三角函數與解三角形在高考中的地位及備考策略

葉明東

摘 要：《考試說明》中提到三角函數與解三角形是高中數學的重要內容。高考主要考查任意角三角函數的概念和正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像和性質，突出考查形如的函數的圖像與性質，考查兩角和與差的三角函數公式及簡單的三角恒等變換，重點考查正弦定理和余弦定理及其在解三角形中的綜合應用。對三角函數與解三角形的考查重點是基本概念、基本公式的理解和應用以及運算求解能力。

關鍵詞：三角函數;解三角形;考情分析;高考地位;備考策略

一、三角函數與解三角形在高考中的地位

三角函數與解三角形作為高考的重點考查內容，一直是教學的重點。通過對近幾年高考試卷的分析，我們能夠看到，三角函數與解三角形的相關知識分布在選擇、填空和解答題中的方方面面，并從多個角度考查學生對三角函數與解三角形知識的綜合應用能力和問題分析能力。

二、三角函數與解三角形的高考命題形式分析

（一）高考對此部分的考查一般以“二小”“三小”或“一小一大”的命題形式出現。

（二）若無解答題，一般在選擇題或填空題各有一題，主要考查三角恒等變換、解三角形，難度一般，一般出現在第4～11或第14～16題位置上。

（三）若以解答題命題形式出現，主要考查三角函數與解三角形的綜合問題，一般出現在解答題第17（或18）題位置上，難度中等。在17（或18）題位置上進行考查時，與“數列”交替進行考查（近三年多考“數列”）。

三、三角函數與解三角形的高考命題規律

本專題常以三角函數的定義、同角三角函數的基本關系式及誘導公式、和差角二倍角公式為基礎考查三角函數的值域、最值、單調性、周期性等問題;而解三角形則以正弦定理、余弦定理為依托考查三角形度量問題。縱觀近幾年的高考題，呈現出如下變化和特點：1.降低了三角變換的考查要求，加強了對基本知識、基本技能、基本思想的考查;2.加強了對三角函數圖像及性質的考查;3.在解三角形時，常輔以向量、求導等知識，并結合實際問題進行求解。

四、三角函數與解三角形在高考中常考的題型

題型1：考查三角函數式的恒等變形、化簡和求值

小結：1.要熟練掌握誘導公式、同角三角函數基本關系式、二倍角、兩角和差的三角函數等公式。

2.選擇從“角”入手還是從“統一名稱”入手。

3.通過湊“角”、變“角”建立已知與未知的橋梁。

4.化簡時的基本方法主要有： ①異角化同角;②異名化同名;③消除運算結構的差異。

題型2：考查三角函數和正、余弦定理與其他知識交匯的解三角形問題

例4：在三角形ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且。

（1）求角B的大小;

（2）點滿足，且AD=3，求2a+c的最大值。

小結：與其他知識交匯的解三角形問題的解題策略。

1.與等差、等比數列交匯的問題，多是以等差、等比數列為媒介給出三角形的“邊”與“角”的關系，只要按題目要求正確“翻譯”過來即可。

2.與向量知識的交匯問題，多是以向量的數量背景和幾何背景為解題的突破點，常常以向量的線性運算和數量積出現。

3.特別注意的是三角形中的數量積公式與面積公式的“關聯性”。

五、三角函數與解三角形的高考備考策略

（一）讓學生牢記公式概念，夯實基礎

三角函數和解三角形專題，應用公式化簡、證明、計算，是這一板塊避不開的問題，幾乎所有問題，都要用到各類公式，牢記公式，是進行運算的基礎。看似簡單，但是總有學生因公式應用錯誤而丟分，怎樣才能讓學生牢記公式，這沒有捷徑，只能是勤督促、多提問、常反復、多檢查，對于用錯公式概念的學生，多檢查、多提問直到不會用錯。

（二）對于各類問題多整理，特點要記清，方法要用對

三角函數與解三角形這一板塊，經常考查的題型，特點比較明顯，方法比較有針對性，這就要求學生對于問題的特點要理解準確，例如：三角函數圖像和性質的綜合應用問題中，有些函數可以化為f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），然后應用研究復合函數的方法，解決問題。導致有些同學一遇到三角函數問題，都會朝著這個方向去化簡，導致方向性錯誤，所以在化簡之前就要分析函數的特點，是否可化為ω一致、冪相同，即當自變量x系數相同時，且是齊次式，才可能化簡為f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的形式;若不一致，就不要朝這個方向努力了;比如：f（x）=cosx+sinx=sin2x和f（x）=2sinx+sin2x要求值域，由于不能化為自變量系數一致，次數一致的齊次式，所以就不能化為f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），要用研究其他函數（例如：二次函數）的方法去研究問題，必要時要用導數解決問題。還有像在解三角形中，邊化角、角化邊，正余弦定理的應用上，如何選擇等。都很有必要和學生一起分析問題的特點，選擇恰當的解題方向。

三角函數與解三角形這一板塊，各類問題都很有特點，一定要和學生一起分析整理清楚，不讓學生犯方向性錯誤。所以一定要分清特點，這樣才能選對方法。

（三）注意細節，杜絕失誤

三角函數與解三角形這一板塊，問題雖然整體難度不大，但是細小問題較多，容易失誤。例如：圖像變換中的平移變換，要注意，先看函數名稱是否相同，再看自變量系數，再確定平移方向及單位。不要犯經驗主義錯誤，三角函數中像這樣的小問題很多。再如有圖像確定解析式問題中“φ”值的確定;三角求值問題中角的范圍的考查等。所以當遇到問題時，提醒學生，不要怕麻煩，用對方法，按部就班地去解決問題，熟練地按步驟應用方法才是解決問題的關鍵。

（四）重視數學思想方法的應用

三角函數與解三角形中常用的數學思想：1.轉化與化歸思想：在三角函數式的化簡求值的三角恒等變換，及利用正、余弦定理進行邊角轉化的過程中，轉化與化歸思想的應用比較廣泛，因此在復習過程中要強化該思想方法的應用意識。2.數形結合思想：在研究三角函數的最值（值域）及簡單的三角函數零點問題，方程或不等式問題時，要強化數形結合思想的應用。

結束語

通過對近三年高考中出現的三角函數與解三角形試題的命題規律與試題特點進行研究發現，高考主要考查考生對相關知識點和公式的理解與掌握情況，并能靈活運用公式解題。因此，考生們在備考中要夯實基礎，熟練掌握常考題型，不斷提升自己的解題技巧和能力。

參考文獻

胡能其.例談高考三角函數及解三角形問題的備考建議[J].高中數理化，2020（2）：1-2.