在動態思維的培養中提升學生的分類能力

王帥兵

【摘要】

動態問題作為初中數學學習的一個有效載體，考查的是學生的化歸、分類等數學思想，很多壓軸題也以此為基礎來設計，以動態思維來研究、解題，它已成為初中數學教與學中不可或缺的組成部分.

【關鍵詞】動態思維;函數;分類能力

動態思維，是指在解題過程中，能夠根據題目不斷變化的條件場景，調動對應知識，動態地研究問題、解決問題的一種思維活動過程，它最突出的特性是變化、建構和創造生成，里面包含了一個從讀題、分析到選擇、建構創造的完整思考過程.

一、數軸：動態思維啟蒙

數軸由點組成，本身就具有動態特性，不管是點還是線，在由數軸生成的背景范圍里，數學研究的內容就已經動起來了，學生學習時就必須調動思維，在分類創造中解決問題.

（1）數軸上點的運動

數軸在本質上是一條直線，構成這條直線的點對應著我們數學中的每一個數，其無限延伸的特點，給了數無限的活動空間.點在直線上左右移動產生的距離，不僅表現著數軸的幾何特征，也把思維動起來.

如圖1，一個機器人從數軸上A點出發，先向左運動到點B，再向右運動到點C，最后向左運動到點D，在整體運動過程中，這個機器人總的運動路程是多少？

在這里考的就是動態思維，思維要隨著機器人移動、分段以解決問題.由A點（對應數為1）到B點（對應數為-2）是一段，距離為1-（-2）=3;由B點（對應數為-2）到C點（對應數為4）是一段，距離為4-（-2）=6;由C點（對應數為4）到D點（對應數為-5）是一段，距離為4-（-5）=9.這個機器人總的運動路程是3+6+9=18.

類似的題目還有：如圖1，一個機器人從數軸上A點出發，先向左移動3個單位，再向右移動4個單位，再向左移動5個單位，再向右移動6個單位……再向右移動2020個單位，最后這個機器人所在點表示的數是幾？這個機器人走過的路程是多少？

在這里，要解決問題，首先要跟隨這個機器人動態地研究問題、分析問題，發現移動規律：每兩次從所在位置向右移動1個單位，分組計算后問題得到解決.

（2）數軸上的動態思維與分類

點的移動帶來的是位置的變化，位置的變化造就距離的產生，這個距離在數軸上指的是兩點之間的距離，往往用絕對值來表示.如圖2所示，我們可以直接求出A，B兩點之間的距離，因為距離非負，所以我們用通用式子表示為〖JB（|〗a-b〖JB）|〗.

在動態環境下，數軸上形成的兩定一動問題（或多定一動問題），就要在動態思維下，采用分類的方法來解決.這里舉一個簡單的例子：求的最小值.表示的是表示數a與1的兩點之間的距離，表示的是表示數a與-3的兩點之間的距離，由此可見，題目要求的是表示數a的點到表示數1與數-3的點之間距離和的最小值，這是個兩定一動問題.我們不妨先把確定的數1與-3表示在數軸上，如圖3.

綜上，最小值為4.

初中數學的學習內容多樣，極富變化，數軸既是入門的認識課程，也是代數動態和幾何動態完美結合的基礎.學生在學習時要注重思維能力的培養.它對發揮學生的思維潛力、創造性地解決問題具有不可替代的作用.

二、動態思維與函數

函數所研究的是變量之間的關系.在動態場景里，不管是一次函數，還是反比例函數或二次函數，我們都會把其放在平面直角坐標系中，用數形結合的動態思維來研究點動規律，以及所形成的函數特征和圖形特征.這里以一次函數和二次函數為例.

（1）一次函數中的動態問題列舉

一次函數的圖像是一條直線，其與坐標軸會形成一個直角三角形（這里不考慮正比例函數），利用這個三角形，我們可以考查面積問題、存在問題、相似問題等多種綜合性問題.

例1

如圖4，點A坐標為（-2，0），點B坐標為（0，2），在y軸上是否存在一點P，使S△ABP=4？若存在，求出點P的坐標;若不存在，請說明理由.

分析：點P是y軸上的一個動點，依據點P的運動軌跡，可以分為3個位置：y軸正半軸、原點和y軸負半軸，然后畫出草圖即可求解.

①當點P在y軸正半軸上時，為圖5中P1位置，此時，以AO為高、BP為底，可以求出BP=4，點P的坐標為（0，6）;

②當點P在原點時，如圖6，S△ABP=2，不滿足題意;

③當點P在y軸負半軸上時，為圖7中P3位置，此時，以AO為高、BP為底，可以求出BP=4，點P的坐標為（0，-2）.

綜上，存在點P，使S△ABP=4，點P的坐標為（0，6）或（0，-2）.

例2

如圖8，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C均在坐標軸上，且OA=4，OC=3.動點M從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿AO向終點O移動;點N從點C出發沿CB向終點B以同樣的速度移動，當兩個動點運動了x秒（0

（2）二次函數中的圖形存在

在二次函數存在性問題中，我們要先研究好其背景圖形所包含的兩個基本特征：幾何特

征（什么圖形，特殊角等）和代數特征（表達式，點的坐標等）.要依據點移動的軌跡，調動動態思維來分析、解決問題.

例3 如圖12，拋物線y=-x2+2x+3與坐標軸分別交于點A，B，C，點D是y軸上一

點，坐標為（0，1），點E是直線AD與拋物線的另一交點.在拋物線上是否存在一點M，使得S△AME=6？若存在，求出M點的坐標.

綜上，存在一點M，使得S△AME=6，點M的坐標為（-2，-5）或（3，0）.

對于上面例題，問題都涉及分類，我們都要在動態基礎上，結合問題實際，進行模型構造、表示與解答.在這里，我們要利用好幾何特征來進行分類，并在與代數特征的相互轉化中，構造方程求解.

三、結語

綜上，在數軸或坐標系背景下的分類問題雖然比較復雜，但在動態思維的引導下，我們著重分析問題產生的實際背景和點動規律，就很容易找到題目的突破口，建構基本的數學模型，從而解決問題.

【參考文獻】

[1]馬佑軍.數學解題中的動態思維——解題思路的探求[J].數學教學通訊，2018（18）：77-78.

[2]施丁也.培育“動態思維”，讓學生思維自然流淌[J].數學教學通訊，2019（22）：21-22.