初中數學卓越課堂教學的實踐研究*

張 靜 (江蘇省蘇州高新區實驗初級中學教育集團 215011)

“瘦、皺、漏、透”四個字是宋代名賢米芾對太湖石之美的藝術性概括，詮釋了太湖石瑰奇之形、紋、質的“神”與“形”的自然韻致[1]． 在“基于高認知的初中數學教學實踐研究”課題研究中，我們提出并研究了基于學生核心素養提升的“初中數學卓越課堂教學”的內在特征：瘦、皺、漏、透. 該視角下的初中數學卓越課堂有以下外顯特征：(1)倡導簡約(瘦). 設計精巧、思路精妙、板書精美. (2)注重生動(皺). 語言生動、有效互動、思維靈動. (3)鼓勵留白(漏). 疏密相間、動靜相宜、補白相機. (4)旨在深刻(透). 教材析透、教師講透、學生悟透．[1]卓越課堂的內在追求是通過課堂教學設計研究，課堂互動生成研究，概念教學、解題教學等的研究實現學生核心素養的提升和教育教學質量的全面提升．

1 重視數學課堂教學設計的研究，體現其精練之美

教學設計是根據課程標準的要求和教學對象的特點，將教學諸要素有序安排，確定合適的教學方案的設想和計劃,一般包括教學目標、教學重難點、教學方法、教學步驟與時間分配等環節． 目前有些教學模式還是以傳統的灌輸式為主，忽視學生自主思考的重要性．[2]有的教學又過于注重形式，情境創設喧賓奪主，忽視數學本質的教學．

蘇聯教育家巴班斯基認為：無論是教學設計、教學內容的選擇還是教學策略、教學評價的實施都應把簡約化作為一項重要原則來指導教學. 用“簡約”理念來指導教學，我認為應該對數學課堂教學進行“瘦身”，就是教學設計清晰、精巧，教學目標明確，外形簡約而內涵凸顯，關注學生的邏輯推理、數學運算以及數據分析素養． 精益求精的教學設計是課堂教學的靈魂，展現的是數學課堂教學的神韻，同時教學設計中應該始終貫穿有效提問． 有了問題思維才有方向，有了問題思維才有動力，有了問題思維才有創新．

課例1方差．

初中數學中的公式教學是一個重點，傳統教學中教師往往側重于“記憶—應用”的平庸模式，這樣的傳統模式抹殺了學生的能力發展，沒有培養學生數學抽象等核心素養． 筆者設計“方差”一課時，先利用簡單的案例讓學生通過探究學習發現規律，理解公式的現實意義；再注重公式的本質教學，加強拓展訓練，以“提升學生思維，培養應用能力”為教學目標．

例題如下：一次期中考試中，小明、小華、小麗、小軒、小玲五位同學的數學和英語成績等有關信息如下表所示，請填表．

小明小華小麗小軒小玲平均分方差數學/分7172696870英語/分8882948576

本題意在讓學生自主練習如何計算方差. 大部分教師在學生得到公式之后便開始利用該公式進行大量的練習，或者進入其他教學環節，而我在計算后根據知識層面創設新情境，對學生進行有效提問，引導學生思考探究：

(1) 進入初三后，數學、英語滿分成績均提高為130分，于是我們把每人的英語分數加上30分，他們的平均分、方差如何變化？

(2) 數學成績擴大為原來的1.3倍，則平均分、方差如何變化？

在筆者創設的以上2種拓展訓練情境中，通過對原有例題進行追問，讓學生體會方差的性質. 學生自主交流、合作探究，總結出數學規律：每個數據同時增加或者減少一個數，則方差不變；每個數據擴大或縮小一定的倍數，則方差改變． 將性質符號化，得到：已知數據a1,a2,a3,…,an的平均數為x，方差為y，則數據2a1-3,2a2-3,2a3-3,…,2an-3的平均數為，方差為．

