幾類變系數二階線性微分方程的通解

倪 華， 張劍梅, 張麗薇

(1. 江蘇大學 >理學院，江蘇 >鎮江212013； 2. 蘇州文昌實驗中學校，江蘇 >蘇州215151)

1 引 言

二階線性微分方程

x″+p(t)x′+q(t)x=0

(1)

在工程、彈性力學、電學和振動等問題中經常遇到，由于其重要性，學者們對(1)的研究從未停止,尤其是對其通解和穩定性的研究[1-6].

變量代換法在微分方程的求解中起著重要作用，文[7-9]利用變量代換法得到幾類二階線性微分方程的通解.本文則利用不同于上文的變量代換法，將二階線性微分方程降階，轉化為可積的一階微分方程，從而得到二階線性微分方程的通解，豐富了二階線性微分方程的可積類型.

2 主要結論

證令x=eu, 則(1)化為

u″+u′2+p(t)u′+q(t)=0.

(2)

令y=u′, 則(2)變成

(3)

由定理條件，(3)可化為

(4)

定理2考慮(1)，p(t)是I上的連續可微函數，如果q(t)=p′(t)，則(1)的通解為

證令x=eu，則(1)化為

u″+u′2+p(t)u′+q(t)=0.

(5)

令y=u′，則(5)變成

(6)

由定理條件，(6)變為

(7)

令y+p(t)=z，則(7)成為

(8)

(8)是伯努利方程，它的通解為

且z(t)=0是(8)的平凡解.由y+p(t)=z，可得

且y=-p(t)是(6)的一個特解.

由y=u′，可得

由x=eu，可得(1)的通解為

定理3考慮(1)，p(t),q1(t)是某區間I上的連續可微函數，假設下列條件成立：

(i)p2(t)-4q1(t)>0,

(iii)q(t)=q1(t)+q2(t)，

則(1)的通解為

證令x=eu，則(1)變為

u″+u′2+p(t)u′+q(t)=0.

(9)

令y=u′，則(9)變成

(10)

由(i)和(iii)，(10)變為

=-y2-p(t)y-q1(t)-q2(t)

(11)

由(ii)，(11)變為

(12)

令

(13)

則(12)變為

(14)

(14)是伯努利方程，其通解為

且z=0是(14)的一個平凡解.由(13)，可得

由y=u′，可得

由x=eu，可得(1)的通解為

定理4考慮(1)，p(t),q1(t)是某區間I上的連續可微函數，假設下列條件成立

(i)p2(t)-4q1(t)>0，

(iii)q(t)=q1(t)+q2(t)，

其一，創新教育模式。應采用“以教師為主導、以學生為主體”的開放性教育模式，突出學生的主體性。可通過實施小班教學、分層教學，探索實施翻轉課堂，讓學生參與到課堂上來，與老師同學相互交流、探討，實現信息的多向流轉與深層互動，以充分調動學生學習的積極性和創造性。

則(1)的通解為

證令x=eu，則(1)變為

u″+u′2+p(t)u′+q(t)=0.

(15)

令y=u′，則方程(15)變成

(16)

由(i)和(iii), (16)變為

(17)

由(ii)，(17)變為

(18)

令

(19)

則(18)變為

(20)

(20)是伯努利方程，其通解為

z=0是(20)的一個平凡解. 由(19)，可得

由y=u′，可得

由x=eu，可得(1)的通解為

3 應用實例

例1求下列微分方程

(21)

的通解.

例2求下列微分方程

(22)

的通解.

解這里，p(t)=cost,q(t)=-sint,方程(22)滿足定理2的條件，所以方程(22)的通解為

且x(t)=e-sint是(22)的一個特解.

例3求下列微分方程

(23)

的通解.

解這里，p(t)=4+2sint,q1(t)=4sint+sin2t,q2(t)=cost，方程(23)滿足定理3的所有條件，所以方程(23)的通解為

且x(t)=e-4t+cost是(23)的一個特解.

例4求下列微分方程

(24)

的通解.

3 結 論

二階常系數線性微分方程的求解理論，目前已經比較完善.然而對于二階變系數線性微分方程，其求解問題則還遠遠沒有解決.本文利用變量代換x=eu將四類二階線性微分方程轉化為可求出通解的一階微分方程，從而求出二階線性微分方程的通解，豐富了二階線性微分方程的可積類型，具有一定的應用價值.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.