概念教學：在課堂設計中凸顯素養與智慧
——以蘇教版 7.5“互逆命題”為例

成宏喬 (江蘇省無錫市僑誼實驗中學 214000)

鐘 鳴 江蘇省無錫市西漳中學 214171)

我們與高校合作，結合學校的實際，提出打造“富有設計感的課堂”主張，提煉課堂教學范式，將教師教學意圖科學而流暢地滲透在教學過程之中． 在一次聽課調研中，執教課題是“互逆命題”，這節課在課程標準中的要求不高，僅僅是“會識別兩個互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立；了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個命題是錯誤的． ”[1]因此，教師在平時的教學中對這節課重視不夠，多是照本宣科． 調研組和數學學科組對前后兩次的課堂教學進行對比，明確了概念教學的基本原則：“在課堂設計中凸顯素養與智慧”．

1 初次展示

環節1 目標明示

上課伊始，教師展示了本節課的教學目標：(1)通過具體實例，了解原命題及其逆命題的概念． 會識別兩個互逆命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立． (2)了解反例的作用，知道利用反例可以說明一個命題是錯誤的． (3)在證明中，不斷發展合乎邏輯的思考、有條理的表達的能力．

環節2 溫故知新

教師通過4個問題：什么是命題？命題的構成？如何判斷兩直線平行？平行線的性質是什么？引導學生對命題的概念和構成進行回顧，并結合圖形復習了平行的知識．

環節3 概念生成

教師結合學生的回答，選擇了“同位角相等，兩直線平行”和“兩直線平行，同位角相等”進行結構對比，引導學生發現“在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題. ”[2]從而得到了“互逆命題”的概念，并強調了其中一個命題是另一個命題的逆命題(定義)．

環節4 練習鞏固

教師通過兩組練習鞏固本節課新授內容．

練習1：下列各組命題是否為互逆命題？

練習2：說出下列命題的逆命題，并判斷它們是真命題還是假命題？

環節5 文化感悟

教師引導學生通過上一個環節明白，判斷一個命題是假命題，只需要舉個反例，并及時進行練習．

練習3：舉反例說明下列命題是假命題.

練習講解結束后，教師帶領學生閱讀教材158頁“讀一讀”部分的《著名的反例》，了解歐拉用225+1是一個合數從而否定了費馬的猜想(對于一切自然數n，22n+1都是質數)的故事．

環節6 總結成果

學生討論后總結本節課所學的知識概念、基本方法及解題的一些注意點． 授課教師適時點評． 在剩下不多的時間內完成課本上其它練習后結束本節課的教學．

2 課例分析

本節課的設計較傳統． 傳統的數學概念教學中，一般要經歷“導入”“新課講授”“練習鞏固”“拓展延伸”“小結和作業布置”幾個教學環節. 實踐證明，這樣的模式下，學生跟著老師的安排學習，可以打好扎實的基礎，考試成績也不錯． 但是學生的學習往往會陷入機械學習的泥淖，于創新、思辨、問題解決等能力的培養不利．

尤其在新知識生成階段，簡單的處理會抑制學生主動地思考． 上述課例環節3中，老師只選擇了一對命題就引出了概念，較少的個例不利于學生概括和理解，學生需要注意力高度集中，結合教師呈現的內容，自身抽象概括能力較好，才能概括出概念的本質屬性. 所選的一對命題又恰好都是真命題，導致不少學生潛意識里認為互逆命題只是兩個真命題，且會默認原命題是真則逆命題必真． 這樣的學習是被動的、機械的、容易產生誤區的．

于是，經過深入探討交流后，確定本節課的重點是互逆命題的概念理解，并且要加強數學與生活的聯系及數學文化的滲透．

3 再次呈現

環節1 情景引入

教師播放視頻《第一次數學危機》后提問：看完視頻，你能說出幾個命題嗎？

生1：如果一個數是有理數，那么它可以在數軸上表示出來．

……(學生說的都是正確的命題)

師：命題一定都是正確的嗎？

學生齊答：不是．

師：命題有的是正確的，也有的是錯誤的． 我們把正確的命題稱為“真命題”，錯誤的命題稱為“假命題”． 剛剛同學們說的命題是真命題還是假命題？

生3：都是真命題．

師：還有補充嗎？

生4：如果一個數可以在數軸上表示出來，那么它是有理數． 這是一個假命題．

說明情景的設置能提升學生的學習興趣，讓學生了解數學歷史、感受數學文化，同時從中提取信息、激活認知、錨定學習的起點．通 過“設置情景”給出“初始問題”，通過“問題串”逐漸“知識生成”，這樣的授課方式能夠達成提升學生“學習能力”的目的． 授課教師的處理也比較智慧，因為學生回答的都是正確的命題，順勢講了真假命題的概念，既能糾正學生的認識，還為后面學生的發言指明了方向，學生有意識地通過變換條件和結論，期待得到假命題．

環節2 新課講解

教師讓學生觀察這兩組命題的結構特點和真假性，談談自己的想法． 一位學生迫不及待地回答：“如果兩組命題的題設和結論的位置發生變化，則命題的真假也發生變化． ”剛說完，自己就意識到好像不對，學生們也表示不同意．

師：有沒有不同的意見？

生：命題“兩直線平行，同位角相等”“同位角相等，兩直線平行”就都是正確的命題. (教師引導都是真命題)

