阿波羅尼斯圓的逆向探究及其應用

佛山市南海區黃岐高級中學(528248) 熊向前

我們知道,到兩個定點的距離之和、之差為定值的點的軌跡分別為橢圓、雙曲線,那么到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是什么呢? 很多文章對此進行了研究,并得出了阿波羅尼斯圓的相關結論.本文在阿波羅尼斯圓的基礎上進行逆向探究,得出了幾個結論,并結合各地的高考題及模擬題給出相關應用.現整理成文,不當之處敬請批評指正.

一、問題的提出

題目(人教A 版必修二第124 頁B 組第2 題)已知點M與兩個定點O(0,0),A(3,0)的距離之比為求M的軌跡方程.(答案是(x+1)2+y2=4.)

該題反映了到兩個定點的距離之比等于定值的點的軌跡問題,聯想到橢圓、雙曲線的定義,我們不禁會問: 平面內到兩個定點的距離之比為常數的點的軌跡是否都是圓呢? 古希臘數學家阿波羅尼斯(公元前約262-190年)對這個問題進行了研究,并得出了阿波羅尼斯圓的相關結論.

阿波羅尼斯圓的定義: 設A、B是平面內兩個定點,平面內動點P到A點與到B點的距離之比為常數λ(λ ＞0 且λ /=1),則點P的軌跡為圓,這個圓被稱為阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓,這兩個定點我們稱之為阿波羅尼斯圓對應的定點.

圖1

證明如圖1 所示,以直線AB為x軸,線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系,設AB=2a(a ＞0),則A(?a,0),B(a,0),設點P(x,y),則由定義得=λ,即所以P點的軌跡為以為圓心,以為半徑的圓.

通過上述證明可以發現阿波羅尼斯圓有以下幾個性質:

(1)阿波羅尼斯圓上任意一點到兩個定點的距離之比為常數;

(3)阿波羅尼斯圓對……