化動為靜 以靜御動
——一類“多動態向量”綜合題的解題策略

上海南匯中學(201399) 宋 磊

1 引言

高考對向量的考查主要有三個層面: 知識層面,直接考查向量的線性運算、數量積、垂直或平行關系、基底、模與夾角等;方法層面,重點考查數形結合、轉化與化歸、分類討論、函數與方程等思想方法;素養層面,主要考查數學運算、直觀想象和邏輯推理等核心素養.

由于向量是溝通代數與幾何的有力工具,因此向量問題的解決途徑一般有兩個: 一是幾何法,通過向量的幾何意義以及向量的基本運算將其轉化為平面幾何問題;二是代數法,從向量的線性運算、數量積、平面向量基本定理以及坐標表示等方面思考,將問題轉化為代數中的有關問題解決.筆者認為,平面向量對學生而言之所以難,是難在向量的本質: 向量是自由的,可以隨意移動,動態性很強.當題目中出現動態向量較多或動點較多時,“化動為靜、以靜御動”才是解決此類向量問題最關鍵的一步,本文將剖析這類問題,探究解題策略.

2 典例分析

例1設a,b,c是同一平面上的三個兩兩不同的單位向量.若(a·b):(b·c):(c·a)=1:1:2,則a·b的值為____.

解方法1: 設a=(1,0),b=(cosα,sinα),c=(cosβ,sinβ),由a·b=b·c得cosα=cos(α?β),由a,b,c互不相同,不妨取?α=α?β,故β=2α,c=(cos 2α,sin 2α),由a·c=2b·c,得cos 2α=2 cosα,即2cos2α ?1=2 cosα,故cosα=即a·b=

方法2: 設b=(1,0),則由a·b=b·c得b⊥(a ?c),從而a與c關于x軸對稱,設a=(cosα,sinα),則c=(cosα,?sinα),a·c=cos2α ?sin2α=cos 2α=2b·c=2 cosα,故cosα=即a·b=

評析a,b,c是三個動向量,同學們對此感到暈頭轉向.現考慮將其中一個動向量固定,則使題目難度大大降低.方法1中,將a固定,根據單位圓設出b,c,通過坐標法運用代數運算找出b與c的關系,從而得解.解法2 將b固定,通過幾何特征找出a與c的關系,從而得解.兩種方法都……