例析多元變量最值問題的五種常用方法

江蘇省揚中中學 (212200) 張紅玉

含有多元變量求最值問題，在各類考試中經常出現，由于變量太多，常有混淆視聽、難以下手的感覺，本文通過舉例分析，介紹五種常用的解題方法，供讀者朋友參考．

一、適當配湊

例1 若a、b、c>0，且a2+ab+ac+bc=4，則2a+b+c的最小值為．

點評：本題中從表面上看不能直接運用基本不等式求最值，通過挖掘已知條件，對條件等式和欲求的式子進行重新整理，構造出可用基本不等式求解式子，化解了問題的難點．

點評：本題若沒有抓住x+s>0(正項)進行正確的配湊，而是把x+t當著變元，從而使解題造成混亂得出錯解或使后續解題無法進行下去,容易出現誤判.

二、換元減元

點評：本解法通過換元，將三個元素問題變成兩個元素二次方程問題，為后面的配方解題提供了重要的信息和基礎．

例4 已知關于的實系數一元二次不等式的解集為，則的最小值是．

點評：本題解法中，對變形后的式子的某個部分(特殊結構)進行換元處理，能夠凸現出某些特定的解題形式，可以進一步引導、啟發下面的求解．

三、變形重組

點評：由于條件式與結論式之間沒有直接聯系，所以需要對它們進行同時變形，使它們之間能夠建立聯系，通過變形后出現了一片光明前景．

點評：題目中是有多個式子組成的，需要針對目標進行有效的組合，通過重新分組再同時運用基本不等式達到了解題目的，但需注意同時取等號的條件的滿足．

四、多次放縮

點評：本題有四個變量x、y、z、t，且變量間的關系比較松散，抓住求最小值這一個目標通過大小關系和范圍進行適當的放縮，逐步減少了變量的個數，為運用基本不等式解題掃清了障礙．

五、函數思想

點評：題目中的函數條件非常重要，如何運用是成功解題的核心點，本題中給出的條件就是要判斷a+2b與a+2c的正負號，必須把握好這一點．

點評：本題中對不等式恒成立的條件理解是比較重要的，后續的替換變形是為尋找運用基本不等式解題的結構形式，一些常見的結構模型必須記清楚．