指數與對數搭臺 同構來唱戲

廣東省中山市中山紀念中學(528454) 李文東

數學中的同構式是指除了變量不同,而結構相同的兩個表達式.數學中的同構式,它不僅體現了數學的對稱和諧美,而且運用同構式的思想解題能夠培養學生的轉化和化歸的思維能力.同時含有指數和對數的函數的問題是高考中的重點也是難點問題,此類問題常常在壓軸題的位置出現,難度較大,而且直接求導后導函數往往比較復雜,只有少部分簡單類型能夠直接利用求導求解,其思考角度比較獨特,由于x=logaax和x=alogax(a ＞0 且a /=1),因此,指數和對數之間往往可以相互轉化,通過適當的變形同構,可以很方便的解決一些同時含指數和對數函數的問題.

一、同構體系下的指數、對數函數體系

首先,我們給出本文將會用到的一些常見的指數式和對數式的同構類型.

類型1函數y=xex與函數y=xlnx,它們可以從以下三個角度同構:

(1)將函數y=xex變形為y=exln ex,與函數y=xlnx同構;

(2)將函數y=xlnx變形為y=(lnx)elnx,與函數y=xex同構;

(3)將函數y=xex與函數y=xlnx分別取對數得:y=x+lnx和y=lnx+ln(lnx),與函數y=x+lnx同構.

類型2函數y=與函數y=它可以從以下三個角度同構:

(1)將函數y=變形為y=與函數y=同構;

(2)將函數y=變形為y=,與函數y=同構;

類型3y=ex±x與函數y=x±lnx,它可以從以下兩個角度同構:

(1)將函數y=ex ±x變形為y=ex ±ln ex,與函數y=x±lnx同構;

(2)將函數y=x±lnx變形為y=elnx ±lnx,與函數y=ex±x同構.

除此以外,有時我們還需要對所求代數式兩邊適當添項或者同乘以某一個變量從而達到同構,下面舉例說明同構式的應用.

二、利用同構求值和化簡

例1若x1滿足方程xex=1,x2滿足方程xlnx=1,則x1x2=____.

解由題意x2lnx2=lnx2elnx2=1,且x2＞1,又x1ex1=1,令f(x)=xex,則……