一篇文章中關于端點效應理論的修正證明及其應用舉例

廣東省中山市桂山中學(528463) 余鐵青

一、問題提出

最近筆者在學習《中學數學教學》雜志2019年第6 期的文獻時,發現當時湖北省黃石市第一中學楊瑞強老師的文章《端點效應破解恒等式問題》一文中存在敘述錯誤(具體錯誤請大家參考文獻[1]).基于學習的初衷,筆者就此類問題進行了進一步的思考,給出了修正的結果,并進行了嚴格的證明.

近年來高考以及全國各地的模擬題中都出現了大量含參數恒成立問題,我們經常采用變量分離,等價轉換等方法來進行解題.在使用這些做法解題中我們時常會遇到分類討論情況多,我們可以說是不勝其煩,很難擺脫計算量大的困局,甚至最后不了了之,造成得分率較低的實際情況.筆者結合教學實際發現,在很多時候我們使用端點效應來解題效率會高得多,能夠有效避免不必要的分層討論,達到耗時少,得分多的效果.以下我們約定,文中所提及的有關函數的導數以及極限都存在.

二、端點效應的概念及修正證明

(一)端點效應的概念與適用范圍

第一類: 若函數f(x,m)≥0(其中m為參數)在區間[a,b](a,b均為常數)上恒成立,且f(a)=0 或f(b)=0 則f′(a)≥0 或f′(b)≥0.此法應用于區間端點函數值為零的情況.[1]

結論處應修正為:f′(a)≥0 或f′(b)≤0.

第二類: 若函數f(x,m)≥ 0(其中m為參數)在區間[a,b](a,b均為常數)上恒成立,且或則f′′(x)≥0 或f′′(x)≥0[1].此法應用于區間端點函數值為零和端點一階導數同時為零的情況.

此處結論應修正為:f′′(a)≥0 或f′′(b)≥0.

另外兩種情況將一二類里面f(x,m)≥ 0 改為f(x,m)≤0 時的情形可以類比上述,進行等……