探究解析幾何探索型問題

舒敬宇

【摘要】解析幾何問題在高考數學試題中占有十分重要的地位，在考查解析幾何知識的題型中經常出現探索型問題的求解，如定點問題、定值問題、定直線問題等.探索型問題是一種具有開放性和發散性的問題，此類題目的條件或結論不完備，要求解答者自己去探索，并結合已有條件進行觀察、分析、比較和概括.這類問題對考生的數學思想、數學意識及綜合運用數學方法的能力提出了較高的要求，因此它更有利于培養考生探索、分析、歸納、判斷、討論與證明等方面的能力，使考生經歷發現問題、研究問題、解決問題的全過程.

【關鍵詞】探索型問題;研究對象是幾何圖形;研究方法是代數方法

【基金項目】本文系黑龍江省教育科學“十三五”規劃2020年度教研專項課題《初高中數學教學銜接問題研究》（課題編號：JYC1320359）的階段性研究成果.

引言

在初中幾何初步中，學生學習了幾何推理基礎，三角形、四邊形、直線和圓等相關幾何問題.初中數學的特點是從直觀、形象、具體事例出發，概括出一般結論，要求學生熟練掌握幾何推導定理，加強對數量關系的敏感度，初步具備一定的運算能力.而高中數學對應的圓錐曲線部分，則突出幾何直觀與代數運算之間的融合，研究對象是幾何圖形，所用的研究方法主要是代數方法.即通過圖形與代數的結合，讓學生感悟數學知識之間的內在關聯，加強學生對數學整體性的理解，使學生能夠根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化成代數問題;根據對幾何問題的分析，多角度探索解決問題的思路，運用代數方法得到結論，給出代數結論合理的幾何解釋，來解決幾何問題.

解決高中的圓錐曲線問題需要在初中平面幾何的基礎上具備更強的直觀想象能力、運算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力.

一、假設存在、合情推理法

第一步：假設存在（增添一個已知條件）.

第二步：求出結論，則存在;否則，不存在.

二、探究證明法

第一步：探究結論.

常用方法：①斜率為0;②斜率不存在;③利用定點確定斜率;④利用切線;⑤找極限.

第二步：證明結論（分析法、綜合法）.

常規解題思路是假設存在、合情推理法，這種方法需要進行消元、化簡、配湊、整合等步驟，其中包含的量過多，求解的運算量較大，對學生的能力要求較高.而探究證明法在解決這類問題時優勢比較明顯，要求考生盡可能地結合圖形，多從幾何角度思考問題，選擇恰當的點、線、位置來探究結論，把求解未知問題變為已知證明問題從而降低解題難度.

【典題】橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e=12，Q為橢圓C上的點，且△QF1F2的周長為6.

（1）求橢圓C的方程.

（2）過點F2的直線l與橢圓C交于A，B兩點，A，B在直線x=4上的投影分別為A1，B1（A1，B1不重合），試探究：在x軸上是否存在一定點P，使得直線A1B恒過點P？若存在，求出該定點P;若不存在，說明理由.

解（1）（過程略）橢圓C的方程為x24+y23=1.

（2）方法一探究證明法

當直線l斜率不存在時，A1，32，B1，-32，A14，32，B1（4，-32），此時直線A1B的方程為y=x-52，得P52，0，

若符合條件的點P存在，則P52，0.

以下證明P52，0就是滿足條件的點.

當直線l斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），代入x24+y23=1，得4k2+3x2-8k2x+4k2-3=0.

設A（x1，y1），Bx2，y2，則有x1+x2=8k24k2+3，x1·x2=4（k2-3）4k2+3，PA1=32，y1，PB=（x2-52，y2），

則有y1x2-52-32y2=kx1-1x2-52-32k（x2-1）

=kx1·x2-52x1+x2+4

=k4k2-124k2+3-52×8k24k2+3+4

=0.

即PA1∥PB，故恒有直線A1B過定點P52，0.

評注：這種方法從特殊直線入手，發現所研究的直線方程關于x軸對稱，巧妙地避開了煩瑣的計算過程，打破了因思維的局限性而無從入手的局面.由此可見，探究出結論，再加以證明也是解決這一類問題的典型方法.

方法二假設存在、合情推理法

假設x軸上存在定點P（t，0）滿足條件，當直線l斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），設Ax1，y1，Bx2，y2，則A1（4，y1），直線A1B的方程為y-y1=y1-y24-x2（x-4）.

令y=0，則0-y1=y1-y24-x2（t-4），所以t-4=-y14-x2y1-y2=-kx1-14-x2kx1-1-x2+1=x1.x2+4-4x1-x2x1-x2.

由（解法一）知x1=4k2+6k2+14k2+3，x2=4k2-6k2+14k2+3，

代入上式得：

t-4=4k2-124k2+3+4-44k2+6k2+14k2+3-4k2-6k2+14k2+34k2+6k2+14k2+3-4k2-6k2+14k2+3

=-1812=-32，解得t=52.

所以在x軸上存在一定點P，使得直線A1B恒過點P52，0.

評注：解決存在性命題時，往往需要先假設命題成立，增添一個已知條件，再根據題意求解.若求出的結論沒有矛盾，則存在成立，反之則不存在.它與探究證明法比較起來相對較難，探究證明法實現了與圖形的巧妙結合，化繁為簡，減少了運算量.下面，我們在已知題干不變的條件下，通過幾種變式來對其進行深度探究.

變式一AB是經過右焦點F2的任一弦，不經過點P1，32，設直線AB與直線l：x=4相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，則是否存在常數λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值;若不存在，說明理由.

解：當k=0時，y=0，則A（2，0），B（-2，0），M（4，0），P1，32，

此時k1=32-0-1=-32，k2=32-03=12，k3=32-0-3=-12，所以k1+k2=-1=2k3.

