《數(shù)學物理方法》課程教改的探索與實踐

楊 明， 王小六

(東南大學 >數(shù)學學院，南京210096)

1 引 言

數(shù)學物理方法在現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展中占據(jù)重要地位. 牛頓、萊布尼茨在17世紀后葉發(fā)明微積分是數(shù)學發(fā)展到現(xiàn)代數(shù)學階段的重要標志，此后現(xiàn)代數(shù)學在分析、代數(shù)、幾何等各個方向上快速發(fā)展，現(xiàn)代數(shù)學的快速發(fā)展為人類的科學技術進步打下了堅實的基礎，促成了第一次工業(yè)革命和第二次工業(yè)革命. 伴隨著工業(yè)的大發(fā)展，人類遇到了很多自然現(xiàn)象需要用數(shù)學工具給出精確的科學解釋，比如：熱的擴散、波的傳播、流體的運動等等. 法國數(shù)學家達朗貝爾在18世紀中葉提出弦振動方程標志著數(shù)學物理方法(偏微分方程)的誕生，至今已有兩百多年的發(fā)展歷史. 我們這里所探討的數(shù)學物理方法主要是指偏微分方程從18世紀中葉到19世紀末的發(fā)展歷史，這個階段主要研究方程顯式解的求解方法，而進入20世紀后數(shù)學物理方法進入了新的發(fā)展階段，隨著研究對象的復雜化，不再以研究顯式解的求解方法為主，而是更加注重研究解的定性性質(zhì)以及解的數(shù)值計算方法. 國際上與國內(nèi)數(shù)學物理方法類似的課程一般稱為偏微分方程，諸如布朗大學W.A.Strauss教授的偏微分方程引論課程. 也有一些大學將此課程的主要內(nèi)容放入其他課程之中，比如斯坦福大學B.Osgood教授的傅里葉分析及其應用. 國際上對這門課相當重視，教材與現(xiàn)代數(shù)學緊密結合且內(nèi)容豐富. 在信息化和全球化時代，面對全球科學技術的競爭，我國提出了發(fā)展高等教育的“雙一流”戰(zhàn)略決策. 建設一流大學和一流學科，推進我國科學技術的快速發(fā)展，對于理工科學生在數(shù)學基礎和數(shù)學素養(yǎng)方面的要求越來越高. 從數(shù)學物理方法的發(fā)展歷程可以看到數(shù)學物理方法課程綜合應用了各個數(shù)學分支的內(nèi)容，是提升理工科本科學生應用數(shù)學能力的重要基礎課程. 國內(nèi)早年學習蘇聯(lián)模式，數(shù)學物理方法一般分為物理類和工科類，經(jīng)過幾十年的教學建設和教學改革，教材經(jīng)過多次迭代改進，影響比較大的有南京大學、北京大學、武漢大學、中國科技大學、東南大學、電子科技大學等的教材. 數(shù)學物理方法課程改革的核心是教學內(nèi)容的改進. 隨著時代進步，結合我校實際情況，并參考兄弟院校的教學成果[1-3]，總結出教學內(nèi)容改進的主要方向有：大學數(shù)學體系中多課程內(nèi)容的自洽、融合現(xiàn)代數(shù)學思想對課程的深入理解以及內(nèi)容安排上滿足學生的認知規(guī)律. 以這三個方向作為教改的創(chuàng)新點，本文以課程作用、課程安排以及教學內(nèi)容的梳理改進為主線，介紹我校數(shù)學物理方法課程教改的探索與實踐.

