面向在機測量的動態測量不確定度評定與實驗研究*

王騰輝，襲萌萌，劉海波，王永青

(大連理工大學精密與特種加工教育部重點實驗室，遼寧 大連 116024)

0 引言

在機測量是將測量傳感器集成于數控加工裝備、在機獲取加工過程中零件幾何信息的測量方式，已成為航空航天、精密物理實驗等領域高性能零件精密加工質量控制的重要工藝環節。以復雜弱剛性零件為例，如火箭噴管、飛機壁板等，其最終精加工面形需依據在機測量獲得的零件實際狀態反饋。因此，在機測量結果的可信程度將直接影響零件加工質量的一致性和穩定性，要求合理評定在機測量的不確定度。而靜態測量評定邏輯的常規處理辦法無法有效解決此難題。

對在機測量進行測量不確定度精確評定，須將不確定度評定引入在機測量系統，進行在機測量狀態下的不確定度評定。在機測量系統結構復雜，測量過程伴隨著機械振動、運動系統誤差、環境噪聲以及環境溫度變化等影響因素，僅主要不確定度源就多達幾十個，且其間的傳遞關系難以準確量化。面向在機測量的動態測量不確定度評定不僅采樣難度大，計算繁瑣，且缺乏相關的系統性理論指導方法，難以實現在機測量測量不確定度評定。

為此，開展面向在機測量的動態測量不確定度分析與評估研究，設計可行的量化評定框架，具有重要的工程應用價值。

1 典型在機測量系統

典型在機測量系統如圖1所示,測量傳感器集成于機床末端。在機測量涉及三個參考坐標系，分別是機床坐標系{OM:XM,YM,ZM}，工件坐標系{OW:XW,YS,ZS}和傳感器坐標系{OS:XS,YS,ZS}。在掃描測量過程中，傳感器的測量運動被約束在一組數字化平面內。

圖1 典型在機測量系統

掃描測量重點坐標提取是將曲面上的測點從傳感器坐標系CS變換到機床坐標系CM的過程，其基本轉變關系模型為：

(1)

由此可以看出，在機測量不確定度主要來源于如下幾個方面：①測量驅動系統引入的誤差。如機床定位誤差、重復定位誤差、結構振動導致的動態誤差。②數據采集系統引入的誤差。如測量傳感誤差、數據采集誤差、數據修約誤差等。③測量環境引入的誤差。如溫度、濕度、氣壓、噪聲等引起的誤差。

2 測量不確定度評定策略與建模

為避免囿于在機測量的繁雜不確定度溯源，將在機測量系統視為黑箱，系統各因素對測量不確定度的影響直接反應到測量結果，利用結果的量值特性指標確定不確定度分量。面向在機測量的動態測量不確定度評定的總體策略為：分析不確定度來源或分量；規劃樣本集并采集樣本數據；基于極大似然估計對各分量樣本數據進行分布擬合，得到各不確定度分量的概率密度函數；建立面向在機測量的動態測量不確定度評定數學模型；基于自適應MCM法進行不確定度的傳遞和合成，完成不確定度評定。

2.1 在機測量不確定度分量分析

利用量值特性指標反映在機測量系統的計量特性，將測量結果的量值統計特性作為不確定度的主要來源，可以評價不同誤差引入的不確定度分量。面向在機測量的動態測量不確定度評定，主要考慮重復性測量、復現性測量、環境溫度變化和數據修約引入的不確定度分量。重復性和復現性都是測量系統不確定度分析的重要量值特性指標，兩者關系如圖2所示。重復性指在相同的測量條件下，對同一被測量所做連續多次測量結果之間的一致性，其主要來源于在機測量系統的各種隨機效應；復現性指在一種或多種測量條件改變時，同一被測量的各測量結果間的一致性，其主要來源于在機測量系統的系統效應；溫度變化將引起被測件和測量系統硬件結構的尺寸變化，進而影響測量結果的分散性，若復現性測量時未考慮環境溫度變化帶來的影響，則需要將環境溫度變化帶來的影響單獨考慮；數據修約引入的不確定度分量主要來源于測量數據圓整誤差。

