初中數學評講課構建與實例分析

邱小偉 曾昌濤

[摘要]在充分分析學生試卷的基礎上，高效的試卷評講課可以從五個方面進行數學課型構建，從而提高數學試卷評講課的教學效率，完成數學課堂教學目標，加深學生對數學概念的理解，提高學生分析問題和解決問題的能力

[關鍵詞]核心素養;課型構建;評講課;試卷

作者簡介：邱小偉（1991-），碩士研究生，從事初中數學教學工作;曾昌濤（1968-），本科學歷，中學數學研究員，從事中學數學教學研究

數學試卷評講是重要的數學教學環節之一，它是數學考試的延續，也是學生對所學知識進行錯誤糾正、歸納總結和査漏補缺的最佳方式.在充分分析學生答題情況的基礎上，有針對性地備課，才能使試卷評講高效.但在實際教學中，教師評講數學試卷時仍然存在以下問題：一，在不批改試卷的情況下，憑借自己的工作經驗直接評講試題;不統計學生各題的得分率及典型錯誤，不根據實際的學情進行備課，而是按照自己理解的重點進行評講;三，不分重難點全部講解一遍，僅僅就題論題，得到一個正確答案即可，沒有必要的反思和小結;四，只重視解題思路，不注重解題過程和規范的板書過程;五，課后學生不總結、不整理錯題，沒有再測試進行基礎的夯實.在筆者看來，在充分分析試卷的基礎上，高效的試卷評講課可以從以下五個方面來著手.

以點帶面，精選題材

新課改后的中考，基于教材，以考查學生對基礎知識、基本技能的掌握程度，命題則來源于多個知識的交匯處，以便學生更容易施展拳腳.因此，教師在評講數學試卷時，應精選題材，將典型例題深度剖析、深人挖掘，實現題組串聯，以達到“切入一點，帶出一串，連成一片”的教學效果，即以點帶面的教學效果.例如，在“七年級下數學定時訓練10”中出現了以下五道試題.

第3題：要使式子V2-x有意義，則x的取值范圍是（）

B.x-2

C.x≥2

D.x≤2

第7題：已知x-3+Vx+2y-7=0則（x+y）2的值為（）

A.4B.16C.25D.64

第13題：已知實數x，y滿足y=

Vx2-16-V16-x2+2，則x-y=

第20題：已知a，b，c滿足V8-a+a-8=c-17+b-30b+225.

（1）求a，b，c的值.

（2）以a，b，c為邊能否構成三角形若能構成三角形，求出三角形的周長和面積;若不能構成三角形，請說明理由第23題：已知y=

分析上述5道題都涉及算術平方根的“雙重非負性”，其中第3題單純利用“V”的非負性求x的取值范國;第7、13、20、23題則添加了其他知識點，換著花樣結合“V”的“雙重非負性”求未知數的值.因此，這5道題的本質就是考查學生對V”的理解.所以，試卷評講時，可以選取第20題進行詳細講解，則其余4道題便可以迎刃而解了.第20題除了考查算術平方根的“雙重非負性”而外，還考查了以下知識點：絕對值的非負性，構成三角形的三條線段應滿足“較大兩邊之差小于最小邊”或“較小兩邊之和大于最大邊”，直角三角形的判定，三角形的周長、面積的求解.故將第20題講解清楚了，能幫助學生理清很多數學知識點對于第20題，求解第（1）問時，可以以V8-a+Va-8=c-17?+b2-30b+225為突破口，即由算術平方根的“雙重非

負性”V8-n≥0，。8-a≥0，

V-8=080農且

a≤8且a≥8，所以a=8.所以c-17?+（b5）=0.所以c=17，b=15.

抓住本原，歸納題型

抓住題目考查的實質，把握重點并進行引申和推廣.幾乎每套試卷中都有一些具有研究價值的典型試題，這些試題往往隱藏著一般的規律和解法，對于這類題，應將其歸納、提煉出來，成為典型題型.教師在評講典型題型時，應引導學生進行條件的分析、變式的練習，以及結論的延伸，探索從一般到特殊的結論，從特殊到一般的規律，通過評講和延伸做到解一題、帶一串、通一類.例如，在“七年級下數學定時訓練10”中，有以下三道與行程有關的試題第10題：（多選）在20km賽跑中甲、乙兩名選手所行路程y（單位：km）隨時間x（單位：h）變化的圖像如圖1所示，根據圖中提供的信息，下列說法中正確的有（）

A.兩人相遇前，甲的速度小于乙

的速度

B.出發后1h，甲、乙的行程均為10km

C.出發后15h，甲的行程比乙多3km

D.甲比乙先到達終點

第25題：甲、乙兩人在一條平直的馬路上相向而行，乙開車從B地前往A地，甲騎摩托車從A地前往B地，他們分別以各自的速度勻速行駛.已知甲先出發6min后，乙オ出發，在整個過程中甲、乙兩人之間的距離y（單位：km）與甲出發的時間x（單位：min）之間的關系如圖2所示，則當乙開車到達終點A時甲騎車還需min才能到達終點B.