2 探索與實踐

2.1 課程作用及其安排

大學課程體系中的數(shù)學物理方法主要是指線性偏微分方程的求解方法，當然從廣義的角度來看，數(shù)學物理方法還應該包括非線性偏微分方程、積分方程以及積分微分方程的內(nèi)容. 數(shù)學物理方法課程綜合應用了各個數(shù)學分支的內(nèi)容，它的前修課程包括：一元函數(shù)微積分，多元函數(shù)微積分，傅立葉級數(shù)，常微分方程，復變函數(shù)和線性代數(shù). 一般在國內(nèi)理工科高校，物理專業(yè)的數(shù)學物理方法由物理學院開設，而面上的其它專業(yè)的數(shù)學物理方法課程由數(shù)學學院開設. 在我校經(jīng)過課程優(yōu)化，復變函數(shù)作為一門32課時的課程在大二上學期開設，而數(shù)學物理方法作為48學時的課程在大二下學期單獨開設. 數(shù)學物理方法對物理類的各門課程均有重要作用，同時也是工科類的電磁場與電磁波，信號處理等課程的重要基礎. 在我校一般還會設有計算方法和數(shù)學建模課程，數(shù)學物理方法也能為這些數(shù)學課程提供模型素材和數(shù)學工具. 更進一步，在理工科的研究生階段將要學習泛函分析、數(shù)值分析和高等數(shù)理統(tǒng)計，這三門課會涉及大量的現(xiàn)代數(shù)學概念，比如：廣義函數(shù)、函數(shù)空間、算子理論等等，在數(shù)學物理方法課程中正好涉及適當?shù)膬?nèi)容，能夠給學生建立這些抽象數(shù)學概念的感性認知，從而構建起經(jīng)典數(shù)學到現(xiàn)代數(shù)學的知識橋梁. 如果沒有這個橋梁，沒有對這些內(nèi)容充分的感性認知，同學們就會對這些十分抽象的現(xiàn)代數(shù)學概念感到迷惑，很難對其熟練掌握和建立深刻的認識. 根據(jù)教學實踐，發(fā)現(xiàn)引入這樣的內(nèi)容到課程中是有益的，這些內(nèi)容包括：引入線性算子的概念定義線性方程并給出線性疊加原理，雙曲型線性算子的因式分解，在平方可積空間中建立傅立葉級數(shù)的收斂性，自共軛算子形式及其特征值理論，狄拉克函數(shù)及其相關的廣義函數(shù)以及它們的傅立葉變換等等.

在我校有通信工程、電子工程、生物醫(yī)學、土木力學和物理學這五個專業(yè)學習數(shù)學物理方法這門課程. 不同專業(yè)的學生對數(shù)學物理方法的需求是不同的，不同之處主要體現(xiàn)在內(nèi)容的廣度和深度兩方面，這些都需要任課教師靈活把握教學內(nèi)容的廣度和深度. 對于通信工程和電子工程專業(yè)的學生來說，教師可以對傅立葉級數(shù)和傅立葉變換的內(nèi)容做更加細致的分析，這樣有利于他們后續(xù)信號處理等課程的學習，也可以對赫姆霍茨方程和麥克斯韋方程組的求解做適當?shù)慕榻B，這些對他們學習電磁場和電磁波有很大幫助. 對于物理學專業(yè)來說，可以加入用傅立葉變換求解量子力學中薛定諤方程初值問題以及薛定諤穩(wěn)態(tài)方程特征值問題. 對于力學專業(yè)來說，可以加入用分離變量法討論橫梁的振動問題，而在平方可積空間里討論傅立葉級數(shù)的收斂性等相關內(nèi)容則可以相對簡化，只要求他們了解一些基本結論即可. 另外根據(jù)專業(yè)需求也可以穿插一些借助數(shù)學軟件研究數(shù)學物理方法的內(nèi)容.

2.2 核心內(nèi)容的知識框架

在數(shù)學物理方法的教學中涉及到內(nèi)容比較龐雜，不容易抓住主線，經(jīng)過我校數(shù)學物理方法教學團隊多年的教學實踐，漸漸摸索出一個比較適合學生認知規(guī)律的內(nèi)容安排，即從建立典型方程的定解問題出發(fā)，分別介紹傅立葉級數(shù)方法，積分變換方法，波方程初值問題的特征線法球面平均法和降維法，格林函數(shù)法，最后是特殊函數(shù)及其應用[4-6].

