品高考試題 揭數(shù)學本質*

戚有建 石青慧 (江蘇省揚州中學 225009)

很多高考題看似平常，實際上卻很不平常，意蘊豐富，都是經(jīng)由命題專家精心思考編制出來的，有很大的教學價值和研究空間. 本文從2020年全國卷的一道高考解析幾何題出發(fā)，首先探究問題的解法，再對問題進行推廣和類比研究，最后研究問題的深刻背景及應用．

1 考題展示

圖1

(1)求橢圓E的方程；

(2)證明：直線CD過定點．

點評本題是2020年全國卷Ⅰ理科第20題，是試卷的壓軸題，也是選拔題，與2010年江蘇卷第18題相似度很高. 第(1)問對學生來說很容易上手，化簡向量關系式求出基本量a即可;第(2)問證明直線過定點，意在考查用方程來研究曲線的性質，即用代數(shù)方法(坐標法)來研究幾何問題(定點問題). 本題看起來很平凡，實際上卻是平而不凡，有一定難度和區(qū)分度，也有很大的研究價值，我們重點研究第(2)問.

2 解法研究

除了文[1]中劉小樹、陳琳兩位老師給出的五種解法外，我們再給出構造曲線系的證法：

3 推廣研究

證明過程類似，從略．

4 類比研究

將結論1中的“橢圓”改為“雙曲線”，結論成立嗎？研究后發(fā)現(xiàn)仍然成立，即有下面的結論：

說明 將結論1中的“橢圓”改為“圓”，結論也成立，因為圓可以看作是橢圓的特殊情況.

5 背景研究

(1)如圖2，設P為不在圓錐曲線上的點，過點P引兩條割線交圓錐曲線于點E,F,G,H，設EG與FH交于點M，EH與FG交于點N，則稱MN為點P對應的極線． 同理，稱PN為點M對應的極線，PM為點N對應的極線．

圖2

現(xiàn)在我們用極點極線知識來解釋這道高考題，過程如下：

6 背景應用

筆者做了一些研究，發(fā)現(xiàn)很多高考解析幾何題(定點定值問題)都與極點極線有關，都是以極點極線作為命題背景． 例如：

試題1(2011年四川卷理科21題)如圖3，已知橢圓的兩個頂點A(-1,0),B(1,0)，過焦點F(0,1)的直線l與橢圓交于C,D兩點，并與x軸交于點P，直線AC與直線BD交于點Q．

圖3

(1)求橢圓的標準方程；

試題2(2012年北京卷理科19題)已知曲線C：(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)．

(1)若曲線C是焦點在x軸上的橢圓,求m的范圍;

(2)設m=4,曲線C與y軸的交點為A,B(點A位于點B的上方),直線MN與曲線C交于不同的兩點M,N,直線AN與直線BM交于點G，求證:A,G,N三點共線.

圖4