提出一個好的數學問題是增強課堂提問有效性的重要環節． 如何適時恰當地提出問題是一門學問，更是一門藝術，是提高教學質量的有效手段． 上述教學設計中，題目雖然簡單但引發了學生深刻的思考，拓展得到的情境簡約而不簡單，讓學生產生歸納意識，實現從自發思考到自覺思考的過渡，精準達到培養學生邏輯推理、數學運算以及數據分析素養的目標．

教學設計的清晰和精巧除了體現在問題設計上，同樣體現在板書設計上． 好的板書給人賞心悅目的感覺，讓人過目不忘，一節好課的板書往往是隨著課堂的深入而逐步生成，最終形成完整的知識體系展現在學生面前，并給學生留下深刻印象．

課例2中心對稱與中心對稱圖形．

筆者在“中心對稱與中心對稱圖形”中設計的板書就充分體現了輕巧的特色(圖1)． 通過板書，學生了解到中心對稱與中心對稱圖形的區別與聯系，同時性質中最關鍵的要素被簡潔地呈現在學生面前，重點突出，結構清晰明了．

圖1

2 重視課堂互動生成的研究，努力培養學生的自主研究能力

課堂互動是師生之間相互作用的交往活動過程，也是實施素質教育、培養新型人才的基本途徑． 互動是課堂教學中必不可少的行為，沒有了課堂活動就沒有了師生之間、生生之間的對話溝通． 《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出：教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程． 數學教學重在知行合一，往往動“心”之處方是動“行”之時． 數學課堂教學需要師生的互動碰撞而迸發火花，形成身臨其境的體驗感、生成感，才能始終牽動學生的思維，實現數學新知識的同構；在師生互動的“境”中實現數學建模的完美． 教學問題的巧妙造就了數學教學新知識生成的生動性、學生思維的靈動性．

課例3公式與拼圖．

江蘇省中小學教學研究室董林偉先生有個課題“動手做數學，初中‘數學實驗’的設計與開發研究”，研討了如何利用數學實驗來充實數學課堂，使數學課變得生動、有趣、好玩. 其中有一節典型課例“三角形紙板拼圖”，與觀摩活動中的“公式與拼圖”有異曲同工之妙．

活動1 課堂上，教師拿出準備好的紙片：邊長為a的正方形紙片，邊長為b的正方形紙片，長寬分別為b和a的長方形紙片若干(圖2). 教師讓學生隨意拼圖形，啟發他們拼出更大的正方形或者長方形，而且可以重疊．

圖2

活動2 選擇其中兩幅典型圖例(圖3)，歸納出完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2、平方差公式b2-a2=(a+b)(b-a)．

圖3 圖4

活動3 教師再給出一副圖例(圖4)，讓學生歸納得出式子a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)．

活動4 學生間互相合作，任意寫一個關于a和b的二次多項式，用準備好的硬紙片拼成一個長方形，使這個長方形的面積可以用這個式子表示． 如果學生不能解決，則啟發學生用其他形式的二次多項式來表示一個長方形的面積． 該問題最終讓學生從游戲中歸納出規律，從而實現在玩中學的目的．

在這節課中教師只是一個引導者，學生分小組合作，通過拼圖找出其中蘊含的乘法公式；每個小組都上臺展示自己的作品并進行講解，其他學生對其點評． 整個課堂始終以學生為中心，充分發揮了學生的主體作用．

3 重視概念教學和解題教學的研究，全面提升學生的綜合思維能力

概念是數學學科的核心，也是基石． 概念教學是數學教學內容的主要組成部分，要充分重視． 對教學內容進行深刻打磨，有助于學生在概念生成過程中不斷理解、概括，從而獲得新概念并運用概念去解決相關問題，這是數學教育教學的任務．[3]初中數學中涉及的概念很多，例如有理數、無理數、一元一次方程、函數等，很多教師忽視概念教學，將概念教學簡單化，往往讓學生讀一下、劃一下就當學過了，沒有去揭示概念的深層意義，這不利于學生全面提升綜合能力．

