由一題多解探討含有絕對值恒成立問題的幾種解法

曹興陽 胡翠英

【摘要】

在高三的復習中，有一類壓軸問題——含有絕對值不等式恒成立時求參數取值范圍問題.這類問題對于大部分學生來說是一個難點.本文著重從一道試題入手采用多種方法進行解析，歸納出處理形如|f（x，a）|≥g（x）或|f（x，a）|≥g（a）恒成立時求參數問題的一般方法，增強學生對基礎知識的掌握，樹立數學思想意識.

【關鍵詞】絕對值;恒成立;參數;一題多解

在近幾年江蘇省高考中不等式問題常以壓軸題的形式出現，常見的題型有恒成立、有解問題等.此類題型豐富多變，綜合性強，有一定的難度，但只要我們理解問題的本質，就能輕松地解決這類問題.常用的知識點如下：

我們經常遇到滿足某不等式恒成立的求參數取值范圍的問題，而處理這類問題通常有兩種基本方法：一、求不等式對應函數的最值，以此來求參數的取值范圍;二、將不等式進行等價變形——參數分離，從而構造新的函數，通過求新函數的最值來確定參數的取值范圍.

那么如果遇到恒成立問題中不等式含有絕對值，且絕對值中含有參數又該怎么辦？一般地，對于含有絕對值的函數問題學生處理起來比較棘手，原因在于涉及絕對值的函數其本質是由兩個函數構成的分段函數.而此時既有絕對值，又有參數的這種問題就難上加難.

本文就一道含有絕對值恒成立的求參數取值范圍的問題進行多種數學方法的解析，歸納出不等式形如：|f（x，a）|≥g（x）或|f（x，a）|≥g（a）恒成立的求參數的一般方法，進而通過多種方法實現數學基礎知識的融合與貫通，加強對數學思想方法的理解與應用.

例1

設a∈R，函數f（x）=x|x-a|-a.若對任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍.

分析：例題中如果不含絕對值，即將絕對值符號變成小括號，這就是屬于滿足某不等式恒成立的求參數取值范圍的問題，我們可以直接采取以上兩種基本方法中的任意一種進行處理.然而對于本題不能如此操作的關鍵就在于含有絕對值.因此，去絕對值就是解決這類問題的第一步.

雖然數學問題的解析方法很多，涉及的知識看起來雜亂，但教師在教學實踐中，通過一題多解，從不同的角度分析問題，有助于學生將數學基礎知識關聯起來，提高學生的綜合應用能力，有效培養學生的發散思維.

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