數學建模視角下解決一道高中數學聯賽的爭議題*

廣東仲元中學(511400) 許鮪潮

廣東番禺中學附屬學校(511400) 麥桂崧

《普通高中數學課程標準(2017 版)》提出了數學學科核心素養,將學生的核心素養定義為“學生應具備的,能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力”[1].數學建模是六大核心素養之一,指對現實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題,即在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題,分析問題、建立模型,確定參數、計算求解,檢驗結果、改進模型,最終解決實際問題[2].本文以2020年高中數學聯賽浙江賽區初賽一道有爭議的題目為起點,從數學核心素養出發,利用數學建模的思想和方法解決這道題并提出建議與改編.

一、問題的提出

題目某竹竿長為24 米,一端靠在墻上,另一端靠在地面上.若竹竿上某一節點到墻的垂直距離和到地面的垂直距離都是7 米,則此時竹竿靠在墻上的端點到地面的垂直距離為____米,或____米.

圖1

本題是2020年6月21日舉辦的高中數學聯賽浙江賽區初賽第3 題,分值8 分是一道中檔題,但根據某學校學生的答題調查,只有10%左右的學生寫出參考答案.

二、模型假設

(一)假定竹竿是正放,即竹竿在地面上的射影與墻面垂直;

(二)墻面及地面摩擦系數足夠大,并且竹竿不會下滑;

(三)不考慮竹竿大小,重量及彈性形變等物理因素.

三、模型建立與求解

在模型假設的情況下,本題為平面幾何問題,可建立如圖1 的平面直角三角形模型,將題目抽象……