根據(jù)所用的數(shù)學工具將這些求解方法總結為如下四個核心的內(nèi)容框架：

(i) 微積分方法，即一階線性偏微分方程的特征線法到二階雙曲型方程的特征線法，以及更復雜的三維波方程初值問題的球面平均法和二維波方程初值問題的降維法；

(ii) 廣義傅立葉級數(shù)方法，即從分離變量法[7]，特征函數(shù)展開，到貝塞爾級數(shù)和勒讓德級數(shù)展開，以及更復雜的球面調(diào)和函數(shù)展開；

(iii) 積分變換法，即從傅立葉變換法[8]，拉普拉斯變換法到更一般的積分變換法；

(iv) 格林函數(shù)法，即從基本解概念，到位勢方程格林函數(shù)法與發(fā)展方程的格林函數(shù)法.

有不少優(yōu)秀的教材采用上面內(nèi)容框架來展開其教學內(nèi)容[9-10]，由于教學對象的差異，我們的教學內(nèi)容做了以下兩處處理. 在第一章里會將一階線性偏微分方程的特征線法作為一個最簡單的方法引入，讓學生建立求解偏微分方程的初步認識. 此時如果將難度較大的球面平均法和降維法引入，雖然都是微積分方法，但是由于后者包括了一些復雜的運算技巧，反而不利于學生掌握. 因而遵循從簡單到復雜的認知規(guī)律，將二階雙曲型方程的特征線法和球面平均法以及降維法放在第四章里，等學生對偏微分方程的求解有了一定的了解的基礎上再進行講解. 在第二章里主要講解了分離變量法和特征函數(shù)展開法求解一維定解問題，并對簡單的高維問題做了一些嘗試和鋪墊，對于相對復雜的區(qū)域上的問題留到最后一章，利用特殊函數(shù)來仔細研究. 由于特殊函數(shù)內(nèi)容復雜且難度較大，在教學安排時，注重從物理模型出發(fā)來理解特殊函數(shù)，讓學生理解特殊函數(shù)的應用場景，比如從鼓面振動問題導出貝塞爾方程，從圓外的赫姆霍茨方程結合輻射條件導出漢克函數(shù)等等.

學生學習知識的過程一般可以分為大致初通、細節(jié)精通和融會貫通三個階段. 如何讓學生對核心知識能做到融會貫通對教師的教學設計提出了很高的要求. 一般通過設計需要多個知識點的綜合性習題和教材相關的拓展研究來幫學生深刻理解各個知識點及其聯(lián)系，了解各種數(shù)學工具的優(yōu)缺點，對不同問題用多種方法求解最后再比較得出最優(yōu)的方法. 當然融會貫通是學習的最高境界，希望通過教學內(nèi)容改革能讓優(yōu)秀的學生能達到這些要求. 這里以格林函數(shù)法這部分內(nèi)容來做說明. 格林函數(shù)的思想起源于基本解，掌握位勢方程的格林函數(shù)法最關鍵的就是學會運用第二格林公式分析格林函數(shù)的所需滿足的條件，而求解格林函數(shù)的方法有鏡像電荷法、積分變換法和特征函數(shù)展開法，不同方法的運算量有區(qū)別，得到解的形式有差別，但可以化為同一形式，這里掌握的重點是鏡像電荷法. 另外這三種方法都對區(qū)域有很高的要求，對于一般區(qū)域只能借助數(shù)值方法. 位勢方程的格林函數(shù)法也可以推廣到赫姆霍茨方程、熱方程以及波方程等等. 最后對于學習能力突出的學生也可以由基本解拓展到單層位勢、雙層位勢導出位勢方程的積分方程方法.