第27題：甲老師從家開汽車勻速行駛回學校給學生們布置作業（布置作業的時間可忽略不計），又以相同的速度趕往離學校30km遠的籃球場和乙老師打球.在甲老師出發的同時，乙老師也從學校開汽車勻速向籃球場行駛，乙老師途中在永輝超市買籃球停留了5min，接著繼續以相同的速度向籃球場行駛甲老師與乙老師兩車離學校的距離y（單位：km）與所用時間x（單位：min）之間的圖像如圖3所示，根據圖像回答下列問題

（1）乙老師的行駛速度為km/mina=

（2）當甲老師與乙老師初次相遇時，他們倆距籃球場多少千米？

（3）出發多久后，兩車相距18km？

分析上述3道題均是一次函數圖像題，分析出圖像中各個拐點的意義是這類行程問題的突破口，接著理解每條線段上升或者下降的意義，其次畫出線段圖，建立方程求甲、乙的速度，得出甲、乙的速度后，基本上所有問題便可迎刃而解了.在評講試卷時，可以簡要分析第10題和第27題，重點評講第25題對于第25題，由函數圖像知甲先行駛1km用了6min，又甲是勻速行駛，所以可求得=-km/min.再由縱坐標可看出A，B兩地相距16km，當t=16min時，甲、乙相遇.設乙的速度為（單位km/min），由題意得（16-6）+16p=16，解得z=km/min.甲從A地到B地一共要用16÷=96（min），乙從B地到A地一共要用16÷こ=12（min），所以當乙到達終點A時，甲還需要96-12-6=78（minl才能到達終點B

針對第25題，可以總結出此類題的般求解規律：①讀懂題意，弄清各拐點的意義;②畫出線段圖，分析圖像中各線段的意義;③根據圖中拐點、特殊點建立關于速度、時間、路程的等式;④求出甲、乙的速度

擊中要害，引導方法

初一學生的思維正處于形象思維到抽象思維的過渡期，他們分析問題的能力和空間想象能力都還處于較弱的階段，在一些相似的概念、公式、圖形的理解上顯得有些吃力，有時會出現概念混淆、圖形判斷不準確的情況.在考試中，問題情境稍有變化，問題方式發生變化，學生就會由于思維定式而察覺不到，從而造成錯誤.基于此，教師可以發揮引導作用，將這些概念整理、歸類羅列，引導學生從不同角度進行觀察對比，感悟其中的差異，形成完善、系統的知識鏈，從而擊中學生對模糊知識的理解，在方法上進行引導，進而提升學生解題的正確率.另外，數學中的計算題，學生平時自認為什么都能算對，思想隨意性很強，不在意計算題的計算步驟，因此這類計算題的得分率往往不高，故教師在評講這類錯題時，一定要借機將所涉及的知識點進行歸納.

比如，在實數的運算中，一般涉及倒數、相反數、絕對值、算術平方根等知識，這些知識小而雜，教師應耐心引導學生將它們系統化、條理化.比如“七年級下數學定時訓練10”中的以下試題.

第21題：若167-（2m-1）xy+4y2是一個完全平方式，m為常數，則m=

第22題：已知x2+4x-1=0，則的值為

分析第17題屬于二次根式的運算，計算時，學生需要具備以下知識基礎和能力：（1）充分理解最簡二次根式的定義，即①被開方數開不盡，2“V”里面不含分數，③“V”不在分母，④最后的結果約分至最簡;（2）靈活應用積和商的算術平方根，即Va=Va·Vb

（a≥0，b=0）

（a≥0，b>

0）;（3）知道去括號時什么情況下括號里的每一項都需要變號;（4）熟練運用單項式乘多項式、多項式乘多項式的運算法則，加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律和乘法分配律等.第21題主要考查學生對完全平方式的理解很多同學看到“-（2m-1）xy”，就只想到“（x-y）2”這種完全平方差的展開形式，忘記了“（x+y）2”的形式也是可以的，從而導致錯誤.所以評講時，教師需要強調和總結出“-（2m-1）xy=±24x2y””，從而求出m=或m=-

