“數學探究”研究二十年：回顧經驗展望

楊 怡，梁會芳，張定強

“數學探究”研究二十年：回顧經驗展望

楊 怡，梁會芳，張定強

（西北師范大學 教育學院，甘肅 蘭州 730070）

“數學探究”是近20年數學教育領域研究的核心議題之一，不僅是課改推進的需要，也是時代發展的需要．透過對“數學探究”研究軌跡的分析，發現其經歷了初步認識、反思實踐、綜合探索3個階段，梳理以往的理論與實踐研究經驗，可為后續的深度探究奠定堅實的基礎．未來的“數學探究”研究將更多地以基于學生數學學科核心素養的發展為價值取向，數學問題解決要素的優化為動力機制，理論之維與實踐之徑的創新為前沿取向，進而形成“數學探究”研究新局面．

數學探究；歷程回顧；經驗梳理；未來展望

1 問題提出

“數學探究”是數學教育界歷久彌新的永續性話題，在數學教育體系建構中處處有其身影，源于它既是數學教育體系形成的基因，也是促進數學教育變革的動因．“數學探究”是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程，是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動[1]．“數學探究”自數學教育活動開展以來，便承載著重要的數學教育價值，開拓著數學教育理論與實踐的新探索．特別是近20年的數學課程改革，更加促發著數學探究的新視野，使其融入到數學課程、教學、學習以及評價、反思等各個方面，亟需結合基礎教育數學課程改革的歷程，梳理和總結20年來“數學探究”研究的經驗，以更加明晰“數學探究”的意蘊、拓展“數學探究”的價值、深化“數學探究”的應用、豐富“數學探究”的實踐，從而更進一步推動數學教育系統建構、數學教學方式變革、數學學習共同體素養提升．

2 “數學探究”研究的歷程回顧

數學是人們在生存、生活、發展過程中為了與自然和諧共處、與人類社會發展相適應而揭示現象和規律的基礎上建構的體系，這種體系也是數學的探究史，因此“數學探究”就自然地融入到數學教育體系之中，也就成為數學課程與教學研討的主要議題．近20年的數學課程改革歷程中更加重視對“數學探究”的理論與實踐研究，從相關的研究文獻梳理中就可窺見一斑．

2.1 文獻梳理

知網中檢索“數學探究”主題，查看其學術關注度的指數分析，2000—2019年底的中外文獻發表趨勢如圖1所示．發現數學探究研究大致自2000年以后逐漸成為數學教育工作者們關注的熱點話題，其中中文文獻數量處于較快上升趨勢，且在2019年達到最高點，外文文獻數量處于緩慢增長態勢，顯見數學探究的研究逐漸成為數學教育研究的熱點話題．

圖1 數學探究研究趨勢

此外，在知網高級檢索中輸入“數學探究”，檢索到核心期刊發表“數學探究”相關論文170篇，通過篩選確定了160篇作為梳理“數學探究”研究的對象文本，用以探尋“數學探究”研究歷程的概況．

2.1.1 期刊來源和作者單位及所屬地域

（1）主要期刊來源（見表1）．

表1 期刊來源統計

（2）作者單位及所屬地域．

統計發現，“數學探究”研究的第一作者主要來自高校及中小學，分別占發文作者的46.88%、36.88%，來自教研室的占10.63%，教師進修學校的占2.50%，來自其他單位的占3.13%．作者所屬地域見圖2，江浙地區是數學探究研究的中堅力量．

圖2 第一作者所屬地域統計

2.1.2 研究主題

“數學探究”研究主要圍繞其理論、課程、教學以及學習和評價等主題展開．其中數學教學方面的研究最多，共104篇，占發文量的65.00%，課程、學習方面分別占發文量的13.13%、11.25%，理論方面的占發文量8.13%，評價方面的僅4篇，占發文量的2.50%．

