面對外界波形的干擾，PI控制器作出自適應調節時間較長，導致機器人運動線速度和角速度較大，跟蹤精度較低。

圖6 線速度輸出誤差(全階滑模控制) 圖7 角速度輸出誤差(全階滑模控制)

分析圖6、圖7可知：采用全階滑模控制器，雙輪機器人線速度和角速度超調量較小，在0～0.5 s時間范圍內，線速度和角速度產生的最大值分別為0.31 m/s和0.54 rad/s，大約在0.15 s后，根據輸出誤差變化，控制系統處于穩定狀態，線速度和角速度輸出誤差分別為0.03 m/s和0.12 rad/s。另外，在第2 s時刻處，受到外界信號波干擾時，其跟蹤誤差沒有受到外界信號干擾，仍然保持較高的跟蹤精度。對比兩種控制方法可知，PI控制器調節時間為0.5 s，而全階滑模控制器調節時間為0.15 s，調節時間縮短了70 %。因此，采用全階滑模控制器，移動機器人運動線速度和角速度跟蹤誤差較小，自適應調節時間較短，能夠更好地抑制外界環境的干擾因素。

4 結束語

本文采用傳統的PI控制器和全階滑模控制器對兩輪差動移動機器人線速度和角速度進行控制，通過MATLAB軟件對其輸出誤差進行仿真，仿真結果表明：

(1)采用傳統PI控制器，雙輪移動機器人運動線速度和角速度跟蹤誤差較大，而采用全階滑模控制器，移動機器人運動線速度和角速度跟蹤誤差較小。全階滑模控制器能夠獲得更穩定的控制效果，使機器人運動更加平穩。

(2)與PI控制器相比，全階滑模控制器反應更加迅速，能夠在較短的時間內，使控制系統輸出誤差達到穩定狀態。特別是在移動機器人運動遇到危險狀態下，能夠迅速地躲避障礙物，避免機器人發生碰撞事故。

(3)在有外界波形因素的環境中，傳統PI控制器容易受到外界波形信號干擾，導致機器人輸出誤差較大，而全階滑模控制器能夠抑制外界的干擾，對控制系統幾乎無影響，使機器人繼續保持穩定的運動狀態。