“一題一課”讓解題教學走向簡約、精準和高效
——以一道多元變量的條件最值問題為例

李 湘 (江蘇省無錫市輔仁高級中學 214123)

1 問題背景

美國著名數學教育家G·波利亞曾經說過：“掌握數學就意味著善于解題”． 數學解題為學生提供了一個應用數學知識、掌握數學思想和方法、提高分析問題、解決問題的能力的平臺. 學習數學離不開解題，所以，解題教學成為數學教學的重要組成部分，貫穿了整個數學教學過程的始終． 加強解題教學是提升數學教學的重要前提． 如何上好習題課？怎樣才能有效地提高解題教學的效益？這是每位數學教師都應認真思考和積極探索的問題．

題海戰術的課堂節奏快、容量大，教師滔滔不絕地講解，希望能給學生多灌輸一些題型，多傳授一些方法，課后再給出大量的習題讓學生操練，而學生則忙于記錄，稀有思考，課后的重復訓練和大量刷題費時又費力，效果還差強人意． 針對這種現狀，筆者通過調查分析，對解題教學的方式做了一些對比試驗，感到“一題一課”具有簡約、精準和高效的特點，不失為一種有效的方法．

所謂“一題一課”，就是對一道題或一個材料進行深入研究，認真琢磨其本質，通過縱橫聯系，將孤立問題“串”起來；通過課外拓展，讓學生思維“飛”起來；基于學情，科學、合理、有序地組織學生進行相關的數學探索活動，從而完成一節課的教學任務，以此達成多維目標的過程．[1]下面記述一道多元變量的條件最值問題的教學過程，與同仁交流．

2 教學案例

2.1 原題呈現，聚焦學生的思維

這個問題綜合性較強，難度較大，對學生有一定的挑戰性，一經提出，學生就積極地展開思考，嘗試求解． 但都未能成功．

師：在前面的學習中，我們研究過與其類似的問題嗎？有沒有積累過關于這一類問題的解題經驗？

2.2 類題鋪墊，引發學生的記憶

學生認真回憶，互相交流，反響熱烈． 教師在學生討論的基礎上，給出以下問題作為鋪墊，為解決原題提供知識和方法的儲備．

師：先請大家看一個比較熟悉的問題．

問題2已知正實數x，y滿足xy+x+y=3，則x+y的最小值是．

這是一道比較容易解決的問題，學生能夠從不同的視角得到這個問題的不同解法．

師：生1利用已知條件，通過消元，轉化為一元變量的最值問題，然后運用基本不等式求出了最小值． 非常好！

師：生2和生3的解法，雖然過程有所不同，但有一個共同的特點，就是無需消元，只需運用整體處理的方法，直接由基本不等式求出函數的最小值，顯得既簡潔又巧妙． 請大家再看下面的問題．

很快有學生想到先將目標函數變形簡化，再運用基本不等式求出其最小值．

生眾：可以的，也不難解決．

師：上面兩題中都只涉及兩個變量，有遇到過三個變量的問題嗎？

師：同學們有什么想法嗎？

師：這個想法不錯，大家試試看．

設f(x)=x3+18-3x，f′(x)=3x2-3． 令f′(x)=0，可得x=±1，

師：很好！現在請大家回過來看看，我們開始提出的問題，有辦法解決了嗎？

2.3 探索解法，提升學生的能力

學生交流討論，探索原題的解法，很快就有同學取得了很好的進展．

2.4 變式引申，拓展學生的思維

師：上面我們從不同的視角探索了原題的解法，對這個問題，大家還有一些新的想法嗎？能不能由原來的問題，提出一些新的問題來?

