一類收斂的帶無限次疊套的數學式子及其探討

陳宏健

【摘要】本文探討一類帶有無限次疊套運算的算式，類似于yn=n1+n1+n1+n1+…（n=2，3，4……） 的帶有無限次疊套運算的算式，驗證其收斂性，并在收斂的條件下轉化為有限次疊套數列yn1=1，yn2=n1+n1，yn3=n1+n1+n1，…，ynk=n1+n1+n1+…+n1的極限，通過分析簡單情形，歸納推導出一般情形，并且尋找解法，嘗試將解決方法推廣到其他無限次疊套運算中.

【關鍵詞】無限次疊套;有限次疊套;收斂;有界單調遞增數列

一、引言

數的疊套運算常見于實數的無限次重復運算中，其特征為每一步的運算又疊套在下一步的運算當中，層層疊套，直至無窮.例如初等數學中的無限連分數，高等數學中有關特定函數與極限、級數的問題，以及幾何圖形中的分形圖，其中都有與無限次疊套運算相關的例子.

二、概念與記號

定義1帶有無限次疊套運算的算式（n=2，3，4，……）

yn=n1+n1+n1+n1+…，

則有y2=1+1+1+…，

y3=31+31+31+…，

y4=41+41+41+41+…，

…，

yn=n1+n1+n1+n1+….

定義2假設k為有限次疊套次數，

則ynk=n1+n1+n1+…+n1k個 可取：

yn1=1，

yn2=n1+n1，

yn3=n1+n1+n1，

以此類推得出k次疊套數列：

ynk=n1+n1+n1+…+n1k個.

定義3當有限次疊套式ynk的極限存在時，無限次疊套式yn為有限次疊套式ynk的極限.

即當ynk的極限存在時ynk→yn（n→+∞）.

反之，當有限次疊套式ynk的極限不存在時，無限次疊套式yn發散.

定理1 當k→+∞時，有限次疊套數列

ynk=n1+n1+n1+…+n1k個 的極限存在.

這個證明分兩部分：

（1）當k增加時，ynk為單調遞增數列

（2）ynk為有界數列? （k=1，2，3……）.

證明（1）當n=1時，n1<n1+n1，

即yn1<yn2.

假設n=k時，ynk<ynk+1，

則當n=k+1時，n1+ynk<n1+ynk+1，

n1+n1+n1+…+n1k+1個<n1+n1+n1+…+n1k+2個

則? ynk+1<ynk+2.

由數學歸納法得ynk為單調遞增數列，

即yn1<yn2<yn3<…<ynk（n=2，3，4……）.

（2）依據開方運算性質易知

nx<n-1x<…<x（x>0）.

則對任意的t（t=2，3，4，…，n-1），有

t+11+t+11+t+11+…+t+11k個<t1+t1+t1+…+t1k個，

即y（t+1）k<ytk，

1<ynk<y（n-1）k<y（n-2）k<…<y3k<y2k.

由于1+1<3，

1+1+1<1+3<3，

1+1+1+1<1+3<3，

以此類推，

有y2k=1+1+…+1< 1+3<3，

則1<ynk<3（n=2，3，4……）.

即 y2k，y3k，…，ynk當中的每個數列均為有界單調遞增數列.

根據有界單調遞增數列極限存在定理有

limk→∞=yn.

定理2當n→+∞時有限次疊套式ynk的極限為1.

證明1<yk<3（n=2，3，4……），

ynk=n1+yn（k-1），

則1<n1+yn（k-1）<n4，

1<ynk<n4，

limn→+∞n4=1，

由夾值法有limn→+∞ynk=1（k=1，2，3……）.

三、有限次疊套式ynk的簡單情形

當n=2時，y2=1+1+1+…，

y2k有極限，

則 y2=1+y2，

y22=y2+1，

則 y22-y2-1=0（y2>0），

解得y2=1+52≈1.618.

疊套次數y21y22y23y24y25…極限值y2y2k大約值11.4141.5521.5981.612…1.618y2k為有界遞增數列，y2k有極限，

即當k→+∞時，y2k→y2.

當n=3時，

y3=31+31+31+…，

y3=31+y3，

則y33=y3+1，

即 y33-y3-1=0.

根據三次方程求根公式，有

y3=3-q2+q22+p33+

3-q2-q22+p33

=312+23108+312-23108

≈1.3247.

疊套次數y31y32y33y34y35…極限值y3y3大約值11.2601.3121.3221.324…1.3247則有 y3k為有界遞增數列，y3k有極限.

即當k→+∞時，

y3k→y3.

當n=4時，

y4=41+41+41+…，

y44=1+y4，

以此類推，

當k→+∞時，y4k→y4 .

代入Matlab求解y4≈1.2207.

四、一般情形的推廣

yn=n1+n1+n1+n1+…，

yn=n1+yn，ynk極限存在，

則ynn-yn-1=0.

代入Matlab求解如下：

clc，clear

fid=fopen（'d：＼＼char1.txt'，'at+'）;

for n=2：40

p=[1，zeros（1，n-2），-1，-1];

gen=roots（p）;

fprintf（fid，'%g＼＼n'，gen）;

end

fclose（fid）;

ynkyn1yn2yn3yn4yn5…極限值 yny2k11.41421.55381.59811.6119…約1.6180y3k11.25991.31231.32241.3243…約1.3247y4k11.18921.21641.22011.2207…約1.2207y5k11.14871.16531.16711.1673…約1.1673y6k11.12251.13361.13461.1347…約1.1347…y（10）k11.07181.07561.07581.0758…約1.0758…y（20）k11.03531.03621.03621.0362…約1.0362…y（40）k11.01751.01771.01771.0177…約1.0177…極限值ynk11111…1定理3：當n→+∞時，無限次疊套算式

yn=n1+n1+n1+n1+…的極限為1，

即limn→+∞yn=1.

證明 （1）ynk=n1+n1+n1+…+n1的極限存在，

當k=1時，由于n1<n1+n1，

即yn1<yn2，

假設n=k時，ynk<yn（k+1），

則當n=k+1時，由于ynk<yn（k+1），

0<1+ynk<1+yn（k+1），

n1+ynk<n1+yn（k+1），

yn（k+1）<yn（k+2），

由數學歸納法得ynk<yn（k+1）（k=1，2，3……），

則ynk（k=1，2，3……）為單調遞增數列.

（2） 假設 limn→∞yn=a，

limn→∞yn=limn→∞n1+limn→∞yn，

則a=limn→∞（1+a）1n.

因為 limn→∞1n=0，

所以a=limn→∞yn=1.

五、推廣與應用

定理4：收斂的有限連分數的極限為無限連分數

[a0，a1，a2，a3，…，an]=a0+1a1+1a2+…+1an

limn→∞[a0，a1，a2，a3，…，an]=[a0，a1，a2，a3……]

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]菲赫金哥爾茨.微積分學教程[M].北京：人民教育出版社，1956.