函數兩種凸性定義等價性的今惑前世之初探

全 然

(河南工業大學理學院，鄭州450001)

1 引 言

同濟大學數學系編的高等數學是國內大部分理工科非數學本科專業采用的經典教材[1]，華東師范大學數學科學學院編的數學分析是國內大部分數學本科專業采用的經典教材[2]，兩套教材都對函數的凸性進行了定義.文獻[1]基于區間上任意兩點的中點來定義函數的凸性，即所謂中點凸，而文獻[2]則是基于任意兩點的凸組合來定義函數的凸性.筆者在講授高等數學[1]時，一直認為兩種定義是等價的，但并沒有去深究在什么條件下等價，為什么等價.

近來，筆者想探究這兩種凸性定義是否等價的愿望愈發強烈，于是對兩種凸性的定義進行了認真研究.為了討論方便，如果沒有特別指明，下文所述區間I既可以是閉區間也可以是開區間，區間I0表示去掉區間I的端點后形成的開區間，如果I是開區間，則I0=I.研究發現，詹森(Jensen)最早定義了函數的凸性并對其進行了系統研究[3-8]，該定義具體如下.

定義1[3-8]設函數f(x)在區間I上有定義，如果對I上任意兩點x1,x2恒有

(1)

則稱f(x)在區間I上是J凸的，或者稱f(x)在區間I上是J凸函數.

文獻[2]中凸性定義是國內外大多數文獻所采用的定義[2,5-9]，具體如下.

定義2[2]設f(x)在區間I上有定義，如果對I上任意兩點x1,x2和任意實數λ∈(0,1)恒有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),

(2)

則稱f(x)在區間I上是凸的，或者稱f(x)在區間I上是凸函數.

從表面形式上看，以上兩種定義并不一樣.而且易知凸函數一定是J凸函數，反之未必成立.通過進一步探究高等數學和數學分析教材[1]、[2]、[10-12]發現:

(i) 文獻[1]和[10]的凸性定義類似定義1，利用式(1)進行定義，而文獻[2]、[11]和[12]的凸性定義類似定義2，利用式(2)進行定義；

(ii) 文獻[1]和[12]要求函數具有連續性，而文獻[2]、[10]和[11]則沒有連續性的要求.

所以筆者的“今惑”是：

(i) 定義1和定義2這兩種凸性定義是否等價，為什么？

(ii) 在什么條件下這兩種凸性定義等價？

本文基于筆者自己的“今惑”和相關參考文獻，研究梳理這兩種凸性定義的“前世”：

(i) 兩種凸性定義的早期發展歷史；

(ii) 兩種凸性定義的性質以及它們等價需要的條件.

自從函數凸性在19世紀末20世紀初被提出并定義之后[3-8]，便得到了廣泛研究[13-27]，時至今日，函數凸性的定義更是達到了十幾種之多[16-18]，定義1和定義2這兩種凸性定義的等價性也是許多文獻研究的重要內容.一方面，由于開區間上的凸函數連續，而開區間上的J凸函數不一定連續[5,28]，這意味著函數兩種凸性定義并不等價.另一方面，易知滿足定義1的函數不一定滿足定義2，但滿足定義2的函數一定滿足定義1.這意味著滿足定義1的函數即J凸函數更廣泛，所需條件更弱.所以主要是在定義1上增加條件，進而討論證明定義1和定義2這兩種凸性定義等價.這些增加的條件大致可以分為四類：第一類，函數具有連續性；第二類，函數具有可微性；第三類，函數具有半連續性，包括上半連續和下半連續；第四類，函數具有有界性.由定義2可以證明凸函數在開區間內連續[2]，又由于連續性是許多函數都具有的一個基本性質，所以大多數文獻都是直接或間接利用函數的連續性[5-8]，[16-21]來討論證明兩種凸性定義的等價性.文獻[16]以及[19-21]又進一步基于函數的可微性來討論證明兩種凸性定義的等價性；文獻[22-25]是在半連續條件下討論證明兩種凸性定義的等價性；文獻[7]、[17-19]則是在有界性條件下討論證明兩種凸性定義的等價性.當然，相當多的文獻同時討論了多種凸性定義的等價性，而且往往是采用循環的方式進行證明，如文獻[16-18]和[21]分別討論了十三種、八種、十七種和四種凸性定義的等價性.

