對函數零點存在定理應用的補充

廣州大學數學與信息科學學院(510000) 林思敏 常春艷

一、函數零點存在定理的解讀

(一)函數零點存在定理

由高中的教材(人教A 版)可知,函數零點存在定理是這樣描述的:

一般地,我們有

如果函數y=f(x)在區間[a,b] 上的圖象是一條連續不斷的曲線,并且有f(a)f(b)＜0,那么,函數y=f(x)在(a,b)區間內至少有一個零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0 的解[1].

(二)定理理解的障礙

定理是一種高度概括的概念,且此定理的討論基礎是函數圖象,而中學階段的學生能畫出的函數圖象是有限的,會出現圖象分析非典型性的現象,影響學生對函數零點存在定理的理解.如: 為什么函數的零點就是方程的根? 零點個數該如何確定呢?“至少有一個”究竟是多少個呢?

函數的零點具有“三重”身份: (1)函數y=f(x)的零點;(2)函數y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標;(3)方程f(x)=0 的根[2].這“三重”身份可以幫助學生理解零點的概念及零點不是點這一易錯點.

在教材中,是借助二次函數圖象,進行定理的推導.對于零點個數的確定,是否同樣可以借助圖象來幫助我們更為清晰地理解呢? 是否可以總結歸納出函數零點個數的求解方法呢?

二、函數零點存在定理應用的一點補充

(一)函數零點存在定理應用的補充

一般地,我們有

如果函數y=f(x)在區間[a,b] 上的圖象是一條連續不斷的曲線,并且有f(a)f(b)＜0,那么,函數y=f(x)在(a,b)區間內至少有一個零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0 的解.

其中,根據函數在特定區間內的每兩個相鄰的極值(或在端點的函數值)乘積……