著力一題多解 引領學生思考
——以一道高三質檢題為例

蔡海濤 (福建省莆田第二中學 351131)

本文以一道高三質檢題為例，提供了多種解題思路，兼顧了解題的通性通法和特殊解答技巧，引領學生進行解題反思，歸納并提煉解題思想和方法，同時在解題教學層面進行了深入思考，旨在培養學生的數學核心素養．

1 試題呈現

(2020年莆田市高三第三次質檢·理21)設函數f(x)=xlnx，g(x)=aex(a∈R)．

(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線也與曲線y=g(x)相切，求a的值．

(2)設函數G(x)=f(x)-g(x)存在兩個極值點． ①求a的取值范圍；②當ae2≥2時，證明：G(x)<0．

2 解法探究

因為H(m)·H(2)≤0，所以H(x)存在唯一零點x0∈(1,2)， 故F(x)有唯一的極大值點x0∈(1,2)．

又u′(x)在區間[1,+∞)上單調遞減，故u′(x)≤u′(1)=0，即u(x)在[1,+∞)上為減函數．

又u(2)=1-ln 2>0，u(3)=1-2 ln 3<0，故存在x0∈(2,3)，使得h′(x0)=0，即lnx0+1-x0lnx0=0 (*)．

于是當10，h(x)為增函數；當x>x0時，h′(x0)<0，h(x)為減函數．

3 變式拓展

(1)求函數f(x)的單調區間；

解(1)函數f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+∞)上單調遞減. (過程略)

令g(x)=1-x-xlnx，則g′(x)=-1-(lnx+1)=-2-lnx．

評注對于含有lnx與ex型的超越函數，具體解決時須根據這兩類函數的特點，挖掘結構特征，靈活變形，腦中有“形”，特別注意重要不等式lnx≤x-1?ex≥x+1的合理代換．

4 教學啟示

(1)對解題教學的思考

在解題教學中，教師常常采用一題多解，讓學生從多種思維角度來思考問題，既要重視通性通法又要關注特法巧解，解后引導學生對解題方法進行歸納，在數學思想上進行引領． 指數、對數組合型的函數不等式問題，常用的解題方法有三種：一是指數、對數分離并向易于求最值的常用函數轉化；二是利用放縮消掉指數函數或對數函數之一，再進行處理；三是隱零點法． 對于具體問題，可根據函數特征具體分析，選擇合適的方法求解．

解題教學中還可常常對問題進行變式，讓學生通過 “變中發現不變”來學習抽象化并通過“以不變應萬變”來學習公理化，以此來解決數學教學中的核心問題——“抽象化”和“公理化”． 基于突出數學本質的解題教學，不應局限在解題方法的展示，更應引導學生在課內、課外注重知識背后的數學思想、方法的貫通，注重形、數之間的結合，引導學生進行學習內容邏輯線索的梳理，強化在數學實踐活動中綜合運用數學知識的能力，從不同角度思考問題，由此建立起知識體系，從而能以“一覽眾山小”的姿態來看待數學問題．

(2)精選例題，聚焦高考

教師講解模擬卷的典型試題，應聚焦高考試題，進行高考試題對點鏈接，引導學生學會歸納試題的共性，學會應對試題的創新變化，看破迷霧，提升抓住問題本質的能力． 高考壓軸題都具有一定的創新性，解題教學中教師應努力培養學生的發散思維，拓寬學生的視角. 只有這樣才能讓學生做到“以不變應萬變”，笑傲考場．

(3)引領學生深度思考

解題教學中教師應引領學生進行深度思考，引導學生從不同視角、不同方向進行觀察、類比、聯想，引領學生思考一題多解、一題多變、多題一解、多解歸一；思考答題難點是什么，為什么不會，這種解法能否推廣；思考這道題還可以得到哪些結論，條件結論能否互換. 通過思考，獲取問題的內在聯系，關注學習內容的有機整合. 注重知識學習的批判理解,著意學習過程的建構反思,重視學習的遷移運用和問題解決，從而領悟數學之美，提升核心素養．