高三專題復習如何增效、提質？
——公開課“隱圓問題”的教學思考

江蘇省無錫市第一中學 (214031) 馮一成

上好高三專題復習課，第一需要關注學情，合理設計；第二需要關注文化，提升品質；第三需要關注思維方法，立足解決問題.每位高三數學教師都應該通過有針對性的課堂設計去訓煉學生的思維能力，并且能夠在思維方法的指導下解決問題.

很多事物的本質都隱藏在現象的背后，我們一定要努力培養透過現象看本質的思維習慣.現實生活中有很多人都在研究事物變化過程中的不變性，試圖找到規律.我們在數學問題的研究中也存在的同樣的過程，今天我們就一起來看其中一個問題.(展示課題：隱圓問題)

一、隱跡初探

生1：代數法.設點帶入條件推導得方程，然后通過方程的形式再判斷軌跡圖形的.

師：很好，這里用到的是解析法，使得探究軌跡的過程變得簡單.談到解析法我們就一定需要知道笛卡爾這位數學家了，他創造了平面直角坐標系，開創了用代數的手段研究幾何問題的先河.阿波羅尼斯和笛卡爾能有如此偉大的成就和他們善于發現，善于思考，善于歸納的品質是分不開的，希望大家也能培養良好的學習品質，取得屬于自己的成就.追隨前人的腳步，下面我們一起來再來看一些新的問題.

二、隱跡再探

問題2 兩定點A(0,0)，B(0,2)，滿足PA2+PB2=10的動點P構成什么曲線？

學生探求，教師巡視，展示答案.

師：這兩題我們探求軌跡的方法一樣嗎？

生4：不一樣，問題2是代數法，問題3是幾何法.

師：很好，我們說當一個動點在滿足特定條件時，那么一定要具備軌跡思想，通過代數或者幾何的手段去找到它的軌跡，具備了軌跡思想后，下面我們可以來看這樣一個問題.

師：很好，到這里我們可以小結一下，題干中若涉及動點滿足特定條件，可概括為：隱跡問題顯性化，軌跡思想是關鍵.得到圓的方程后生6如何進一步解決問題呢？他把問題轉化為兩圓相交通過幾何法列式計算出了結果.有沒有同學從代數角度求解的？請舉手.

[有幾個同學偷偷的舉手，又不好意思的放下了.]

[通過詩話的語言，概括出隱圓問題的求解策略：隱跡問題顯性化，軌跡思想是關鍵；覓得軌跡若是圓，數形結合巧計算.讓學生記憶更加深刻，求解策略更加明確.]

三、理解本質，變式求解

已知圓O：x2+y2=1，直線l：2x+y-a+2=0,若直線l上不存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得∠APB=60°，則實數a的取值范圍為.

師：大家有沒有感受自己變強了，這個題目無論從形式和內容上都變的更為復雜，但是我們求解起來確變得相對輕松，這就是思維方法的力量，我們發現這題通過軌跡思想把握住動點P的軌跡，再通過數形轉換變成我們熟悉的直線與圓的位置關系，最后再求得結果，自然流暢.

[關注到學生的學情，因為學生總體水平較弱，通過變式的練習，及時的鞏固所思所得，通過適時的鼓勵提高學生的自信，激發學習的熱情.]

下面我們來看兩個高考題，探探其中的玄秘.

四、探秘高考

例2 (2013年江蘇卷第17題改編)如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y=2x-4．設圓C的半徑為1，圓心在l上.若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．

圖1

生7：先求出M的軌跡是個圓，可記為圓P，因為存在點M即在圓C上，又在圓P上，兩圓有交點，故圓心距大于等于半徑差的絕對值，小于等于半徑和，可解得結果.

師：很好，我們再看一題.

(學生板演，由板演分析問題)

師：這種做法對不對，如果不對，是哪里出了問題？

生8：將解不等式問題當成解方程來做，最后加上區間符號，是對問題的不等價轉化.從圖上可以看出，-5,1其實只是兩圓交點的橫坐標.

師：很好，在坐標系背景下，沒有數形結合的意識，不會結合圖形去求解容易出現錯誤.正所謂數缺形少直觀，形缺數難入微.重新審視高考隱跡問題，我們會發現命題形式雖然會有改變，但是考察的思想方法是一致的.

[將重點引向高考，借助高考題的示范作用，展示隱圓問題在高考中的命題方式及求解策略，體現自我研究的價值，肯定方法的正確性，科學性和有效性.]

五、課堂檢測

1.在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：(x-a)2+(y-a+2)2=1，點A(0，2)，若圓C上存在點M，滿足MA2+MO2=10，則實數a的取值范圍是．

師：兩問的隱跡就是問題2，問題3的結果，我們延續思路，容易探求到結果.通過本節課的學習，給你印象最深刻的內容是什么？你覺得最大的收獲是什么？

生11：在今后遇到動點滿足特定條件時要先想到挖掘隱性軌跡，再根據軌跡形式進行求解.

