例談線段2倍關系的證明策略

蘇明海 茍述珍

[摘要]平面幾何作為初中課程內容四大板塊之一，一直是中考考查的重點，分析線段關系是解決平面幾何問題的必備能力.文章通過對一道例題的分析與求解，談談線段2倍關系的證明策略

[關鍵詞]2倍;線段關系;證明策略

作者簡介：蘇明海（1968-），本科學歷，中學高級教師，重慶市骨千教師，重慶教育學會教育管理常務理事，從教31年，一直從事初中數學教學工作和教學管理工作，論文《初中數學目標教學有效途徑和方法》獲全國目標教學論文評比一等獎;茍述珍（1992-），碩士研究生，中學二級教師從事中學數學教學工作

《義務教育數學課程標準（2011年版）》將初中課程內容分為四個板塊，圖形與幾何”作為其中之一，足見其分量.平面幾何在發展學生的邏輯思維，培養學生的推理能力方面有著非常重要的作用，是初中數學教學的重點內容之一，也是全國各省市中考必考內容線段2倍關系是平面幾何的考查熱點，但學生在問題解決上的表現差強人意則源于題目本身難度，另則源于學生方法和思維的局限性.筆者希望以本文總結線段2倍關系的證明策略，拓寬解題思路，增強學生靈活應變的能力.

例題呈現

（2019重慶模擬）已知平行四邊形ABCD中，DE⊥BC于E，點F是DE上點，滿足BA⊥BF，連接CF

（1）如圖1，連接AF，若BF=2V5DC=4V5，∠DAF=30°，求AD

（2）如圖2，延長CF，交AD于點G，若BA=BF，求證：AC=2EF

分析：（1）略.（2）證明線段2倍關系，關鍵在于問題轉化.可從長線段或短線段著手將問題轉化為線段相等問題，可借助相似或面積關系證明線段關系，亦可直接求線段長度以達目的.切入點不同，研究視角則不同.

策略分析

（1）短線段或其等線段加倍，證明加倍所得線段與原長線段相等

（2）長線段折半，證明折半所得短線段與原短線段相等;

（3）線段成2倍關系，即線段相似比為2，借助線段所在三角形的相似比證明

（4）利用“截長”思想，在長線段上截取一段等于短線段，證明剩余部分也等于短線段

（5）日標變形，另辟蹊徑6）計算長度，直接證明;

（7）利用線段所在三角形面積關系，證線段關系.

解法及分析

解法1（短線段加倍）如圖3，延長CE至點P，使得PE=CE，則PC=2EC，再證明AC=PC即可.由平行四邊形對邊相等及等式的性質，可證明BP=CD.由平行四邊形對邊平行，對角相等，以及條件BA⊥BF，DE⊥BC，易得∠1=∠2，結合BF=BA=CD，易證△BFE≌△DCE.從而△EFC，△DFG均為等腰直角三角形.因此證明BP=CD即證明BP=DF，通過△BPF≌△DFC可解.

解法1通過將短線段加倍，然后證明加倍后所得線段PC與原長線段AG相等，結合圖3中陰影部分的旋轉全等結構，以及平行四邊形的性質為問題轉化提供途徑.線段2倍關系是a+b=c，即兩條短線段之和等于長線段的特殊形式

短線段加倍的實質是“補短”，AB=BF，BA⊥BF，隱含了等腰直角的背景和旋轉全等的結構，因為EF=EC，構造2EC即構造2EF，因此有如下解法2.

解法2（短線段的等線段加倍）如

圖4，延長EF到點の，使得EF=EQ，則FQ=2EF=2EC，因此證明AG=FQ即可.而證明AG=FQ，可通過A4G，PQ分別所在三角形全等得證，即如圖5，△ABG≌△FBQ;也可借助DG=DF，將問題轉化為證明DA=DQ，此問題可通過證明△DAQ為等腰三角形來解決，如圖6;或通過證明△BAD≌△BQD來解決，如圖7，詳細過程不再贅述

解法2和解法1的實質為同一方法均以加倍的方式將證明線段2倍關系問題轉化為證明線段相等的問題，結合圖形背景，便有通過圖形全等證線段相等，即圖5;通過等腰三角形及等式的基本性質證線段相等，即圖6;通過全等及等式的基本性質證線段相等，即圖7.解法1將短線段自身直接加倍，解法2則是將短線段的等線段加倍，均為直接加倍.在解題過程中，結合題目背景還可間接加倍，如利用中位線的性質，短線段作為中位線，其所對第三邊即為其2倍.直角三角形斜邊中線定理，含30°的直角三角形邊之間關系定理，也是2倍線段的生長根基.