圖2 重復性與復現性示意圖

2.2 數據樣本規劃

當面向任務進行測量不確定度評定時，樣本集的點位規劃應盡可能反映被測對象的形貌；當面向在機測量系統進行測量不確定度評定時，樣本集的點位規劃應盡可能反映可測空間或指定空間的全域。為此，為面向在機測量的動態測量不確定度評定設計了網格點陣式和正交連續式兩種數據樣本集；并提出了同步測量采樣方法。

(1)網格點陣式樣本集

依據在機測量范圍合理劃定立方區域(圖3a中的立方區域所示)，在機床笛卡爾坐標系下進行三維網格等分，把網格交叉節點(圖3a中六角星所示)作為測量點位，形成網格點陣式樣本集。通過對同一點位的重復測量可以得到重復性測量不確定度分量樣本集；對不同點位間的依次測量可以得到復現性測量不確定度分量樣本集；在不同環境溫度下對同一點位進行連續測量，可以得到環境溫度數據及其對應位移測量數據樣本集。同理，對于柱形空間可采用柱坐標網格等分，對于球形空間可采用球坐標網格等分。

(2)正交連續式樣本集

對于選定立方區域(圖3b中的立方區域所示)，沿與機床坐標系平行的三個正交方向進行劃分，沿正交方向進行往復式運動(圖3b雙向箭頭所示)狀態下的連續測量，可以得到復現性測量不確定度分量樣本集；對三維正交點進行重復測量，可以得到重復性測量不確定度分量樣本集；在不同環境溫度下對三維正交點進行連續測量，可以得到環境溫度數據及其對應位移測量數據樣本集。

(a) 網格點陣式 (b) 正交連續式圖3 樣本集

為獲取在機動態測量的樣本集各點位的樣本數據，測量單元需在CNC運動單元的帶動下移動至各點位進行采樣，測量過程中將待測標準單元(如標準球)與測量單元保持同步狀態。測量單元和待測標準單元可以在對各誤差源正常響應的情況下摒棄無關干擾對采樣帶來的影響，保證測量結果具有統計意義。

對于網格點陣式樣本集的采樣，要想獲取復現性測量不確定度分量樣本集，就需要對各網格點陣的節點(待測點位)進行測量。用機床坐標保證測量單元與待測單元同步運動到這些待測點位，依次進行各點位的采樣。對于正交連續式樣本集的采樣，用機床坐標保證待測單元和測量單元沿三個維度的正交方向(圖3b雙向箭頭所示)進行同步往復式運動狀態下的連續采樣。

2.3 在機測量不確定度評定建模

對各分量Y1,Y2,···,YN的樣本集數據(如1.2節中的重復性測量樣本集、復現性測量樣本集、溫度變化影響樣本集等數據)進行分布擬合，按照極大似然估計原則找出其最佳擬合分布，確定其概率密度函數gYi(ξi)。針對各不確定度分量Y1,Y2,···,YN對測量不確定度Y的影響，建立Y與Y1,Y2,···,YN間的模型。

Y=H(Y1，Y2，…,YN)

(2)

Y1,Y2,···,YN常見的概率密度函數類型有高斯分布、矩形分布、三角分布、指數分布、梯形分布、t分布、U形分布等，面向在機測量的動態測量不確定度評定還會遇到雙峰形分布或非對稱分布，如Burr分布、廣義極值分布、Γ分布、F分布、Weibull分布等，則式(2)可進一步表示為：

(3)

基于自適應MCM進行不確定的傳遞合成[13]，完成Y1,Y2,···,YN到Y的傳遞及數值運算。從Yi的概率密度函數gYi(ξi)中抽取隨機數樣本值yi，r(i=1，2，···,N；r=1,2,···,M)，其中M為：