2.1.3 研究方法

表2是從文章中析取的主要研究方法的統計結果，由此可見“數學探究”研究主要以思辨法、案例研究法、經驗總結法、文獻法等方法展開，訪談、課堂觀察、實驗、問卷調查等方法涉及較少，相關的實證研究文章相對稀缺．

表2 研究方法統計

2.2 軌跡分析

自“數學探究”開始研究以來，中國對其認識遵循從感性認識到理性認識，再到實踐探索的過程，并在不斷地重復著此過程．按照人們對“數學探究”的理解程度將其軌跡大致劃分為感性的初步認識階段、理性的反思實踐階段及客觀的綜合探索階段．

2.2.1 初步認識階段

2001年《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》提出了以“實踐與綜合應用”為課程內容，通過自主探索和合作交流，實現學生“初步的創新精神和實踐能力”的課程目標；2003年《普通高中數學課程標準（實驗）》將“數學探究”以不同形式滲透在各模塊和專題內容之中，提出在高中階段至少安排一次較為完整的數學探究．從此，數學探究正式登上中國數學教育的舞臺，主要研究者有徐彥輝、范文貴、康杰、李祎等人，圍繞著數學探究的教育價值[2-3]、教學實踐以及與信息技術整合等進行[4-6]．這是中國數學教育研究者在課改初期對“數學探究”的認知，是初步認識階段，該階段由于實踐經驗、理論認識等方面的相對不足，故對數學探究的本質研究較少．

2.2.2 反思實踐階段

經歷幾年的研究后，以寧連華、王躍進為代表的學者們開始反思數學探究在具體教學實施過程中出現的問題[7]，同時進行理論層面地剖析，挖掘數學探究與其它學科探究相比的獨特之處，并開始對探究教學的邏輯起點與教學設計進行研究[8]，同時結合具體案例研究改進數學探究課堂實施的策略，進而有效開展數學探究[9]．這是數學教育研究工作者們在感性認識基礎上的不斷實踐、勇于反思，嘗試把握數學探究本質的階段，該階段對數學探究不再僅僅停留在經驗層面，而是注重深層次的理性探析，挖掘其內涵與價值，確立數學探究在數學教育體系中的地位，并進行相應的數學教學實踐探索，嘗試在理論建構基礎上指導具體的教學實踐．

2.2.3 綜合探索階段

在數學探究研究10年之后，研究者們開始嘗試全方位理解和把握數學探究體系，包括對其內涵和價值，數學探究與數學課程、教學、學習、評價等各方面的內在關系研究，其中代表學者有徐斌艷、劉云、朱建明、謝益民、蘇洪雨等．在數學課程方面較為突出的是徐斌艷通過建立高中數學教材探究內容的分析指標體系展開教材分析[10]；教學、學習方面為克服現實的影響因素，朱建明提出“微型探究”助力數學學習[11]；評價方面蘇洪雨進行了基于問題設計的數學微探究評價體系構建嘗試[12]．這是數學教育研究者嘗試對數學探究展開系統的綜合探索階段，但其研究的深度、廣度還需不斷強化．

3 “數學探究”研究的經驗梳理

3.1 理論經驗

3.1.1 數學探究的內涵

數學探究是基于建構主義、人本主義、認知心理學對波利亞“數學發現”、弗賴登塔爾“再創造”教育思想的繼承與發展，內涵包括數學課程觀、教學觀、學習觀3個維度的理解，即數學探究活動（能力）、數學探究教學以及數學探究學習．其實質上均是從20世紀50年代美國“教育現代化運動”芝加哥大學教授施瓦布所倡導的“探究式學習”中發展而來，逐漸在數學課程、數學教學、數學學習等維度具體化、操作化的嘗試，其中后兩者是對數學課程的實施[13]．數學探究與一般的探究類似，可從理念、精神、資源、操作、方法等層面解說，數學探究需要先進的理念、執著的精神，探究共同體帶著好奇浸入到數學問題的情境、任務中，通過合作、實驗、模擬、觀察、猜測、聯想、推理、表達、反思等形成探究模式[14]，從中感悟、體驗、形成數學智慧．數學探究雖具有一般探究的基本特征，強調學生的主體性、過程的體驗性、動態的生成性、環境的開放性，但數學的高度抽象性、廣泛應用性、邏輯的嚴謹性決定了其有別于一般的探究，區別在于數學探究具有形式、內容、方式的獨特性，更多的是體現思維的參與性、活動內容的豐富性，以問題解決活動為主要形式，以數學直覺為重要途徑[15]．同時，持有動態的數學觀是順利開展數學探究的本體論基礎[16]．

