高中數學解題中構造函數的有效應用

許娟

摘 要：構造函數是解決高中數學問題的重要思路之一，是高考考查的重要知識點。構造函數建立在對數學問題深入理解的基礎上，對學生的綜合能力要求較高。為使學生掌握應用構造函數解決相關習題的思路與方法，使其樹立解題自信，應做好相關數學習題的歸類，展示構造函數在不同題型中的應用。

關鍵詞：高中數學;解題;構造函數;應用

從構造函數在高中數學解題中的應用來看，構造函數主要分為兩種類型：構造學習過的函數、構造陌生的函數。大多數習題需要構造出陌生的函數，而研究陌生函數的最常用工具是導數，因此，應用構造函數解題時應牢牢把握“構造”“求導”兩個重要環節。

一、用于比較大小

運用構造函數比較較為復雜式子的大小關系是近年來高考的重要題型之一。解答該類題型構造函數僅僅是最為基礎的環節。構造出函數后還需研究構造函數的單調性，通過比較函數的自變量大小得出最終的結果。

已知θ∈（0，），a=，b=c=，則a、b、c的大小關系為：__? ? ? ?___。

a、b、c表達式的格式較為一致。運用整體思想認真審視各表達式，找到其特征相同的部分，使用自變量x表示不難找到要構造的函數。構造出函數后，便將復雜的比較大小的問題轉化為比較自變量的問題。

構造函數f（x）=，觀察可知f（2-x）=f（x），函數f（x）的圖像關于x=1對稱;f'（x）=，當10，函數f（x）單調遞增，∴0

∵θ∈（0，），∴0b。由對稱性可知f（2cos2θ）f（sinθ），即，a>c，綜上可知b

二、用于求最值

求最值是高中數學較為常見的一類題型。根據經驗求最值需要應用函數的性質，因此解題分為兩步：（一）確定函數。根據題干創設的情境，明確函數是否是基本函數。如不是基本函數，及時構造出新的函數。（二）確定函數性質。求導后確定導函數在某個區間與零的大小關系，找到極值或最值。

已知函數f（x）=e3x-1，g（x）=+lnx，若f（m）=g（n），則n-m的最小值為_? ? ? ? ? ? ___。

分析該題可逆向推理。求“n-m的最小值”→確定n、m的表達式→構造函數→研究構造函數的單調性→計算出最小值。其中確定n、m的表達式需根據題意引入新的變量t，后續研究工作基于t的取值范圍。

根據題意，令f（m）=g（n）=t（t>0），則e3m-1=t，+lnn=t，lnn=t-。

∴3m-1=lnt，m=（lnt+1），n=，則n-m=-（lnt+1）

構造函數H（t）=-（lnt+1）（t>0），H'（t）=-·，容易得到H'（t）在（0，+∞）為增函數，且當t=時，H'（t）=0。

∴當0時，H'（t）>0，H（t）為增函數，即，t=時H（t）取得極小值也就是最小值，則H（）=-（lnt+1）=1-（ln+1）=，即，n-m的最小值為。

三、用于解不等式

解答抽象函數的不等式是高中數學的難點問題。解答該類問題有個統一的思路：確定函數的單調性，運用題干條件將具體的數值轉化函數的值，去掉函數的對應法則，運用不等式性質求解。其中確定函數的單調性有時需在構造函數的基礎上通過定義法、求導法等確定。將具體的值轉化為函數的值時應注重隱含條件的應用。

已知函數f（x）為奇函數，且0≤x1

題干中給出的函數為抽象函數。破題時對求解的問題進行變形，構造新的函數，借助已知條件確定其單調性。同時，注重R上的奇函數f（0）=0，這一隱含條件的應用。

∵x-3≤f（x）≤x，∴-3≤f（x）-x≤0，構造函數g（x）=f（x）-x

∵f（x）為奇函數，∴f（-x）=-f（x），∴g（-x）=f（-x）+x=--f（x）+x=-[f（x）-x]=-g（x），∴g（x）為R上的奇函數，則g（x）=0。

當0≤x1

∵f（-2）=1，∴g（-2）=f（-2）+2=3，∴-g（2）=3，則g（2）=-3，又∵g（0）=f（0）-0=0，∴-3≤f（x）-x≤0g（2）≤g（x）≤g（0），則2≤x≤0，∴不等式x-3≤f（x）≤x的解集為[0，2]。

四、用于求參數范圍

求解參數范圍的常規思路為分離參數。分離參數后往往會產生一個新的較為復雜的式子。構造函數后運用導數對其性質進行研究，在給定的取值范圍內確定其最值，問題也就不難解決。

已知不等式|mx3-lnx|≥1（m>0），對（0，1]恒成立，則實數m的取值范圍是__? ? ? ? ? ? ? __。

習題中的不等式帶有絕對值，去掉絕對值會形成兩個新的不等式，因此，需要分離參數，構造新的函數后，對其進行分類討論，舍去不滿足題意的參數。

∵|mx3-lnx|≥1，∴mx3-lnx≥1或mx3-lnx≤-1

當mx3-lnx≤-1時，即，m≤，而當x=1時，=0，因此，當m>0時對（0，1]不恒成立。接下來主要研究mx3-lnx≥1的情況，整理得到：m≥。

構造函數f（x）=，f'（x）==，令f'（x）>0，解得0

五、用于證明結論

研究陌生函數的性質時往往在求導后構造新的函數，方便對該新函數的性質繼續進行研究，從而更加準確地把握原函數的變化趨勢，掌握原函數與自變量之間的關系，推理出要證明的結論。

已知函數f（x）=ex-x2-2x，證明：f（x）存在唯一極小值點x0，且-2

習題題干較為簡單，但難度并不小，需要靈活運用導數知識研究原函數導數的變化情況，以確定原函數極小值的唯一性。同時根據原函數取得極值時與導函數之間的關系，確定極小值的取值范圍，最終通過等價代換找到函數極小值的取值范圍。

∵f（x）=ex-x2-2x，f'（x）=ex-2x-2，接下來構造函數

令g（x）=ex-2x-2，則g'（x）=ex-2，令g’（x）=0，解得x=ln2，即，當xln2時，g’（x）>0，g（x）遞增;則g（x）在x=ln2處取得極小值，g（ln2）=-2ln2<0，表明g（x）一定存在兩個零點，分別對應函數f（x）的極大值和極小值。設極小值點為x0，則g（x0）=-2x0-2=0，f（x0）=-x02-2x0=2-x02。

∵g（）=-5<0，g（2）=e2-6>0，表明x0∈（，2），而f（x0）=2-x02∈（-2，-）得證。

結束語

構造函數在高中數學解題中有著廣泛的應用。為使學生掌握不同數學題型的構造思路，構造出正確的函數，為后續解題的順利進行做好鋪墊，應針對不同題型做好構造思路的總結，并展示構造函數的具體實現過程，使學生更好地把握構造細節。

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