課例4無理數．

有理數與無理數是小學數系的擴充，是初中數學的重要基礎． 本節課在對學過的數進行整理分類的基礎上給出有理數的概念，并通過無限逼近的思想方法探索無理數的概念． 學生進入初中，時間不長就經歷了數系的兩次擴充，第一次擴充是在小學非負有理數知識的基礎上引進負數，對數的了解擴充到有理數范圍；數系的第二次擴充是引入無理數，實際上是將數系從有理數擴充到實數范圍，使學生對數的認識進一步深化． 因此無理數的概念課在課時設計時設計了兩節課是有一定道理的．

課堂引入部分：設計兩個環節.

環節2 剪一剪、拼一拼：請拿出準備好的兩個邊長為1的小正方形和剪刀，將小正方形沿對角線剪開，設法重新拼成一個大正方形(圖5)． 你知道拼成的大正方形的邊長是多少嗎？

圖5

提問：①設大正方形的邊長為a，它滿足什么條件？②a可能是整數嗎？說說你的理由；③a可能是分數嗎？說說你的理由．

學生們通過充分討論，研究a是否為整數、a是否為分數，都可以通過舉例來驗證自己的觀點．

數學課堂教學中也應著眼于“漏”，即“留白”，給學生一個自我思考、自我領悟的時間和空間． 這就要求教師在數學課堂教學中要點面合理布局，給學生創造自主探究的空間，利用留白空間，引導學生分析問題時投入數學抽象、直觀想象，親歷感悟，在自由空間中探求數學知識細微、真實的原貌，呈現卓越課堂的留白綿延之美．

概念教學中的留白，在于給出的實例中從面積為1.44的正方形邊長到面積為2的正方形邊長，這里是一個層層推進的過程，a既不是整數也不可能是分數． 學生在多次找尋過程中逐步認識到a可能不是有理數，但在現實生活中確實存在像a這樣的數，由此體會到數又不夠用了，為無理數的“閃亮登場”做好了鋪墊． 同時在探索a的過程中，讓學生感受逼近思想和夾逼方法，這也是卓越課堂“透”的體現． 卓越課堂追求的“透”，即教師講透、學生悟透． 數學課堂教學的實施過程是師生情感體驗的過程，從一個個知識點到一個個掌握數學規律的情感升華，都是學生高效的深度學習，也正是課堂的指向．

最后，學生們從a2=2探尋得出a的值為1.414 213 562 373…，并認定它是有理數以外的數，從而有了無理數的概念．

此外，在現在的數學解題教學過程中，許多學生機械地模仿教師的解題過程，沒有從本質上理解其中的數學道理，缺少獨立思考能力，在遇到復雜題時不能靈活運用所學知識，解題遇到困難． 因此，中學數學的首要任務就在于加強解題能力的訓練． 在習題評講課中更能體現教師的基本素養． 由一題多解到多解歸一、到通性通法，需要教師從“瘦、皺、漏、透”四個維度進行設計和踐行． 教學設計簡約，題目不在多而在于精、在于成體系，即為“瘦”． 教師不是一講到底，而是以問題串的形式層層鋪墊，引發學生思考，甚至有時讓學生做在前，暴露問題，再引導學生尋找問題、解決問題，一波幾折，是為“皺”． 解題教學貴在方法的啟發與歸納，應詳略得當，該留給學生思考、計算、歸納的就不要越俎代庖，甚至在一節課結尾時留下懸念或思考題，讓思考延伸到課后，是為“漏”． 重點題型和思想方法講透、析透、悟透，是為“透”．

課例5線段最值問題．

關于求幾何最值問題，我們一般可以借助以下兩個公理來處理：

(1) 定點到定點：兩點之間線段最短

線段之和最短問題，又稱“將軍飲馬”問題，是中考試題研究中的一個典型案例，其本質是利用對稱思想解決最短路程問題． 近幾年的中考試題中也常常以此為原型，將問題背景換成角、菱形、圓等幾何圖形，求解最短路程問題．