(4)

對每個樣本向量(y1,r,y2,r,···,yN,r)，通過傳遞函數H可計算相應Y的模型值：

yr=H(y1,r,y2,r,···,yN,r),r=1,2,···,M

(5)

(6)

式中，

(7)

(8)

利用獲得的h×M個離散模型值，按嚴格遞增次序排序，對其歸一化處理得到Y的分布函數GY(η)的離散表示G，計算出估計值y、不確定度u(y)：

(9)

(10)

利用GY(η)的統計直方圖計算出概率p下的包含區間[yleft,yright]，完成基于自適應MCM的輸出，實現對在機測量的動態測量不確定度評定。自適應蒙特卡洛法如圖4所示。

圖4 自適應蒙特卡洛法

3 測量不確定度評定實驗驗證

圖5 在機測量系統

基于HMC500S2型鏡像對稱式運動平臺，選用米依光譜共焦位移傳感器、ZEISS標準球和四軸Micro-Block位移臺等搭建在機測量系統(圖5)，該系統主輔兩側各具有3個正交運動自由度，測量系統集成在主側、待測單元集成在輔側。進行動態測量不確定度評定實驗，實現面向在機測量的動態測量不確定度評定方法和策略的驗證。

3.1 樣本采集及數據擬合

3.1.1 重復性測量不確定度分量

選擇固定點位進行重復性測量；按照極大似然估計原則進行分量分布擬合，各擬合分布的對數似然估計值見表1，得到其最佳擬合分布為廣義極值分布。

表1 不同分布擬合及其對應的對數似然估計值

重復性測量不確定度分量分布直方圖及其廣義極值分布擬合概率密度函數見圖6。

圖6 重復性測量不確定度分量分布直方圖 及其廣義極值分布擬合概率密度函數

均值E=0.493 404，方差V=0.244 243×10-6，其概率密度函數滿足式(11)，位置參數k=-0.128 033、尺度參數σ=0.443 345×10-3和形狀參數μ=0.493 199。

(11)

3.1.2 復現性測量不確定度分量

(1)網格點陣式樣本集

選定區域及測量點位規劃如圖7所示，其中六角形為復現性測量的網格點陣式樣本集規劃點位，共72個點位。

圖7 測量點位規劃

對每個測量點位選取4 000個測量值求取均值作為該點位復現性量值，按式(12)計算不同點位的量值。

(12)

由圖8可知，不同點位量值具有明顯分散性，主要因為在機測量系統的定位誤差和重復定位誤差等。

圖8 72個測量點位數據均值散點及平滑線圖

按照極大似然估計原則對網格點陣式樣本集復現性測量數據進行分布擬合，各擬合分布的對數似然估計值見表1，其最佳擬合分布為廣義極值分布，均值E=0.477 421，方差V=0.343 284×10-3，其概率密度函數(PDF)滿足式(10)，位置參數k=-0.592 799、尺度參數σ=0.020 177 3和形狀參數μ=0.473 770。網格點陣式樣本集復現性測量分布直方圖及其廣義極值分布擬合概率密度函數見圖9。

圖9 網格點陣式樣本集復現性測量分布直方圖 及其廣義極值分布擬合概率密度函數

(2)正交連續式樣本集

在測量單元與待測標準球同步運動狀態下進行三個維度正交方向上的往復循環式動態測量，測量路徑及范圍如圖10所示。

圖10 正交連續式樣本集動態復現性測量路徑及范圍

從圖11可以看出，受各直線軸定位誤差、重復定位誤差、安裝誤差以及機床運動狀態下的震動等因素的影響，傳感器示值隨著機床的往復式運動出現規律性波動。

圖11 在機動態測量

對正交連續式樣本集復現性測量數據按照極大似然估計原則進行分布擬合，各擬合分布的直方圖及其Burr擬合分布概率密度函數見圖12。

圖12 正交連續式樣本集復現性測量量值分布 直方圖及其Burr擬合分布概率密度函數

均值E=0.493 381，方差V=0.728 734×10-6，其概率密度函數滿足式(13)，形狀參數c=80.730 400和位置參數k=3.469 360，尺度參數α=-0.503 618。

