基于SOLO分類理論，探析高三數學概念復習的學習進階路徑*

劉綠芹 (江蘇省鹽城市教師發展學院 224000)

高三數學的教學過程中，往往忽視概念復習，以致部分學生對概念的理解還停留于高一高二時的狀態． 高考試卷中的大部分問題都需要學生對概念的理解達到一定的層次，不同難度的問題需要不同的概念理解水平，這就需要學生通過復習，將概念的理解水平提升到更高層次． 本文將基于SOLO分類理論，結合學習進階理念，以函數為例，構建高三數學概念復習的學習進階路徑，并提出教學建議．

1 核心概念的概述

1.1 SOLO分類理論

SOLO分類理論是比格斯在皮亞杰認知發展階段論的基礎上提出的一種學生學業評價方法． “SOLO”是英文“Strucre of the Observed Learning Outcome”的縮寫，其意為可觀察的學習結果的結構． 該理論是一種以等級描述為特征的質性評價方法．[1]比格斯認為，任何學習結果的數量和質量都是從具體到抽象，從單維到多維，從無序到有序． 他把學生對某個問題的學習結果和思維水平由低到高劃分為5個層次：前結構水平、單一結構水平、多元結構水平、關聯結構水平、擴展抽象水平．

1.2 學習進階理念

美國國家研究委員會(National Research Council，NRC)2005年的報告《國家科學評價體系》，鮮明地提出了學習進階理念，其認為學習進階是“促進課程標準、課堂教學與考試評價三者一致性的有效工具[2]”，包含五個要素：進階終點、進階變量、進階層級、學習表現、評價．

學習進階理念認為，學習是一個逐漸累積、不斷演進的過程，學生對某一內容主題的理解存在多個不同的中間水平[3]． 規劃合理的學習進階過程可作為課程的框架，為課程目標的達成提供進階導航圖，同時，通過及時合理的測量跟蹤學生的進階情況[4]．

1.3 相互關系

實現概念的學習進階，需要解決的主要問題是如何劃分和評價學生的理解水平，即如何測量學生是否達到了進階水平． SOLO分類理論是一種方法論，正好能夠解決該問題，它能夠劃分概念學習的階段，明晰進階路徑和發展目標，相互關系如圖1． 在學習進階的過程中，SOLO分類理論能夠較為客觀地將學生的理解劃分為五個層次水平，跟蹤學生的進階情況，為學生學習進階提供“臺階”．

圖1 基于SOLO分類理論的學習進階路徑示意圖

2 高三概念復習的學習進階路徑——以函數復習為例

函數是數學核心概念中最重要的概念之一，是最基本的數學語言和工具，函數貫穿高中數學課程的始終． 《普通高中數學課程標準(2017版)》將函數的概念列為必修內容，由此可見其重要程度． 從教學實踐來看，(學生普遍反映)函數知識的跳躍性較大，銜接起來較為困難，每一次的“升級”都會使學生有脫節的感覺． 基于此，在高三函數概念復習的階段，應著重進階學習，將函數相關知識關聯起來，形成網格化的整體．

高三數學概念的復習不是簡單的知識重復，而是從核心概念逐步拓展與延伸，不斷進階，最終達到課程標準、高考說明中所提的要求． 實現學習進階的基本路徑為：跳出前結構水平——重視單一結構水平——延伸多元結構水平——提升關聯水平——達到擴展抽象水平． 下面以函數概念的復習為例，探析學習進階的具體路徑(表1)．

表1 高三函數概念復習的學習進階

2.1 跳出前結構水平

前結構水平的特征表現為：對相關問題沒有認知． 跳出該認知水平是開展高三數學復習的前提． 在高三的教學實踐中，我們會發現部分學生對高中階段的函數概念幾乎一無所知，依然停留在初中階段的“變量說”，即如果一個變化過程中有兩個變量x和y，對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應，那么稱y為x的函數． 盡管這部分學生對函數有了一定的認知，如若在高一年級階段，可以將其認知水平歸類為單一結構水平，但鑒于高三概念的復習，則應將該認知水平歸類為前結構水平．

2.2 重視單一結構水平

單一結構水平的特征表現為：只有單一的解決問題思路． 單一結構水平是開展高三數學復習的基礎，是學習進階的起點． 在初學函數概念時，一般是在“變量說”的基礎上，引出“對應關系說”． 即，一般地，設A,B是兩個非空的數集，如果按某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應，那么這樣的對應叫做A到B的一個函數． 在高三概念的復習中，要能夠在變量說的基礎上，深刻理解初、高中階段函數概念的區別，認識到“高中階段是用集合語言和對應關系來刻畫函數”，達到此類認知水平可歸類為單一結構水平．

2.3 延伸多元結構水平

多元結構水平的特征表現為：擁有多個解決問題的思路，但不能融合這些思路. 多元結構水平的延伸有助于連點成線、成網． 在高三概念的復習過程中，要深刻分析概念的內涵和外延． 例如，在函數概念中，內涵內容主要包括定義域、值域及表示方法(圖像法、列表法和解析法)等內容． 在此基礎上外延出去，展開函數的基本性質復習，包括函數單調性、最值、奇偶性、周期性等等． 基本掌握這些內容后可以將該認知水平歸類為多元結構水平．

