分式方程無解與增根的辨析應用

杜濤

【摘要】

中學階段在實數范圍內求解分式方程的過程中出現增根，導致分式方程無解的現象很普遍.正因如此，有些學生認為分式方程無解是由增根引起的，這一認識誤區干擾了學生的正確思維，尤其是在含有字母的分式方程中，對于分式方程無解和分式方程的增根，在解答過程中仍存在諸多爭議，本文試圖結合實例對分式方程無解與增根進行辨析，弄清二者之間的聯系與區別，得到正確簡潔的解題思路.

【關鍵詞】分式方程;解;無解;增根;求值

1 引言

分式方程的解是指在確保分式方程有意義的前提下適合原方程的未知數的值;若不存在適合原方程的未知數的值，稱之為無解.解分式方程是把分式方程轉化為整式方程來求解未知數的值的過程，由于擴大了未知數的取值范圍而產生的不適合原方程的未知數的值，稱之為增根.

從概念上區分分式方程無解和分式方程的增根，應該是非常清晰明確的.但對于具體問題的解答，仍存在諸多爭議，究其原因是對分式方程在無解與增根的理解上存在誤區造成的.本文結合實例對分式方程無解與增根進行辨析，弄清二者之間的聯系與區別，分式方程無解并非都由增根引起的，有增根也并非分式方程無解.

2 辨析

既然分式方程可以轉化為整式方程（中學段僅研究可化為一元一次方程或者一元二次方程的分式方程），那么我們就從討論整式方程的解入手.

3 結論

分式方程無解與增根包含以下幾種情形：

（1）原分式方程是矛盾等式或化為整式方程無解（實數范圍），不存在增根，這里增

加了對數學分析問題選項的誤導和干擾，更是對數學思維的考驗.

（2）原分式方程化為整式方程有解，但這個解是原方程的增根，從而原分式方程無解.

（3）原分式方程化為整式方程有解，但其中有的解是原方程的增根，還存在使原方程成立的解.

綜上，分式方程無解有時是由增根造成的，但分式方程無解并不一定存在增根或者由增根引起，分式方程有增根也并非無解.

【參考文獻】

[1]南秀全.黃岡中考兵法（數學）[M].西安：陜西師范大學出版社，2003.