中小學數學抽象的可培養性及教學

黃嘉媛 曹麗華

【摘要】數學抽象作為《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出的六大核心素養之首，不應僅在高中階段予以重視，在義務教育階段也應予以重視.本文根據已有研究與中小學數學的特點，對數學抽象的可培養性進行分析，提出“數學抽象的層次性是培養抽象能力的基礎”“數學的形式化是培養抽象能力的保障”這兩個觀點.以北師大版教材中的“軸對稱圖形”為例，分析如何利用數學的層次性與形式化兩個特點進行抽象數學概念與命題的教學.

【關鍵詞】數學抽象;層次性;形式化;軸對稱圖形

在《普通高中數學課程標準（2017年版）》中提出的六大核心素養是數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.其中，數學抽象的具體表述為：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征.既然要培養中小學學生的數學抽象素養，那么數學抽象的可培養性基礎是什么？在課堂中，我們應該如何利用數學抽象的可培養性特點進行教學？

一、數學抽象的重要性

數學的抽象性是數學的三大特征之一.史寧中教授提出：“數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的.”抽象是數學中一種必不可少的思想方法，也是數學發展過程中的一種核心思想.王光明等人通過調查研究了抽象思維能力、邏輯分析能力、關系判斷能力對學生學習數學的效率的影響，并得出數學抽象思維能力的影響最大.對于中小學的教師與學生而言，數學抽象是教師進行教學活動和學生開展數學學習活動的基礎，是學生學好數學需要具備的一種基本數學素養.數學抽象不僅位于六大核心素養之首，并且邏輯推理、數學建模以及直觀想象素養都與數學抽象有關.在義務教育階段也同樣重要，《義務教育數學課程標準（2011年版）》中出現的十個核心詞中，數感、符號意識，甚至幾何直觀與空間想象，都與數學抽象密不可分.抽象素養并非數學學科所獨有，物理中的一些概念（如質點）也需要具備一定的抽象能力.同時，數學覆蓋了許多學科，在許多學科中均有運用，因此，學生抽象能力的好與壞，對后續的數學學習乃至其他學科的學習都有著重要的影響.

二、數學抽象的可培養性

國內許多學者和一線教師都在探尋培養學生抽象思維能力的策略，卻鮮有人對數學抽象的可培養性的原因以及培養數學抽象的基礎即“為什么數學抽象是可培養的”這一問題進行分析.本人根據已有文獻，對數學抽象的可培養性提出以下觀點.

（一）數學的層次性是培養抽象能力的基礎

“由感性的、直觀的、現實的問題上升為數學抽象，往往需要經歷多個層次.”層次性是數學的基本特性，數學知識的形成都需要經過一定的抽象層次.史寧中教授認為，數學的抽象要經歷兩個階段，第一階段是基于現實的，第二階段是基于邏輯的.數學抽象都是從簡單到復雜，由感性到理性的，由此可見，數學抽象也是具有一定的層次性的.學習者的數學學習過程也有一定的層次，弗賴登塔爾提出“學習過程是由各種層次構成的”，不同階段對應不同的發展水平，是一個漸進的過程.抽象的層次性與學習者認知過程的層次性相對應，學生抽象能力的發展遵循數學抽象的規律，抽象度隨著知識的積累、能力的提高不斷地上升，有一定的層次性，是可培養的.小學生多以直觀感受來獲取知識，而中學生可以依靠一定的理性認知.以函數概念為例，從最開始的“變量說”到“對映說”，再到“關系說”，體現了函數概念發展的抽象程度的層次性.在教學中，初中階段我們大多采用“變量說”，高中階段采用“對映說”，這與數學概念發展的規律相似.學生對某一概念、命題的抽象是一級一級逐步抽象的，抽象化的程度越高，理解的難度越大，因此抽象的層次是不能跳躍的.隨著某一知識點學習的深入，除了抽象的程度在提高，抽象的覆蓋面也隨之擴大.在這逐漸抽象的過程中，學生在學習概念與命題本身的同時，也會逐漸領悟抽象的本質，這是培養學生抽象能力的主要路徑.因此，數學抽象的層次性為數學抽象能力的培養提供了基礎.