解法3（長線段折半）如圖8，連接BD，BG，由解法1知，BE⊥DE，BE=DE則∠BDE=45°，而△GDF為等腰直角三角形，易得BD為GF的垂直平分線，因此BC=BF，而BF=BA，故△ABG為等腰三角形，長線段AC作為等腰三角形的底邊，對其折半，自然聯想“三線合一”，過點B作BH⊥AG，則H為AG中點，AH=HG=AC，借助△ABH≌△CDE，從而得證.

解法3將長線段折半，證明一半與短線段相等的方式也是證明線段2倍關系的常用方法.若長線段是等腰三角形的底邊，作“三線合一”是常用思路，當然，亦可直接取長線段的中點.

解法4（相似）如圖9，連接AF，根據平行四邊形對角相等，可得∠BAD=∠DCB，而△ABF，△EFC，△GDF為等腰直角三角形，因此∠BAF=∠ECF=∠EFC=∠DCF=45°，故∠GAF=∠FCD，∠AGF=∠CFD，因此△AGF～△CFD，所AGGAV2，則AG=V2CF=CFFD2EC，從而得證.

線段的倍數關系即為線段的比例關系，由比例聯想相似，這是借助相似解決倍數關系的出發點

解法5（等式的基本性質）如圖10在AC上截取AM=EC，連接BM.根據平行四邊形的性質，知AB=CD，∠A=∠DCE，因此截取AM=EC，即有△AMB≌△CED再證明MC=EC即可.由解法1知DE⊥BE且DE=BE，易得四邊形MBED為正方形，根據MD=ED，GD=FD，結合等式的性質，顯然MG=EFE因此AG=AM+MG=EC+EF=2EC，得證.

正如前文所說，線段2倍關系是a+b=c即兩條短線段之和等于長線段的特殊形式，因此可用解決a+b=c的方法來解決此問題，解法1的實質是“補短”，解法5的實質則為“截長”，在長線段AG上先截取一段等于短線段EC，再證明剩余部分MG也等于短線段EC，是一般方法在特殊背景下的應用

解法6（日標變形）證明AG=2EC即證明A4C=V2EC.如圖1，過點B作V2BN⊥BC交FG的延長線于點N，連接AN，則△NBC為等腰直角三角形，結合BA⊥BF且BA=BF，得“手拉手”型全等，即△ANB≌△FCB，則AN=FC，同時進而可推出∠NAG=∠NCGA=45°，△ANG為等腰直角三角形，因此M=CFC=V2EC，則AG=2EC，得證.

任何線段關系的證明問題，都可以將目標式子進行等價變形，證明變形后的式子即可.變形方式應結合題目背景及條件而定，比如解法6依據圖中暗含的多處45°，易構或證明V2倍，因此做如上變形，變形后的式子可給學生新的解題構圖方向，從而另辟蹊徑，解決問題

解法7（計算長度）如圖12，由解法1知△EFC，△DFG均為等腰直角三角形，不妨設EC=EF=a，DC=DF=b，則DE=BE=n+b，因此BC=BE+EC=a+b+a=2a+b根據平行四邊形對邊相等，故AD=BC=2a+b，所以AG=AD-DG=（2a+b）-b=2o=2EC，得證.

解法7借助條件中線段之間的關系，直接求出線段AG，EC的長度，從而證明線段2倍關系.不僅是線段2倍關系的問題，任何線段和差倍分問題，只要能將線段長度求出，或者用同一字母進行表示，均可得以解決

解法8（利用面積）如圖13，連接BD，則S。8m=SBE，由解法3知BD為CF的垂直平分線，因此Smc=Smr，故SABeSBE+S2me，即S=S2+S3，由解法1的分析知S，=S，所以S，=2S3，而△ABG與△CDE等高，面積之比等于底之比，從而得到AG-2EC通常，依據等高的兩個三角形面積之比等于底之比，或者等底的兩個角形面積之比等于高之比，將線段的倍數問題轉化為面積的倍數問題，從而啟發學生新的解題思路，解法8即是如此.

結語

線段2倍關系問題是平面幾何的考査熱點，學生經常因為方法的局限性，致使解題受阻，因此建立方法體系很有必要.除上述方法之外，在直角三角形中可通過證明銳角為30°，從而證明斜邊為短直角邊的2倍，也可通過證明三角形為直角三角形，從而證明斜邊是斜邊上的中線的2倍.筆者希望學生通過數學知識和數學方法的學習，數學思想的領悟以及態度、情感的熏陶逐漸形成正確的價值觀念、必備品格和關鍵能力.折半、加倍以及一般形式的“截長補短”是解決此類問題的通法，教學中教師應用好課堂這個主渠道，特別加以引導，結合教學內容落實四基，培養四能，促進學生數學學科核心素養的形成和發展.