第22題主要考查學生對“x2+4x-1=0”信息的分析與提取，以及對“x4+x2+1的變形處理.由x+4x-1=0可得到以下結論：①）x≠0;2x+2;④x2=1-4x.評講時，教師應引導學生理解這4個結論，從而得到x4+x2+1

旁征博引，突破難點對于難題的評講，首先可以尋找一個能引起學生共鳴和感興趣的話題作為切入點，然后采用階梯設疑法，即設計有梯度的問題，由淺入深，由易到難，步步推進，從而解決問題.也可以用分解整合法，即，把一個問題從不同層次和不同角度分解成幾個小問題來講，然后加以概括、歸納，這樣就可以降低難度，達到突破難點的效果，使學生更易于接受和理解.

例如“七年級下數學定時訓練10”中的第28題：如圖4，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P從點A出發，沿A-B→C→D路線運動，運動到點D停止;點Q從點D出發，沿D→C→BA4運動，運動到點A停止.若P，Q兩點同時出發，點P的速度為1cm/s，點Q的速度為2cm/s，as時P，Q兩點同時改變速度，點P的速度變為mcm/s，點Q的速度變為ncm/s.圖5是點P出發xs后△APD的面積S1（單位cm2）與x（單位：s）的函數圖像;圖6是點Q出發xs后△AQD的面積S2（單位：cm2）與x（單位：s）的函數圖像.1）求a，m，n，c的值;2）設P，Q兩點出發xs后離開點A的路程為y1，y24（單位：cm），請寫出y1，y2與x的函數關系式，并求出點P與點Q相遇時的x的值

分析對于第（1）問，分析圖4可知點P，Q的運動方向和大致的運動情景由圖5可知，當0≤x≤10時，S4P=PAAD，于是x（1xa）×6=24，解得a=8：又由點P在運動8s變速后以mcm/s運動2s后到達B點可得m12-1×8=2.再由圖610-8知點Q從點D開始，經過C，B，最后運動到點、A共用了22s，前8s以2cm/s的速度運動，后14s以ncm/s的速度運動，于是2x8+（22-8）n=DC+CB+AB，解得n=1.又由（c-8）x2+1Xx8=12+6+12可解得c=19.

第（2）問主要涉及分類討論和關系式的表示，初一的學生對分類討論的情況很難把握，他們遇到稍微復雜一點的問題，就不知道如何去分類或者不知道分成多少類，這些都需要教師耐心地引導，慢慢培養他們分類討論的能力.另外，學生對于用關系式來表示兩個變量之間的關系同樣困難.對于這兩個難點

教師可以抓住P，Q變速前和變速后來進行分類討論.下面將問題拆分，以達到降低難度的目的，并讓學生逐一解決問題1：P，Q兩點在第幾秒開始變速？變速前P，Q兩點行駛的路程與時間的關系如何表示？變速后P，Q兩點行駛的路程與時間的關系又如何表示？問題2：當P，Q兩點相遇時，P點的路程和Q點的路程有怎樣的數量關系？

變式拓展，落實重點

進行數學試卷評講時，教師不能就題論題，而應在講清楚、講透徹原題的基礎上進行相應的變式拓展，以起到舉反三的作用，讓學生真正掌握這個知識點.變式題的設計應當和原題具有密切性、針對性、有效性，而不是單純地變題，應該從不同角度、不同層次對原題進行挖掘，使變式題起到拓展延伸的作用，從而落實重點

例如“七年級下數學定時訓練10”中的第25題（見前述內容及圖2），可設置如下變式題：

變式1條件不變，當甲到達終點B時，乙已經到達A地m變式2條件不變，當乙到達A地后返回追上甲時，乙還要行駛min才能到達B地.

總之，試卷評講課應該充分發揮學生學習的主體性，提高課堂教學效率，使課堂教學成為學生自主思考、自主評析、自主發展的愉快場所.教師可以從“以點帶面，精選題材”“抓住本原，歸納題型”“擊中要害，引導方法”“旁征博引，突破難點”“變式拓展，落實重點”這五個方面進行課堂教學，從而提高數學試卷評講課的教學效率，完成數學課堂教學目標，加深學生對數學概念的理解，提高學生分析問題和解決問題的能力