（二）數學的形式化是培養抽象能力的保障

“數學一被創造出來，它就形成了一種清晰的形式表達.”數學的形式化使得數學學科具有簡潔性，因為數學對象的形式化能夠為學習者提供簡明清晰的形式化語言，且又真實地反映著其所要描述的內容，內容與形式并不分離，形式化只是有助于理解和表達，更好地反映事物的本質.數學的形式化特點推動了數學的發展，可以說如果沒有數學的形式化，就沒有今天的數學.極限的定義——“ε-δ”語言，就是一種形式化的表達.同時，“數學的研究對象是形式化的思想材料”，可見數學的研究對象源于現實，卻是人腦的產物，是一種思辨的結果.它是人們根據現實世界的一些特征，抽象出來的產物，又應用于現實中.例如“負數”的概念，最早是為了保證減法運算結果的封閉性，它是數集擴張的一種形式表達;馬克斯·西蒙曾說，創立負數是為了有可能毫無例外地進行減法運算，它的產生使得數集得以擴張，然后又應用于溫度的計數等現實事物中.人的思想是具有主觀能動性的，它隨著人與環境的交互作用而不斷變化.數學的形式化就是為了更好地表達數學抽象的產物，它可以把表面復雜的東西變得簡單，降低其抽象程度.學習者可以借助易于理解的數學形式，結合自身的主觀思考，對數學進行“再創造”，提高自身的抽象概括能力，在這一過程中形成抽象素養.因此，數學抽象的形式化特點以及數學研究對象的特殊性，為學習者數學抽象能力的提高提供了保障.

（三）數學抽象可培養性的實證研究

目前國內的研究較少有研究抽象的可培養性，基本上都是直接給出培養策略，對策略可行性的探討也比較少.通過查閱國外的文獻可知，早期有蘇聯心理學家達維多夫（Davydov）證實，8至10歲的孩子能夠抽象地思考他們所學習的理論模型是否能分析現實問題.加藤（Kato），凱米（Kamii），Ozaki&Nagahiro對3歲到7歲的60名兒童進行訪談，發現兒童的抽象水平與其表征能力有密切的聯系.韓國的Jee Yun Hong和Min Kyeong Kim（JM）根據前人提出的抽象水平，重新總結了數學抽象的三個水平，如下：水平一，通過感知抽象識別數學結構;水平二，通過內化運用數學結構;水平三，通過內化形成新的數學結構.根據抽象的這三個層次，JM對韓國小學五年級的學生進行實證研究，得到：位于水平一的學生只能認識到解決該問題需要數學知識和結構，但未能利用數學結構;位于水平二的學生通過引入先前獲得的數學知識來解決問題，但他們未能對解決問題的方法做出正確的評估，因此未能解決問題;位于水平三的學生成功解決問題，并且還能夠用他們解決問題的方法去評估其他小組的解題過程，提出建議.該研究表明，數學抽象的層次和形式在解決一個結構不良的問題中出現，解決結構不良問題的活動可以為學生提供提高其數學抽象能力的機會.以上的研究表明：（1）學生解決問題的過程反映了其所具有的抽象能力的層次;（2）兒童的抽象能力可以通過學生解決問題的過程進行教授，也就是說，通過解決問題這一活動能夠培養兒童的數學抽象能力.

三、利用抽象的可培養性特點進行教學

恩格斯說過：“數學是研究客觀世界的數量關系和空間形式的科學.”既然數學研究的是量與形，舍棄了事物質的屬性，并且數學是思想的產物，那么數學抽象必然無處不在，它無形地存在于我們每一節數學課之中，所以培養學生的數學抽象能力應該植根于每一節數學課.根據青少年兒童的心理發展規律，數學教學應遵循從具體到抽象再到具體的基本原則，結合數學抽象可培養性，即數學的層次性與形式化特點，在課堂中加強學生的數學抽象實踐，培養抽象素養.根據數學抽象對象的性質進行分類，分為從現實中抽象出數學和從數學中抽象出更高層次的數學兩類：表征型抽象和原理型抽象.在北師大版教材中，教材編排遵循螺旋式上升原則，“軸對稱圖形”這一概念分別出現在三年級下冊、五年級上冊和七年級下冊.下面以“軸對稱圖形”為例，分析如何在教學中，根據數學抽象的可培養性特點，滲透抽象的數學思想，培養學生的這兩種抽象能力.

