不等式問題中的同構變形策略

山東省寧陽復圣中學 (271400) 張志剛

同構，在抽象代數(shù)中指一個保持結構的雙射,在高中階段則表示結構或形式相同.在很多不等式問題中，經(jīng)過同構變形使不等式兩側呈現(xiàn)相同結構，然后構造函數(shù)，結合復合函數(shù)的單調性，將不等式蘊含的特征與屬性清晰明朗地呈現(xiàn)出來，可解決求參數(shù)的取值范圍、零點的個數(shù)、證明不等式等問題，此種解法不妨稱為同構法.例如,若F(x)≤0能等價變形為f[g(x)]≤f[h(x)]，然后利用外層函數(shù)f(x)的單調性，轉化為g(x)≤h(x)或g(x)≥h(x).例如：

(2020年全國Ⅰ卷理科第12題)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析：由于2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b<22b+log2(2b)，設f(x)=2x+log2x,則f(a)

策略一：借助移項、四則運算等同構變形

對于較為簡單的多項式函數(shù)，可根據(jù)題設條件，通過移項、四則運算等變形，直至不等式兩側呈現(xiàn)相同的結構，之后引進新函數(shù)，利用函數(shù)的單調性解決問題.

例1 (2020年全國Ⅱ卷理科第11題)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

解：由題意得2x-3-x<2y-3-y.設f(x)=2x-3-x，則f(x)1，ln(y-x+1)>0.選A.

點評：例2中通過對已知不等式變形，使不等式兩邊結構相同，適時引入函數(shù)g(x)，進而將問題轉化為不等式g′(x)≥0恒成立問題，通過分離參數(shù)可輕松獲解.

策略二：借助取對數(shù)運算同構變形

數(shù)據(jù)處理中，我們經(jīng)常對原始數(shù)據(jù)取對數(shù)，然后再作出處理.依據(jù)主要有二，一是通過取對數(shù)可以大幅壓縮數(shù)據(jù)的絕對數(shù)值,數(shù)據(jù)更趨平穩(wěn).本質上是：當x的取值很大時，對數(shù)函數(shù)變化速度非常緩慢；二是通過取對數(shù)降低運算的維度.由于logaMn=nlogaM，loga(M·N)=logaM+logaN，a>0，a≠1，M>0,N>0取對數(shù)后，乘方運算轉化成了乘法計算，乘法運算則轉化成了加法計算.對于兩邊均是指數(shù)型不等式，可考慮通過取對數(shù)，將指數(shù)問題轉化為對數(shù)問題，降低思維難度.

例3 已經(jīng)b>a>e，求證：ab>ba.

策略三 借助恒等式b=alogab代換同構變形

由對數(shù)的概念易知等式alogab=b(a>0，a≠1，b>0)成立，我們常常利用該式簡化計算.但逆向觀察該式，則有b=alogab，特殊的a=elna，可以發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)式可等價變形為指數(shù)式，必要時實施此代換，可將一些結構不良的不等式變形為不等式兩邊相同的結構特征，然后引入新函數(shù)求解.

例4 (2020年新高考全國I卷第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(1) 當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；(2) 若f(x)≥1，求a的取值范圍.

點評：本題的難點是將不等式aex-1-lnx+lna≥1進行變形，利用恒等式a=elna和x=elnx代換，實現(xiàn)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)式之間的相互轉化,使不等式變形為更協(xié)調的elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx形式，然后構造函數(shù)g(x)，利用g(x)的單調性，將問題簡化為lna+x-1≥lnx恒成立問題.

例5 設k>0，若存在x>0，使得不等式log2x-k2kx≥0成立，求k的取值范圍.

點評：利用恒等式x=2log2x，將(log2x)·x≥kx·2kx變形為(log2x)·2log2x≥kx·2kx，此時不等式兩邊的結構一致，然后引入函數(shù)f(x)=x·2x，利用f(x)在(0，+∞)上單調遞增得log2x≥kx，通過分離參數(shù)轉化為函數(shù)g(x)的最值問題.

然而，同構變形技巧性強，需要學生具備較全面的知識儲備、較高的關鍵能力和素養(yǎng)，而這些顯然不是一朝一夕就能輕松練就的.教師要通過典型題目的剖析講評，結合題設條件將被破壞的結構進行還原變形，直至不等式同構形式，然后選擇構造新函數(shù)，結合函數(shù)的單調性等性質簡化不等式，即將原不等式中蘊含的內(nèi)在規(guī)律外顯化，揭示問題的豐富背景和內(nèi)涵，讓學生在驚訝于同構法巨大威力的同時，又不會感到其玄妙莫測和出其不意.通過對解題過程的思維分析，留住知識之“根”，方法之“根”，價值之“根”和本質之“根”.