滲透分類討論思想，優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)

項(xiàng)光亨

摘要：如今我國教育改革不斷深入，越來越多的新型教育理念應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，合理地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。分類討論思想是一種比較常見的數(shù)學(xué)思想方法，它可以幫助學(xué)生很好地解決數(shù)學(xué)問題，并且能強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維。因此，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)實(shí)踐中必須充分發(fā)揮分類討論思想的作用，并根據(jù)當(dāng)前分類討論思想應(yīng)用中存在的問題采取相應(yīng)的教學(xué)策略，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的提升。希望通過本文的分析可以為廣大教育工作者提供一些參考。

關(guān)鍵詞：分類討論思想;高中數(shù)學(xué);應(yīng)用

數(shù)學(xué)是一門具有極強(qiáng)理論性的學(xué)科，其中涉及的分類討論思想極為廣泛。對(duì)高中學(xué)生來說，分類討論思想依舊是一個(gè)較為新穎的思想類型。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論教學(xué)思想適用于存在多種解題可能性的題型解答過程當(dāng)中。這種題型不可通過一種思維將解答過程描述完整，因此需要將問題按照特定的條件或者標(biāo)準(zhǔn)劃分，形成多個(gè)獨(dú)立的問題，最后將所有的解題過程綜合起來，確定出結(jié)果。教學(xué)環(huán)節(jié)應(yīng)用此思想可培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，簡化數(shù)學(xué)問題，為學(xué)生解題提供思路，提高解題效率。

1 分類討論在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用要求

高中數(shù)學(xué)中分類討論教學(xué)思想的應(yīng)用應(yīng)按照特定要求進(jìn)行，才能確保分類過程的正確性。首先，遵循同一性，在同一次分類過程需依照特定標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)進(jìn)行。其次，遵循互斥性，即分類之后，各個(gè)分項(xiàng)代表的含義互相排斥，元素只屬于一個(gè)子項(xiàng)當(dāng)中。再次，遵循相稱性，分類之后子項(xiàng)的并集需要和母項(xiàng)子項(xiàng)相等。最后，遵循層次性，分類過程包括一次、多次分類，其中一次分類之后，對(duì)分類對(duì)象進(jìn)行一次討論;多次分類之后，分別對(duì)各個(gè)子項(xiàng)展開討論，并將其作為母項(xiàng)繼續(xù)分類，直到討論結(jié)果滿足要求。

2 分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

2.1?將分類討論思想融入教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)教師在開展課堂教學(xué)時(shí)，合理地應(yīng)用分類討論思想，在很大程度上能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，能使學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)思路更加清晰，有利于提升學(xué)生解題的準(zhǔn)確性。在教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)，教師要適當(dāng)?shù)貪B透分類討論思想，引導(dǎo)學(xué)生樹立數(shù)學(xué)思維觀念，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想來處理數(shù)學(xué)問題。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果涉及到分類討論，相對(duì)比較復(fù)雜。鑒于此，教師還要優(yōu)化分類討論思想的應(yīng)用，以此更好地發(fā)揮分類討論思想的價(jià)值。

如教師在不等式的教學(xué)中，可以設(shè)計(jì)這樣的例題：試求不等式（a+1）x>a2?1的解。

學(xué)生在解答這道題時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)考慮不全面的情況，沒有分類討論a+1>0、a+1=0、a+1<0這三種情況，簡單地得出錯(cuò)解x>a?1。在教學(xué)中，教師就要引導(dǎo)學(xué)生樹立分類討論意識(shí)，學(xué)會(huì)對(duì)不等式的性質(zhì)進(jìn)行分析討論。在本題中，可能有a+1>0、a+1<0、a+1=0三種情況，所以學(xué)生在解題時(shí)要分類討論。解：（1）如果a+1>0時(shí)，a>?1，那么x>=a-1。

（2）如果a+1=0時(shí)，a=?1，不等式（a+1）x&gt;a2?1為0×x>0，得出原來不等式?jīng)]有解。

（3）如果a+1<0時(shí)，a<?1，那么x<=a-1。

2.2 解決排列組合問題

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，排列組合問題的求解過程，常常含有各類約束條件，使問題呈現(xiàn)出復(fù)雜性特征。使用分類討論這一解題思想，可有效將問題簡化，為學(xué)生提供明確的解題思路，提高數(shù)學(xué)問題的求解速度。

例如，講解這樣一道和排列組合相關(guān)的題型當(dāng)中：在正方體中選取 8 個(gè)頂點(diǎn)、6 面中心點(diǎn)、12 棱中點(diǎn)以及正方體中心點(diǎn)，總共 27 個(gè)點(diǎn)，其中三點(diǎn)共線的個(gè)數(shù)有幾個(gè)？在講解這道習(xí)題時(shí)，可使用分類討論的思想，按照題意，可將三點(diǎn)共線劃分成三個(gè)種類。

第一種：由棱中點(diǎn)作為兩個(gè)端點(diǎn)，三點(diǎn)共線個(gè)數(shù)為 12×3÷2=18（個(gè)）;

第二種：由兩個(gè)端點(diǎn)作為頂點(diǎn)，三點(diǎn)共線的個(gè)數(shù)為 8×7÷2=28（個(gè)）;

第三種：由面中心為兩個(gè)端點(diǎn)，三點(diǎn)共線的個(gè)數(shù)為 6×1÷3=2（個(gè)）。

綜合以上三種情況，三點(diǎn)共線個(gè)數(shù)為 18+28+2=48（個(gè)）。

2.3?將分類討論思想應(yīng)用于解題過程

很多高中生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，會(huì)出現(xiàn)審題不清的情況，這就會(huì)影響其解題質(zhì)量。在教學(xué)實(shí)踐中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，特別是在面對(duì)一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以指導(dǎo)學(xué)生利用分類討論的思想對(duì)問題進(jìn)行剖析，靈活地應(yīng)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)、已知信息，達(dá)到準(zhǔn)確解題的目的。

以下面這個(gè)問題為例：x軸和函數(shù) y=ax2?ax+3x+1相交，并且交點(diǎn)只有一個(gè)，求這個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)及a的值。

在解答這個(gè)問題時(shí)，有的學(xué)生會(huì)直接將函數(shù) y=ax2?ax+3x+1看作一個(gè)二次函數(shù)，沒有對(duì)a的取值進(jìn)行分析。事實(shí)上，本題給出的函數(shù)有可能是一個(gè)一次函數(shù)，所以要對(duì)其進(jìn)行分類討論，這樣才能保證解題準(zhǔn)確性。

解：（1）如果a=0，那么函數(shù) y=ax2?ax+3x+1實(shí)際上是一個(gè)一次函數(shù) y=3x+1，那么可以求得函數(shù)與x軸的交（，0）。

（2）如果a≠0，那么題目中給出的原函數(shù)屬于二次函數(shù)，由于函數(shù)和x軸僅存在一個(gè)交點(diǎn)，則可以求出函數(shù)和x軸交點(diǎn)是（?1，0）。

結(jié)束語

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重分類討論思想的應(yīng)用在很大程度上能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，并且能強(qiáng)化學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)綜合水能力的提升。在日常教學(xué)中，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的發(fā)展需求，靈活地應(yīng)用分類討論思想，以此為學(xué)生的發(fā)展提供保障。

參考文獻(xiàn)：

[1] 蘭鵬林. 分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J]. 中學(xué)課程輔導(dǎo)（教學(xué)研究），2020，14（24）：44.