若符合條件的λ存在，則λ=2.

破解技巧：利用特殊直線探究λ的值.

變式二試問：過點F2（1，0）作斜率為k的直線l交橢圓C于A，B兩點，記AF2=λF2B.若在直線AB上取一點R，使得AR=-λRB，當直線l運動時，是否存在定直線，使得點R在該直線上？若存在，求出該直線的方程;若不存在，請說明理由.

解當k=0時，y=0，則A（2，0），B（-2，0）.

又F2（1，0），AF2=λF2B，易得λ=12.

設R（x0，y0），因為AR=-λRB，所以易得x0=4，

由直線AB的對稱性知，若符合條件的定直線存在，則直線方程為x=4.

破解技巧：先利用斜率為0的直線求出λ的值，再根據圖形的對稱性獲得相應的定直線方程.

變式三過點N（-4，0）作斜率為k的直線l交橢圓C于A，B兩點，記AN=λNB.若在直線AB上取一點R，使得AR=-λRB，當直線l運動時，是否存在定直線，使得點R在該直線上？若存在，求出定直線的方程;若不存在，請說明理由.

解法一當直線l經過橢圓的上頂點A（0，3）時，方程為y=34x+3，與橢圓x24+y23=1聯立得B-85，335，

由AN=λNB，解得λ=-53，設R（x0，y0），由AR=-λRB，解得x0=-1，

由直線AB的對稱性知，若符合條件的定直線存在，則為x=-1.

破解技巧：逆向思維設直線方程，尋找R點坐標.

解法二當直線l與橢圓相切時，設切點坐標為（x0，y0），則直線l的方程為xx04+yy03=1，將N-4，0代入得x0=-1，

則-x4+yy03=1，與x24+y23=1聯立，令Δ=0得y0=32，此時切點坐標為（-1，32）.

因為AN=λNB，AR=-λRB，利用極限思想可得R-1，32，

由直線AB的對稱性知，若符合條件的定直線存在，則為x=-1.

破解技巧：利用切線和極限思想尋找R點的橫坐標.

解法三利用極限法，令λ=1，此時AN=NB，可知A，B兩點重合，由題知在直線AB上取一點R，使得AR=-1RB，

所以A，R，B三點重合，根據切點弦的結論，可以得到直線AB的方程為：-4·x4+0·y3=1，解得x=-1，

可得R-1，32或R-1，-32，

由直線AB的對稱性知，若符合條件的定直線存在，則直線方程為x=-1.

破解技巧：借助點N（-4，0），利用切點弦方程獲得R點坐標，根據圖形的對稱性鎖定定直線方程.

變式四設動直線y=kx+m與橢圓C有且只有一個公共點D，且與直線l：x=4相交于點E，試探究：在坐標平面內是否存在定點G，使得以DE為直徑的圓恒過點G？若存在，求出點G坐標;若不存在，說明理由.

解當直線y=kx+m經過橢圓的上頂點D（0，3）并與橢圓相切時，此時直線方程為y=3，與直線l：x=4相交于點E（4，3），以DE為直徑的圓的方程為（x-2）2+（y-3）2=4，令y=0，解得x=1或3.

當直線y=kx+m經過E（4，0）且與橢圓相切時，設切線方程為xx04+yy03=1，將E（4，0）代入得x0=1，

取切點坐標為D1，32，以DE為直徑的圓的方程為x-522+y-342=4516，令y=0，解得x=1或4.

若在坐標平面內存在定點G，使得以DE為直徑的圓恒過點G，則點G的坐標為（1，0）.

破解技巧：利用兩條特殊直線求出兩個特殊的圓，鎖定定點位置.

變式五過直線l：x=4上一點S引橢圓C的兩條切線，切點分別是A，B.是否存在常數λ，使得AF2+BF2=λAF2·BF2恒成立？若存在，求出λ的值;若不存在，說明理由.

解法一當點S的坐標為（4，0）時，易知兩條切線分別為x4+y2=1，x4-y2=1，切點分別為A1，32，B1，-32，

則有AF2=32，BF2=32，由AF2+BF2=λAF2·BF2，解得λ=43.

破解技巧：利用切線尋找點A，B的坐標.

解法二過直線l：x=4上一點S引橢圓的兩條切線，由極限思想可知當兩條切線斜率均不存在時，切點分別是A（-2，0），B（2，0），則AF2=3，BF2=1，由AF2+BF2=λAF2·BF2，解得λ=43.

破解技巧：利用極限法尋找點A，B的坐標.

變式六設M，N是橢圓C上任意兩點，其中A1（-2，0），且A1M-A1N=A1M+A1N，則直線MN是否恒過某定點？若是，求出定點坐標;否則，說明理由.

解由A1M-A1N=A1M+A1N知A1M⊥A1N，不妨設直線A1M的斜率為1，則直線A1M的方程為y=x+2，代入x24+y23=1得7x2+16x+4=0，由韋達定理得x1x2=47，解得xM=-27，由對稱性可得xN=-27，直線MN的方程為x=-27，由對稱性可得恒過定點的坐標為-27，0.

破解技巧：逆向思維設直線方程，尋找點M，N坐標.

本文從一道典型例題入手，通過對四個相應變式的探究，解決了定點、定直線、定值等問題，實用性很強，同時把數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象等數學核心素養融入此類題型之中，提升了學生的思維能力、想象能力和創新能力，先從一般到特殊，再從特殊中發現一般規律，從而做到避繁就簡.嘗試之后，你就會發現自己的解題能力明顯增加.

【參考文獻】

[1]陳偉平.解析幾何：培養數學運算能力的有效途徑[J].數學學習與研究，2020（02）：140-141.