如圖6，A,B在直線l的異側，這時，連結AB即可得到點P，使得AP+BP最短. 這里運用的是“兩點之間線段最短”． 將軍飲馬問題可以類似解決：我們只要作點B關于l的對稱點B′，根據軸對稱性可知PB=PB′． 因此，求AP+BP最小就相當于求AP+BP′最小，很顯然當A,P,B′在一條直線上時，兩點之間線段AB′最小(圖7)，即AP+PB′最?。?因此連結AB′，與直線l的交點就是要求作的點P． 我認為這里首先要搞清楚為什么要利用“作對稱點”來解決這個問題；其次為什么這樣做線段之和最短，這里體現留白藝術，圖7可以讓學生自行討論體會；最后得出看似三角形兩邊之和大于第三邊，實質也是“兩點之間線段最短”，這里體現解題教學中的“透”．

圖6 圖7

在進行簡單練習后，可以拋出另外兩個模型：費馬點問題、圓外一點與圓上距離的問題．

費馬點問題：如圖8，△ABC的內角都小于120°，在△ABC內部有一點P，連結PA,PB,PC，當PA+PB+PC的值最小時，求此時∠APB與∠APC的度數．

圖8 圖9 圖10

我們要想辦法把PA,PB,PC這三條分散的線段轉化為連續的折線，然后借助兩點之間線段最短找到符合條件的點P． 在解決幾何最值問題過程中，我們常借助對稱變換、平移變換和旋轉變換. 這里牽涉三條線段，因此可以考慮旋轉變換．

將△ACP繞點C順時針旋轉60°得到△A′C′P′，則這兩個三角形全等，CP=C′P′,AP=A′P′,∠PCP′=∠ACA′=60°，得到△PCP′是等邊三角形(圖9)． 因為PA+PB+PC=AP′+BP+PP′≤A′B，所以當A,P,P′,A′共線時，PA+PB+PC最小(圖10)，最小值為A′B． 此時，∠BPC=180°-∠CPP′=120°，∠APC=120°．

學生通過思考、討論，發現這里的實質也是“兩點之間線段最短”．

可以再跟學生回憶一下圓外一點與圓上距離最短的問題的處理方法：如圖11，已知定圓O外有一定點P，圓上有一個動點Q，PQ何時最短？通過畫圖，學生可以發現，這里其實也蘊含著“兩點之間線段最短”．

圖11 圖12

這節課還可以繼續拓展：

(2) 定點到定直線：垂線段最短

在初中數學中，除了兩點之間線段最短以外，還有一個相關的涉及最值的命題，即“垂線段最短”. 這里可以將“將軍飲馬問題”繼續變式，便得到了下面的例題：

如圖12，點A是∠MON內的一點，在射線OM上作點P，使PA與點P到射線ON的距離之和最?。?/p>

解析 作點A關于OM的對稱點A′，于是AP=PA′，PA+PQ轉化為PA′+PQ，根據“垂線段最短”，從A′向ON作垂線，垂足即為點Q．

圖13 圖14

4 結語

四字特征彰顯卓越課堂本色，卓越課堂落腳于核心素養提升． 數學課堂教學中的“瘦、皺、漏、透”是實現學生數學學科核心素養的必由之路，也是數學教師發展自我的必然路徑． 在構建初中數學卓越課堂的道路上，筆者將努力著眼于學生的全面、可持續發展，努力讓新的課程理念落實到每一節課上，讓課堂成為師生共同成長的空間．

在卓越課堂的引領下，我校中考成績節節攀升，建校17年已產生五位中考狀元． 在2020年中考中，700分以上12人，690分以上52人，有近千人達到四星級高中錄取分數線，在蘇州大市范圍內影響廣泛，全國各地多個代表團到我校觀摩學習． 今后，我們還將繼續研究卓越課堂，努力提升教學質量．