2.4 提升關聯結構水平

關聯結構水平的特征表現為：能夠將多種解決問題的思路結合起來進行綜合考慮． 關聯結構水平的目的是連點成線，結成網，該水平的提升能夠促進綜合問題的解決． 在復習了函數的概念和性質后，概念的復習應進入關聯階段，即研究基本初等函數(常數函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數)就有了方向，即從定義域、值域、解析式、圖像、單調性、奇偶性、周期性等角度開展基本初等函數的關聯研究，同時，還能進行基本初等函數的簡單復合嘗試與研究． 此類認知水平可歸類為關聯結構水平． 提升關聯結構水平能夠切實提高高三數學復習效率和學業成績．

2.5 達到擴展抽象水平

擴展抽象水平的特征表現為：能夠對相關問題進行抽象、拓展，并能夠站在理論高度進行問題的分析與解決． 擴展抽象水平是學習進階的終點，對學生的抽象思維能力要求較高． 在高三函數復習的過程中，要跳出單一模塊化思維． 高中階段顯著涉及函數的內容還有數列、導數，這兩項內容被《普通高中數學課程標準(2017年版)》列為“選擇性必修”(注：必修和選擇性必修均為高考內容)． 數列作為一種特殊的函數，是高考中的核心知識點之一，其中等差數列、等比數列的考查要求為C等次(最高要求等次)，在解決數列問題時，函數理念一直伴隨其中． 另外，導數也是研究函數的重要工具，它能夠定量地刻畫函數的局部變化，蘊含著微積分的思想，為學生將來開展高等數學的學習打下基礎．

3 建議與思考

3.1 對高三數學概念復習的教學建議

第一，要注重概念的發展研究． 數學概念的形成需要經歷一個發展過程，在不同的階段有著不同的理解要求和表達方式． 在概念的發展初期，表達形式可能較為淺顯、直觀；在中期，表達形式可能被進一步抽象、概括；在后期，表達形式可能最為完美、完善；在未來，表達形式還有可能進一步得到發展． 因此，在高三階段數學概念的復習教學過程中，特別需要強調概念的發展觀，要著重復習概念的來龍去脈，理清概念發展脈絡，特別是要讓學生理解“初期概念的局限性在哪”，“現在概念的優越性在哪”，“未來概念還可以向哪個方向發展”等等． 概念的初期及現在是高三復習的核心，未來概念的發展可以給學生做適當的引導，為學有余力的學生提供空間． 同時，在復習的過程中，應有意識地穿插思辨型習題，使學生加深對概念的理解．

第二，要注重概念的內涵挖掘． 每一個數學概念都有著豐富的內涵，有的是顯性的，有的是隱性的． 挖掘概念內涵是加深概念理解的必要手段，挖掘方法一般有兩種，一是充分性挖掘． 這是將概念中的充分性條件逐一找出，并對這些條件的各種變形進行總結和歸納，以便在高考中能夠認清問題的本質；二是必要性挖掘． 這是將概念的特點、性質及其邏輯方式等等變成自己解決問題的工具，并力爭做到舉一反三，觸類旁通．

第三，注重概念的外延拓展． 數學中的每一個概念都不是單獨存在的，它一定與某些數學概念相關聯． 概念的外延有兩種情形，一是在某些特定條件下，一些數學概念可以有多種解釋，比如數列在特定環境下就是函數，一些特定函數在某些情境下也可以看成數列． 二是看似不相關的概念在某種問題中可以互相融合，例如在立體幾何問題中存在三角函數關系． 現如今的高考數學試卷中已少有單獨考查某一個知識點的問題，大多數高考題往往是將多個知識點相關聯的綜合題． 因此，在概念復習過程中，我們要對數學概念進行適當的外延和拓展，試著將多種不同概念相互拓展延伸，提升解決數學問題的綜合能力．

3.2 對學習進階路徑的思考

基于SOLO分類理論的學習進階路徑設計是否合理，重點在于兩項內容．

第一，評價指標的設置是否合理． 學習進階的建立依賴于評價，因此，學習進階與評價之間有著天然的聯系[5]． 盡管SOLO分類理論已經將學生認知水平劃分為五個層次，但具體到某個概念、某個知識的理解水平劃分還需要教師對相關知識有較為深刻的認識． 同時，要求對數學課程標準、高考考試說明有較深的理解． 比如，復數知識在高考考試說明中屬于A級的內容，那么若將其定為擴展抽象水平則顯然不合適． 同時，設計評價指標還要結合學生的層次水平． 例如，在某些基礎較好的學生群體中，可以忽略前結構水平和單一結構水平的設計，著重設計后三個層次水平．

第二，進階策略是否符合學生認知． 不同層級水平的學生應該采用不同的進階策略，一般情況下不建議越級進階，循序漸進逐級提升是學習進階的重要原則． 在平時的教學過程中，“夾生飯”“吃不飽”現象就是因為教師的教學策略不符合學生認知水平，妄圖用一種教學策略解決所有層次學生的問題． 對基礎薄弱的學生，要著重跳出前結構水平，往單一結構水平上發展；對中等水平的學生，要注重延伸多元結構水平、提升關聯結構水平，達到高考要求；對頂尖水平的學生則要鼓勵其達到擴展抽象水平，使其在數學上得到更高的發展，實現“不同的人在數學上得到不同的發展[6]”這一目標．