下文將通過研究梳理函數兩種凸性定義的前世，即(i)兩種凸性定義的早期發展歷史；(ii)兩種凸性定義的性質以及它們等價需要的條件，以釋筆者的今惑，即(i)兩種凸性定義是否等價，為什么？(ii)在什么條件下這兩種凸性定義等價？

2 凸性定義的早期發展歷史

盡管H?lder、Stolz和Hadamard分別于1889年、1893年和1896年(早于詹森)已經研究了函數的凸性[5，8]，但大部分學者認為是詹森在1905和1906年首先定義了函數的凸性，即定義1，并對函數凸性進行了系統的研究，詹森還證明了下面的結論1[3-8].

結論1[3-4]若f(x)為區間I上的J凸函數，則對于任意點x1,…,xn∈I以及任意滿足λ1+…+λn=1的非負有理數λ1,…,λn，有

(3)

結論1的證明可參見文獻[6]和[8].需要指出的是，人們隨后將式(3)推廣為式(2)來定義函數凸性[26-27]，即定義2，又進一步把結論1推廣為如下結論.

結論2[6](i) 函數f(x)為區間I上J凸函數的充要條件是式(3)對于任意點x1,…,xn∈I以及任意滿足λ1+…+λn=1的非負有理數λ1,…,λn均成立；

(ii)f(x)為I上凸函數的充要條件是式(3)對于任意點x1,…,xn∈I以及滿足λ1+…+λn=1的任意非負實數λ1,…,λn均成立.

結論2的證明詳見文獻[6].需要說明的是，結論2的第一部分是一個充要條件，給出了J凸函數的一個等價命題，而結論1只是J凸函數的一個必要條件，結論2更強；同時，結論2還給出了凸函數的一個等價形式，甚至有學者把這個等價形式作為凸函數的定義[6，16，18].有人將式(3)稱為詹森不等式[5-6]，也有人將式(1)-(3)均稱為詹森不等式[26-27].

3 兩種凸性定義的性質

下面討論兩種凸性定義的相關性質.

3.1 凸函數與連續性

首先討論凸函數與連續的關系.

結論3(i) 若函數f(x)為區間I上的J凸函數，則其在區間I的內部I0內不一定連續；

(ii) 若函數f(x)為區間I上的凸函數，則其在I0內連續.

需要說明的是，第一，文獻[28]構造了一類J凸函數，并證明其在I0內不連續；第二，結論3中第二個結論的證明方法比較多，文獻[2]通過一個例題證明了凸函數在I0內任一點處的左、右導數均存在，從而得到函數的連續性，文獻[6]中第4頁給出了一種基于利普希茨連續的證明方法來證明函數的連續性，其他證明方法這里就不再一一列舉；第三，閉區間上的凸函數不一定連續，如

雖然該函數在區間[-1,1]上是凸的，但在該區間上不連續.

下面結論4是由詹森首先給出并證明[3-4]，說明J凸函數在比較弱的條件下也具有連續性.

結論4若函數f(x)在開區間I內為J凸函數且有上界，則f(x)在I內連續.

Bernstein和Doetsch于1915年在更弱的條件下，證明了J凸函數的連續性[29]，即下面的結論5.

結論5若f(x)在開區間I內為J凸函數且在I內某一點的鄰域內有上界，則其在I內連續.

結論5的詳細證明可參見文獻[6]和[7].結論3～5給出了一定條件下(J)凸函數具有連續性，其實在連續的條件下，兩種凸性定義等價，具體見下面結論6和結論7.

結論6[20]若函數f(x)在區間I上連續，則定義1與定義2等價，即兩種凸性定義等價.

結論7[19]f(x)在區間I上為凸函數的充要條件是f(x)在I上為J凸函數且在I0內連續.

結論6和結論7的證明分別詳見文獻[20]和[19]，兩個結論的實質是J凸函數在增加連續性的條件下和凸函數等價.其實，連續并不是一個很強的條件，包括初等函數在內的許多函數都具有連續性.結論6和結論7表明：

結論8若函數f(x)在區間I上連續，則兩種凸性定義等價.