（一）在概念教學中培養學生的表征型抽象能力

“數學抽象概念的發展是具有層次性的”，數學概念的教學也應當遵循數學抽象概念發展的規律.表征型抽象是指對事物外露的表面特征進行抽象，對“軸對稱圖形”這一概念的習得就是一種表征型抽象的結果.

小學生學習知識主要來源于感性認知，因此，小學生的概念教學要依靠直觀展示、具體操作，向學生展示其熟悉的生活背景或數學現實，使他們能夠在腦海中形成正確的初步概念意象.教師可以事先準備好具體材料與具體活動.弗賴登塔爾提倡，具體活動可以是折紙、剪紙、畫圖、測量或拼接等.三年級學生學習“軸對稱圖形”這一概念時可以依靠折紙、剪紙等實物操作，對軸對稱圖形這個概念有初步的抽象認識.到五年級，有了前面的基礎，并且隨著學生抽象能力的逐步發展，可以將“軸對稱”的概念擴充到離散的圖形中，軸對稱不再局限于一個完整的圖形.這時候的教學不再依靠剪紙等實物，而是需要學生發揮一定的空間想象能力，可以是給學生一個簡單的圖形和對稱軸，讓學生畫出另一半圖形.這一活動需要學生先在腦海中抽象出原圖形的軸對稱圖形的表象，再將其通過畫圖的方式表達出來，這比剪紙提高了一個層次，但對于小學生而言，都是“借助操作游戲來演示明顯的數學特征”.盡管如此，不同年齡和知識水平的孩子也具有一定的層次.通過兩個層次的學習，學生對“軸對稱”以及“軸對稱圖形”的概念形成了初步的表征型抽象結果，雖然未能形成形式化表達，但是已經在腦海中形成了一定的概念意象.

對客體進行分類的過程也是一種抽象，初中生較小學生而言，具有更好的抽象思維能力.有了小學階段的基礎，這時候可以讓學生觀察軸對稱圖形的特點，抽象概括軸對稱圖形的定義（如果一個平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫作軸對稱圖形，這條直線叫作對稱軸）.學生對一系列事例的表面特征進行識別、分類等活動，這一過程是在對事物進行表征型抽象，是找出其共同屬性，揭示這一類別的本質屬性與非本質屬性，從而得到一個概念.這一階段要呈現的例子應該是多樣的，有正例與反例，并且正反例中還應有相關屬性與無關屬性的對比，教師應引導學生對事例的共同性質進行概括，對非共同性質進行區分與排除，在分類與概括中提高學生的抽象水平.教師的作用是幫助學生修改定義，最終對“軸對稱圖形”加以形式化定義.為防止學生形成錯誤的概念意象，每一階段的具體材料的選擇都必須符合最后的形式化定義.在此過程中培養學生的抽象概括能力，使學生形成清晰的形式表達，注重一定的形式化.在此之后，還需要在新的情況下運用概念，只有能夠熟練運用概念，才算對概念的真正習得.

中小學數學中的許多概念都是抽象的，對于小學生來說，“分數”的概念，對于高中生來說，“集合”的概念等，都是抽象的.因此，在概念教學中培養學生的表征型抽象能力是非常必要的.如果在小學階段缺乏具體操作，那么后續的學習將難以對其進行抽象，如果過早地加以形式化的表達，將不利于學生想象能力的發展.因此，數學概念教學應該從學生思維及認知特點出發，按照一定的層次，把握抽象的時機，提高學生的表征型抽象能力.