2.3 思政內(nèi)容在課程中的體現(xiàn)

我國高等教育的目的是為了培養(yǎng)出高水平的人才，并讓這些人才為我國的社會主義建設做出應有的貢獻. 結合數(shù)學物理方法的教學，談三點認識. 其一，在數(shù)學物理方法發(fā)展過程中有很多數(shù)學家出生貧寒，通過不斷學習進步刻苦研究，最后做出了偉大的貢獻，在教學過程中穿插這些事例，讓同學們向這些偉大的數(shù)學家學習其不畏困難追求真理的精神. 其二，在學習這門課的過程中，可以培養(yǎng)學生樹立起唯物主義的科學觀，正如傅立葉所說，“對自然界的深刻研究是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的最富饒的源泉”. 其三，我國由于各種原因在近代發(fā)展落后，飽受列強欺負，在數(shù)學物理中的貢獻很少，但是新中國建立以后，我們獲得民族獨立，各項事業(yè)迅速發(fā)展，在數(shù)學物理方法的新發(fā)展中做出了重要貢獻. 比如數(shù)學家馮康在1965年獨立發(fā)明了有限元方法，有限元方法是現(xiàn)代求解偏微分方程的主要數(shù)值方法，對數(shù)學物理中的各項研究起到了巨大的作用. 國內(nèi)數(shù)學家在數(shù)學物理方法方面的貢獻還有很多，再比如：李大潛院士為解決石油勘探而提出的“電阻率法測井的數(shù)學模型與方法”，周毓麟院士對核武器設計原理中的數(shù)學物理理論的貢獻以及彭實戈院士創(chuàng)立“倒向隨機微分方程”理論解決金融風險問題等等.

2.4 教學改革的效果

表1 課程考核情況

上表是近年來我校學生數(shù)學物理方法課程考核的部分情況，從數(shù)據(jù)來看，均分和優(yōu)秀率穩(wěn)步提高. 在平時的教學討論中，老師和同學在教學群里各抒己見，思維碰撞的火花讓同學們的學習積極性不斷提升. 同學們對課程給出了積極的評價，比如：信息學院金文濤同學說，老師講課條理清晰，給予學生充分的學習自由度，及時全面準確的學習輔導給了他很大的幫助；信息學院劉星晨同學說，通過這門課程的學習，將偏微分方程的知識和電磁學的知識緊密聯(lián)系起來，對今后的學習大有裨益，老師講解具有啟發(fā)性，讓他對知識的理解深入透徹；電子學院張瀟雨同學說，領悟到用數(shù)學方法解決物理問題的奧妙，老師利用大量例子幫助學生們理解概念和解題方法，收獲頗豐. 在教學改革的十年間，使用過我校教學團隊所編寫的三套教材[4-6]. 這些教材融合了不同時期的教學改革成果，受到了師生們的認可，也取得了滿意的教學效果.

3 結 論

本文通過對數(shù)學物理方法歷史發(fā)展的回顧，闡明了其在大學課程體系中作用，并由此介紹了我校數(shù)學物理方法課程的設置情況. 著重從三個方面進行教學改革，即：大學數(shù)學體系中多課程內(nèi)容的自洽、融合現(xiàn)代數(shù)學思想對課程的深入理解以及內(nèi)容安排上滿足學生的認知規(guī)律. 具體來說:分析了課程體系中數(shù)學物理方法的作用，總結了數(shù)學物理方法內(nèi)容的知識框架以及在此教學框架下如何展開教學內(nèi)容，同時結合教學實踐給出了教學內(nèi)容的具體改進方案. 對于不同教學對象，對教學內(nèi)容做出適當取舍，并將思政內(nèi)容體現(xiàn)在教學過程當中. 最后結合學生考核和反饋的情況，呈現(xiàn)了教學改革的具體成效. 本文是對我校數(shù)學物理方法課程近年來教學改革的一次總結和思考，期冀對于“雙一流”背景下新工科課程群的建設有著一定的參考價值.

致謝衷心感謝審稿人對本文提出的寶貴意見和建議！