(13)

3.1.3 環境溫度不確定度分量

在連續24 h不同環境溫度下，對同一點位進行測量數據和溫度數據采集，通過多項式擬合找出環境溫度變化對測量結果的影響規律，多項式擬合得到：

Y溫度=-0.013 840×T+0.567 500

(14)

可見傳感器量值與環境溫度量值呈現明顯的負線性關系，影響系數τ=-0.013 840 mm/℃。因此，環境溫度帶來的不確定度分量可采用矩形分布參與后續運算。

(15)

其中，a、b依據評定實時溫度求解，當在機測量系統實時環境溫度為5 ℃～10 ℃時，a=0.429 100和b=0.498 300。

3.1.4 數據修約引入的不確定度分量

因測量數據保留6位有效數字，數據修約引入的不確定度分量為滿足式(15)的矩形分布，其中a=-0.5×10-6，b=0.5×10-6。

3.2 評定模型

考慮到主要不確定度分量為重復性測量、復現性測量、溫度變化和數據修約4個方面引起，故以這4項分量作為考慮對象建立測量不確定度評定模型，由于各分量不具有相關性，可以采用算術疊加進行合成，數學模型為：

(16)

該在機測量系統實際使用時環境溫度在5 ℃～10 ℃變化來考慮對不確定度的影響。則網格點陣式樣本集的測量不確定度評定數學模型為：

Y=

(17)

正交連續式樣本集的測量不確定度評定數學模型為：

Y=

(18)

3.3 不確定度傳遞及合成

基于自適應MCM完成MATLAB編程，依式(17)、式(18)數學模型生成隨機數序列，進行不確定度傳遞，并進行自適應迭代運算，當滿足式(8)時，運算達到穩定，依式(9)、式(10)等進行運算求得估計值、不確定度和包含區間。

通過圖13可以看出，輸出量為偏態分布(左偏態)或近似三角分布。進行了5.7×106次MCM試驗，輸出量均值為0.461 6，不確定度為0.027 2，在95%包含概率下的包含區間為[0.410 9，0.513 4]。

通過圖14可以看出：輸出量為偏態分布(左偏態)或近似曲邊梯形分布。進行了2.11×106次MCM試驗，輸出量均值為0.461 6，不確定度為0.021 7，在95%包含概率下的包含區間為[0.423 9, 0.500 7]。

圖13 網格點陣式樣本集測量不確定度輸出量概率密度函數 圖14 正交連續式樣本集測量不確定度輸出量概率密度函數

4 結 論

文章研究并提出了面向在機測量的動態測量不確定度分析及評定策略，為面向在機測量的動態測量不確定度評定提供了可行方案。

(1)融合黑箱理論并引入量值特性分析方法進行不確定度分析，確定了不確定度主要分量，有效避免了對不確定度分量的遺漏和重復考慮，便于對各不確定度分量進行量化，提升了不確定度分析于在機測量中的可靠性和適用性。

(2)提出了網格點陣式樣本集和正交連續式樣本集兩種樣本集規劃方法，樣本集的點位規劃可以反映可測空間或指定空間的全域。提出了待測單元與測量單元同步運動采樣方法，實現了在機測量狀態下的合理有效采樣。

(3)厘清并解決了評定運算時的具體問題，包括：提出按照極大似然估計原則對采樣數據進行擬合，得到各分量的分布規律及概率密度函數；建立了面向在機測量的動態測量不確定度評定數學模型；基于自適應MCM實現在機測量不確定度的傳遞合成。

(4)開展了面向在機測量的動態測量不確定度評定實驗，驗證了所提出評定方法與策略的可行性。