師：很棒！這個例子舉得很好． 大家有沒有發現，我們要說明某種說法是不對，往往只要舉個例子就行． 那這個例子該如何舉？有訣竅嗎？

生：和前提條件一樣，和結果不同．

教師引導大家歸納出：要說明一個命題是假命題，舉的例子符合命題的條件，但不符合命題的結論. 這樣的方法叫“舉反例”．

師：如何說明命題“如果|a|=|b|，那么a=b”是假命題？

生：如a=3，b=-3，則滿足|a|=|b|，但a≠b，所以命題是假命題．

生：一個命題的條件是另一個命題的結論，另一個命題的結論又是這個命題的條件．

師：很好． “在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題就是‘互逆命題’，其中一個命題是另一個命題的逆命題． ”他們只有結構上的變化，與命題本身的真假無關．

說明教師的專業素養除了理解數學、教材及學生外，還包括課程的實施、教法的處理等技術方面． 上述課例中，教師讓學生經歷“觀察”“發現”“表達”與“思辨”等環節，通過問題的解答，不僅順利完成了教學任務，還在“談話式”的平等交流中提升了學生的綜合能力和數學素養水平． 對比生硬的灌輸教學，自然流暢的課堂才是促進學生健康成長的土壤，才是我們所追求的育人方式，在課堂設計中凸顯素養與智慧首先要求自然流暢．

環節3 總結提煉

課堂的最后階段，教師和同學們一起總結了今天所學的內容，教師通過兩個問題(“互逆命題”是兩個命題之間的關系，是不是每個命題都有逆命題？如何說明一個命題是真命題還是假命題？)對知識進行了梳理和鞏固． 并帶領學生閱讀教材158頁“讀一讀”部分的《著名的反例》.

說明教師是先掌握知識，再設置問題，而學生則是通過問題掌握知識，所以在總結階段教師所提問題決定了本節課的高度． 會說出一個已知命題的逆命題是每個學生都要掌握的，深化了對知識本質的認識，強化了逆向思維． 第二個問題則讓學生明白說明一個命題是真命題，需要推理和證明，學生的推理和抽象的素養得以培養；而說明一個命題是假命題舉一個反例即可，強化了方法的理解，這有助于學生思維品質的提升． 最后教師介紹了《著名的反例》，是對課堂情景引入的一種呼應，讓數學的思維和文化貫徹整節課．

4 教后反思

(1)概念教學要設計好內容結構

數學課質量的高低取決于設計，但到底要設計什么？怎么設計？值得我們去深思． 設計整體布局、前后知識聯系、重難點突破和知識總結與提煉等，這樣的設計既需要對學情的了解、知識的理解，還需要明確要達成的目標、授課的手段．

概念教學的課堂設計重心應該是概念的理解，在課堂中以“知識學習”為明線、“素養提升”為暗線進行課堂教學設計(如圖1)，讓學生在觀察真實有趣的情景中激發興趣、培養直覺；讓學生通過在大量數學元素中尋找類同點來培養思考習慣和判斷能力；讓學生在和諧的交流氛圍中表達思維、抽象概念． 這樣的設計才有利于學生“悟數學”，有利于培養學生的能力，這才是知識學習的真諦．

圖1

(2)教學設計要凸顯出專業素養

教師作為課堂教學的組織者、引導者、合作者，要在課堂上凸顯自己的專業能力． 評價教師的專業能力只要看教學過程是否流暢、內容的組合是否合理以及學生的學習有沒有真正發生(即學生參與思考和表達程度如何)． 從最初課例的練習環節中有很多關于逆命題判斷與書寫的訓練，到最終通過適當的變化出現在知識情景引入中，既可以讓學生在大量的命題中發現互逆命題的存在，感受研究的必要性；還可以使學生明白，只要兩個命題具有形式上互換的結構關系就能稱為互逆命題，與命題的真假無關． 這樣的處理能避免后面練習時的反復強調，同時概念出來后，理解真假命題概念、說明命題為假命題的方法也可以直接使用這些例題，可以省略后面不少環節，提升一節課流暢度、節奏感和有效性． 這樣的處理凸顯出教師“理解數學、理解教材、理解學生、理解教學”的專業素養.

(3)教師的智慧要融入課堂設計

“一直被模仿，從未被超越”更應該用來作為教學設計的終極追求． 課堂上，教學技術可以模仿，但不能超越的是課堂的靈魂——教師的個性與智慧． 我們既要在信息技術的應用、黑板的利用等方面體現智慧，更要運用教師本人的個性特點和利用好學生課堂的生成． 本課中，由于文字材料較多，如果缺少教師幽默的語言及適當的動作和表情，會讓學生感到教學內容枯燥乏味；如果黑板上寫滿密密麻麻的文字，既不能突出教學重點，對知識的提煉和升華也起不了幫助作用． 在課堂上用好學生所總結的學習要點，借助于符號語言就能快速地寫成：命題“如果A，那么B． ”與命題“如果B，那么A． ”是互逆命題，既能節約時間，還能凸顯本質． 對于不同層次的學生而言，理解文字概念是有一定差異的，生活化的輔助理解或數學文化的滲入會讓他們有不同層次的收獲． 這些都體現了融入到課堂設計中的教師智慧。

5 寫在最后

數學課堂中還有很多“不專業”語言描述，如寫一個已知命題的逆命題時先把這個命題“翻譯”成“如果……那么……”的形式，此處用“翻譯”明顯不對，應該說成“改寫”；也不是把命題條件和結論的位置“相反”就行，而應該描述為“互換”；用舉反例的方式不是“證明”命題是假命題，而是“判斷”……從平時觀察的情況來看，我們的數學課堂中類似的方面還有很多. 設計是通過規劃、計劃和合理的教學方式形成課堂教學方案，這是課前整體上的把控課堂，還需要課上在細節上的即時反應和打磨，更需要課堂中教學語言上的精準，讓教師的專業素養與個人智慧體現在課堂設計中才能讓學生感悟到數學嚴謹而有趣的魅力．