3.1.2 數學探究的流程

從數學探究的內涵可知，數學探究體現在數學探究活動中，而活動具有流程屬性，通過不斷地優化探究活動的流程以實現數學探究的目標．從權威的課標與實踐維度梳理，其流程如表3所示．

從現行的數學課程標準及以往具體實踐中的數學探究流程來看，隨著研究的不斷深入，理想化的數學探究流程從開始的注重觀察分析、驗證反思數學事實，到現在更加強調問題解決思路與方案的提出以及在數學探究過程中的學習方式，即自主探索、合作研究、質疑反思；數學教學實踐中的數學探究則從以往單一的“順序式”發展到現在注重過程、方法，并不斷完善的“循環式”，意在促進學生數學學科核心素養的發展．

表3 數學探究流程

3.1.3 數學探究的方法

數學探究作為一種活動（能力）、教學或學習方式，都有方法要素的介入，而方法正是數學探究取得實效的保障．從宏觀角度看，開展數學探究活動需要借助方法的力量激活活動中的主客體參與探究活動；進行數學探究教學應因材施教、因地制宜，運用一切可行的方法促進教學的有效開展；展開數學探究學習要基于建構學習理論讓自主、合作、探究的方法發揮功效．從微觀的角度看，數學探究啟動、開展、反思都要用科學的方法維護其有效運行，特別是數學探究的主導者教師應讓學生充分地運用類比、歸納、演繹等思維方法不斷產生問題；運用觀察、測量、實驗等收集資料，分析現象、概括形成觀點或結論等；并要從理論與實踐的視角不斷反思數學探究的得與失，進而創設民主、平等的氛圍為學生提供通過調查法、作品分析法、行為檢測法等反思數學探究過程的成效；通過對探究內容、過程及形式進行評價等[17]；除此之外數學探究還可從數學本質或數學的研究方法，即觀察與實驗、分析與綜合、比較與分類、抽象與概括、一般化和特殊化等一般方法以及數形結合、化歸、模型化、公理化等特殊方法出發引導學生開展數學探究[18]．

3.1.4 數學探究的價值

數學探究無論是對數學體系的豐富，還是數學學習共同體數學素養的發展都具有十分重要的價值．開展數學探究有助于了解數學概念、原理和結論產生的過程，理解數學體系中的直觀和嚴謹的關系，嘗試體驗數學問題研究的過程與激情，從而建立嚴謹的科學態度和不畏困難的科學精神；開展數學探究有助于探究共同體親密地接觸認知數學中的原理、思想與方法，感受和體驗數學的美、統一和力量，形成勇于質疑和善于反思的習慣，提高發現、提出、分析和解決問題的能力，進一步發展學生的創新意識與實踐能力[19]．數學探究彌補了傳統教學中的不足，重點轉向關心學生的學習，注重探究、實驗、討論、交流、合作等學習方式，使得教與學更加融洽，同時以“問題引領”的方式向學生的生活領域延伸，更加強調學生對實際活動過程的親歷體驗與問題情境、問題意識和問題解決能力拓展，使得學生能更加體會到數學應用的廣泛性、數學的理性精神及其文化內涵[20]．同時數學探究課堂還有助于提高學生的發散思維水平，增強學生學習數學的興趣，深化其數學體驗，養成探究性學習的習慣[21]．