3.2 凸函數與可微性

接下來將討論凸函數與可微的關系.由結論3的第一個結論易知，J凸函數在開區間I內的左導數或右導數可能不存在，這說明J凸函數的可導性可能較差，但凸函數的可導性相對較好，具體見下面的結論9和結論10.

結論9[6,20]設函數f(x)為區間I上的凸函數，則對于?x∈I0，左右導數f′-(x)，f′+(x)都存在，且f′-(x)，f′+(x)均為增函數，f′-(x)≤f′+(x),?x∈I0.

結論10[6]設f(x)為開區間I上的凸函數，集合E為f(x)的不可導點構成的集合，則E是可數的，且f′(x)在IE上連續.

結論9的證明詳見文獻[6]和[20]，結論10的證明詳見文獻[6].需要說明的是，Stolz在1893年已經證明[8]，如果f(x)在區間I上連續且滿足式(1)，則其在I的任一內點處的左右導數都存在.這是必然的結果.這是因為，若f(x)在區間I上連續且滿足式(1)，則說明f(x)為區間I上連續的J凸函數，從而由結論7可知f(x)為區間I上的凸函數，進一步由結論9可知f(x)在I0內的左右導數都存在.

在函數可導的條件下，可得到如下判斷函數是否為凸函數的兩個結論.

結論11[20](i)若f(x)在區間I上可導，則f(x)為I上凸函數的充要條件是f′(x)在I上單調遞增；

(ii) 若f(x)在I上二階可導，則f(x)為I上凸函數的充要條件是f″(x)≥0.

結論12若函數f(x)在區間I上可導，則定義1與定義2等價，即兩種凸性定義等價.

結論11的證明詳見文獻[20].也可以這樣理解結論12，如果函數f(x)在區間I上可導，則f(x)在區間I上連續，故由結論8可知，兩種凸性定義等價，故結論12正確.

3.3 凸函數與半連續性

前面討論了在連續或可微的條件下，兩種凸性定義等價，下面結論說明在更弱的半連續條件下兩種凸性定義也等價.

結論13[22-24]若函數f(x)是區間I上的上半連續函數，則兩種凸性定義等價.

結論14[22-24]若函數f(x)是區間I上的下半連續函數，則兩種凸性定義等價.

結論15[22-24]函數f(x)是區間I上凸函數的充要條件是f(x)既是I上的J凸函數又是I上的上半連續函數.

結論13～15的證明詳見文獻[22-24].正如文獻[24]所述，由結論14可知，如果f(x)在區間I下半連續且在I上是J凸函數，則f(x)在I上一定是凸函數，從而由結論15可知f(x)在I上為上半連續函數，所以f(x)是I上的連續函數.因此結論14中的下半連續函數這一等價前提條件可以改為連續函數，二者是一回事.將結論13和14合二為一，即為

結論16若函數f(x)是區間I上的上半連續函數或下半連續函數，則兩種凸性定義等價.

3.4 凸函數與有界性

最后討論凸函數與有界的關系，具體見下面的三個結論.

結論17[19]若函數f(x)是區間I上的凸函數，則f(x)在I的任一閉子區間上有界.

結論18[19]函數f(x)是區間I上凸函數的充要條件是f(x)既是I上的J凸函數又在I的任一閉子區間上有上界.

結論19若函數f(x)在區間I的某一子區間上有上界，則兩種凸性定義等價.

結論17和18的證明詳見文獻[19].對于結論19，由前面結論5可知，如果J凸函數f(x)在區間I的某一子區間上有上界，則f(x)在I0內連續，從而由結論7可知f(x)是I上的凸函數，故結論19正確.

4 結 論

本文系統、全面、深入總結了兩種凸性定義的早期發展歷史及已有的一些研究成果；期望幫助對兩種凸性定義等價性了解不深入的高校教師及相關人員更好的了解兩種凸性定義的早期發展歷史；把握凸函數的連續性、可微性、半連續性和有界性以及在連續、可微、半連續和有界等任一條件下兩種凸性定義等價性.

致謝作者非常感謝相關參考文獻給予本文的啟示以及審稿專家提出的寶貴意見.