生9：我想啊，能求出W的最大值嗎？如果將問題變成求W的取值范圍，又怎么求解？

師：這個想法有見地． 我們解決一道數學問題，不能就題論題． 要善于從這道題出發，作一些變式，提出一些新的問題，將這道題的作用發揮到極致． 就今天的這個問題而言，大家能求出W的最大值嗎？試試看．

2.5 總結提煉，完善學生的認知

師：很快又到下課的時間了！請同學們回憶一下我們今天這節課的研究內容．

生11：今天這節課，我們主要研究了多元變量的條件最值問題的求解方法．

師：我們是怎樣進行研究的？研究的方法是什么？

生12：我們從一道典型的問題出發，聯想已經研究過的類似的問題，從不同的視角，運用一題多解與一題多變的方法，探索得出這一類問題的一般的解題方法．

師：通過這節課的學習，你有哪些收獲？

生12：掌握了求解多元變量的條件最值問題的基本思維方法：一是利用已知條件消元，將其轉化為一元變量的函數最值問題來處理，二是借助基本不等式整體求解．

生13：體會了等價轉化、分類討論、先猜后證、類比等數學思想和數學方法在解題中的應用．

師：運用基本不等式求最值，要注意什么？

生14：要關注“一正、二定、三相等”的條件，三者缺一不可！

師：求解一元變量的函數最值問題，常用的方法有哪些？

生15：可以借助函數的圖象，利用函數的單調性、求導數的方法，也可以運用基本不等式．

師：對今天的問題，大家還能做哪些探究？課后不妨試一試.

3 教后反思

“一題一課”的學習模式最大的特點是“小切口，深挖掘”，對數學“題”進行深度挖掘，以“原題”為本，設計出不同層次的探究題，由淺入深，逐個擊破，真正做到了深度學習，促使學生的數學思維從低階逐步跨越到高階思維．[1]本節課給出的原題即問題1綜合性較強，難度較大，對學生有一定的挑戰性． 對于多元變量的問題，處理的常用方法是消元法和基本不等式法，如何讓學生體會這兩種方法？本節課的一系列問題串，給學生鋪設好了臺階，問題2和問題3難度適當提高，都能轉化為一元函數，然后用基本不等式或者求導得到最值，也可以直接用基本不等式解決雙元變量的最值． 問題4的設計是讓學生感受從二元變量跨度到三元變量，通過問題4，學生能進一步體會消元的思想和方法，尤其是三元變量的消元方法得到進一步的強化，從而能順利地解決開始給出的問題1． 這一串問題很好地體現了“一題一課”的選題原則:層次性、開發性、廣延性． 問題的層次性讓不同能力的學生在學力上得到不同的發展；問題的開放性讓不同層次的學生都能參與；問題的廣延性，易于學生發現問題并做進一步的探究和推廣．[2]

波利亞曾形象地指出:“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找找，很可能附近就有好幾個． ”數學問題好比蘑菇，成堆同根地出現． 在進行解題教學時，教師如果能夠以具有典型性、可以發揮示范輻射作用的原題為出發點，運用“一題一課”的模式，開展“蘑菇式”的變式探究活動，既可以讓原本較枯燥無味的解題課堂變得生機勃勃，也能收到“講一題、通一類、得一法”的效果． 本節課的教學以一道題為主線，圍繞著一個主題開展探索活動，揭示問題本質，提煉解題策略，挖掘知識之間的聯系，滲透數學思想方法，顯得簡約、精準和高效. 研究的內容和方法可以在學生頭腦中留下深刻的印象，不容易遺忘，使其課后再做類似的問題時感到得心應手，逐漸感到學習數學不再枯燥無味．

教學有法，教無定法． “教亦多術矣，運用在乎人”． 葉圣陶先生也曾經說過：“教師之為教，不在全盤授予，而在相機誘導． 必令學生運其才智，勤其練習，領悟之源廣開，純熟之功彌深，乃為善教者也”． 建議各位數學教師重視對解題教學的研究，努力探索和構建出更多的、適合學生的、行之有效的解題教學模式，幫助學生“跳出題海”，讓學生在生動活潑、豐富多彩的探究活動中深化對知識的理解，提高應用所學知識分析問題和解決問題的能力，使我們的解題教學真正走向簡約、精準和高效．