師：很好，最后我們用這一段話為本節課研究的問題做個小結：隱跡問題顯性化，軌跡思想是關鍵；覓得軌跡若是圓，數形結合巧計算.

[檢驗課堂的達成度，進一步鞏固思想方法，將課堂立足于問題解決]

六、教學思考

透過這堂課的教學實踐，筆者關于高三專題復習課應該怎么上？作出了如下的教學思考：

1.關注學情，合理設計

把握學情是高三復習課的基礎，若老師對學生實際能力把握不當，導致設計過難或者過簡單，都會使得教學效果達不到預期，基于此在備課階段筆者主動了解了開課班級的學情，及時的調整教學內容，使教學內容符合學生實際接受能力.良好的情感互動交流是提升課堂質量的有力手段，老師在課堂上若與學生之間存在明顯的距離感，可能會導致教學過程遇到學生不配合，思考不積極等阻力，無論是教學設計，還是教學活動教師都應當以學生為主體，學生的能力是否能夠達到教師的設計要求，學生是否能夠積極主動的參與到課堂活動中來，都影響著一節課的成敗.

2.關注文化，提升品質

新的高中課程標準中，數學文化是單獨的一個板塊，從中可以體現出數學文化在數學教學過程中對學生學習的影響力在不斷的增加.所以我們教師一定要努力使學生在學習數學過程中感受到文化的力量，對學習的內容產生文化共鳴，體會數學的文化品位.但是滲透數學文化，不是說在課堂中生硬的，強盜式的植入相關內容.如何自然的讓學生感受數學文化，體會數學文化的魅力，是在課堂設計過程中教師需要認真仔細思考的.每一個知識方法在數學歷史的發展過程中都不是輕易獲得的，教師在專題復習課準備的過程當中，應當注重知識內容的文化價值，通過合理的教學設計，潛移默化的去影響學生.本節課以高三學生熟知的阿波羅尼斯圓為引，使學生掌握解析法在重新研究阿波羅尼斯圓中的優勢，體會用代數的方法解決幾何問題的本質，展示了我們現在的研究很多都是在延續前輩的腳步，但是合理整合所學方法，能夠讓我們對以往感覺研究困難的問題，得到更好的解答.另外還可以通過科學家們良好的學習品質，去感染每一個學生，為學生的終身學習提供內動力.

3.關注思維方法，立足解決問題

筆者認為高三專題復習課，最應關注的兩個點，一個是訓鍛煉學生思維，另一個是解決實際問題.如何通過課堂設計去訓煉學生的思維能力，并且能夠在思維方法的指導下解決問題，筆者認為應該做到以下四點：第一，設計應當做到高觀點，低起點.學生思維的形成是循序漸進的，但是所要達到的高度是有上限的.本課思維起點較高，需要研究事物變化過程中的不變性，但是不同的事物其變化規律是各不相同的，如何研究規律，會有怎樣的規律，是比較高的一個研究點.但是最終起點在于阿波羅尼斯圓的軌跡探求，符合學生的認知，容易讓人進行下一步研究.第二，重視變式教學，準確定位目標.一般來說，思維方法不是靠一個題的解決就可以概括出來的，筆者認為高三專題復習課通過變式教學，可以讓思維方法的凝練變的相對輕松.比如這節課中，筆者將問題做了幾次變化，問題1到問題2，3，立足于軌跡思想的形成.例題到變式求解，立足于先找軌跡，若軌跡是圓，通過幾何性質轉化求解的思想方法.到最后的比一比，背景是問題2，3，屬于問題拓展式變式，起到鞏固思想方法，完成課堂評價的目的.總體說來，幾個變式做到了形變神不變，目標定位相對準確.但是筆者反思，如果設計過程中可以增加一個活動環節，就是讓學生自己作出變式，也許能夠讓學生對于問題實質的理解達到一個更深的層次.第三，聚焦高考，有的放矢.高三的教學應當以高考為指揮棒，通過分析高考試題的命題形式，對問題背后思想方法的深度剖析，以達到更高的解決問題這一立足點上.學生只要有了良好的思維方法和過硬的計算能力，才能更好的解決問題.本課中通過兩個有層次變化的高考試題，由淺入深的展示了解決問題的方法，最后通過錯解的辨析，使得學生的思維水平得到升華.高考雖然不直接考查軌跡方程問題，但是軌跡思想的考查隨處可見，在今后遇到動點滿足特定條件時相信讓同學能夠有先想到挖掘隱性軌跡，即使在條件變化為非常規的不等條件時也能把握其中的關鍵把軌跡對應的區域尋找出來，再結合數形結合思想靈活準確求解，那這應該就是這一節課成功的的標志了.