（二）在命題教學中培養學生的原理型抽象能力

數學的抽象除了要抽象出所要研究的對象，還要抽象出這些研究對象之間的關系，這體現了數學抽象的層次性：上一級抽象的形式化結果成為下一級抽象的對象.數學命題學習是指數學公理、定理、法則、公式等內容的學習，其本質就是數學對象之間的關系.命題的復雜程度高于概念，因此，命題的學習是在概念掌握的基礎之上，學生要對與命題有關的各個概念有清晰的思維表征，才能推導出命題并深刻地理解命題.原理型抽象就是對事物內在因果關系和規律性聯系進行的抽象，它不再是對事物進行分類，而是確定某一對象與其他對象的聯系，如運算律的出現和三角形中位線定理的推導都是原理型抽象的結果.

在七年級下冊，學生在學習完“軸對稱圖形”這一概念后，將對其具有的性質進行探討，探討圖形內部的特征，探討圖形與對稱軸的關系（在軸對稱圖形或兩個成軸對稱圖形中，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段相等，對應角相等）.這是一個數學命題，這一命題是對圖形關系的抽象，是原理型抽象的結果.原理型抽象是對數學關系的發現，而數學活動是發現數學關系最有效的辦法.所以，在命題教學中，教師也應該給予學生一定的教學活動.活動分為兩個層次，行為的活動和思想的活動.例如，在“軸對稱圖形的性質”這一節課的教學中，可以讓學生先回歸到最低層次，即動手操作，作兩個成軸對稱的圖形，也可以是觀察軸對稱圖形，這是行為上的活動;然后，教師通過引導，讓學生對所作的軸對稱圖形或給出的軸對稱圖形例子進行思考，歸納性質，這是思想上的活動.值得注意的是，行為上的活動一定只是暫時的，必須經過思想上的活動，升華到理性思維，這樣學生才是到達了數學的層次，也就是弗賴登塔爾所說的“既要借助直觀，但又必須在一定條件下擺脫直觀而形成抽象概念”.基于直觀經驗，行為活動與思維活動相結合，缺一不可，互為補充，從而抽象出對稱軸與對稱圖形之間的關系性質.從具體的素材出發到提出猜想的過程就是一個抽象的過程，在這一過程中，充分發揮學生的主動性，同時，教師應根據教學內容及學生的水平，給予學生足夠的自主探究時間，鼓勵學生大膽猜想.不同的學生抽象概括能力會有所不同，教師應該給予引導，幫助學生通過自己的探索得出正確的結論，獲得一定的成就感.最后，教師應該對性質進行總結，以一定的數學形式展現給學生.

與概念教學相似，命題教學需要有一定的層次性，最終回到形式中，這是提高學生抽象能力的基礎與保障.在其他的命題教學中，教師也應該遵循這一邏輯，不將結論強加給學生，而應通過探究的形式，讓學生在“做數學”中進行學習，充分發揮想象力.學生有了數學活動的經歷，從數學材料中抽象出數學命題，便能更好地理解所學的知識，抓住數學本質，從而掌握原理型抽象的方法，提高抽象能力.

四、小 結

數學抽象是數學發展中重要的思想方法，可以說，沒有數學的抽象思維，數學將得不到很好的發展.因此，它也是我們在教學中應該重視培養學生的一種核心素養.培養學生的抽象能力的目的是讓學生更好地理解數學中抽象的概念與命題，所以培養學生具有良好的抽象素養，歸根結底是為了學好數學.雖說數學的形式化是現代數學的一大特點，但在中小學階段，也不能過于重視形式，應該實行“適度的形式化原則”，這需要教師把握好形式化的尺度.數學抽象能力是可以通過教學進行培養的，培養學生的抽象能力，應該讓學生親歷抽象的過程，而不是直接告訴學生結果.作為授課者，應該厘清每一個概念、命題等數學現實的邏輯發展順序，厘清教材編排的順序與用意，并根據青少年兒童的心理發展規律，以抽象的層次性與數學的形式化特點為基礎，把握抽象時機，實施教學.能力的培養是一個長期的過程，教師應該把它滲透到每一節數學課，在課堂中適時安排學生的數學抽象實踐活動，逐漸提高學生的數學抽象能力，形成抽象素養.

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