3.2 實踐經驗

3.2.1 課程路徑的實踐

狹義的數學探究即數學探究活動，它是一種課程觀意義的探究，因此重視數學探究這一“資源庫”的建設尤為重要，其具體的建構首先體現在數學教材上．課程在很大程度上影響著學生的數學成就，數學探究活動的設計與實施就是源于數學教材中的思考、探究、說一說、議一議、做一做等活動．依據相關文獻分析，發現數學探究的初步認識階段到現在的綜合探索階段，學者們大都是基于數學探究課程的開發工作而展開．

數學探究課程路徑是數學探究最基本的實踐路徑，是數學探究卷入課程并進入到師生共同體學習視野的關鍵所在，不管是義務教育還是普通高中的數學教材，處處顯現數學探究的因素，與數學的概念、原理、方法一起構成易于學習的數學材料．眾多的學者以國內外具體數學教材為例，分析數學教材中的問題、習題等可開展數學探究的素材，并剖析這些“鮮活資源”的探究要義．如林婷以人教A版高中數學教材中的教學片段為例提出從激發情境、過程以及深挖例習題等3方面激活教材，讓數學探究教學充滿靈動[22]；刑昀通過對新加坡初中教材中“函數及其線性圖象”一章探究活動的內容類型、開放水平、完成方式的分析，得出關注程序型知識探究和創造型應用探究、設置不同探究水平間的過渡及思維與實踐并重等具體結論，以啟示中國初中數學探究活動的有效開展[23]．葉乾海依據與英國《國家課程》匹配的第三學段中的例子：有關數學、圖形、圖象、計算器（機）如何進行數學探究進行了研究，指出其數學探究的基本特點及教學要求，啟發中國數學探究課程開發[24]．還有學者依據數學探究內容分析指標體系[10]對不同國度、不同版本教材的數學探究內容進行比較，確立、發現異同并對中國數學探究教材設計的應然狀態提出建議，如斯海霞和徐斌艷將中國數學人教A版和日本數學教材的高一內容比較，指出中國數學探究內容應注意避免習題化、重視綜合實踐性以及防止流于形式[25]．中國最新版本的教材便吸取了以上經驗，如2019版普通高中北師大版教材在所有的章節中均設置了“思考交流”欄目，其注重在知識中滲透探究的方法，同時還設有專門的數學探究課，以期幫助師生有層次地開展數學探究[26]．

3.2.2 教學路徑的實踐

自數學探究提出以來，在新的教育理念指引下，廣大數學教育工作者開始了教學探索，不斷地改進中國數學課堂教學現狀，為鑄造華人如何學數學的中國特色貢獻力量．在數學教學實踐中數學探究融入到基礎教育始末，以不同方式深深地嵌入到數學教學之中，要求采取更加有效的教學方式來體現數學探究的教育教學價值．學者們主要針對不同學段具體的數學探究案例及不同時期數學探究教學現狀進行診斷分析，并依據問題提出相應的教學策略．無論案例或是現狀分析均是數學探究從理論到實踐，再到理論的逐步完善過程，形成的數學探究教學經驗彌足珍貴．

數學探究教學中案例研究大多是通過微觀的單課剖析數學探究的內涵價值、實施環節以及檢測評價，如對數學探究活動的教學設計、教學反思、信息技術的使用等進行診斷分析．在數學探究開展的二十余年里，出現如“滑過”“假探究”“形式化”等異化現象，其原因有教師、學生、教學實踐環節及教學環境等各方面[27]，但主要在于教師對探究性教學的內涵意義等存在認識誤區，并缺乏相關的教學理論指導[28]．應對這種局面研究者提出的教學策略分課前、課內、課后3個時段，課前教師需確定主題、選擇內容并進行教學設計以及教師話語設計[29]；課內即數學探究課堂中，教師應因材施教、創設良好課堂氛圍、創造性地使用信息技術，最大限度發揮教師的組織者、引導者以及合作者作用；課后應布置開放性練習題、建立完善的評價體系并進行合理評價．基于教學視域的數學探究已經成為數學教學中不能缺失的環節，要把數學探究的基因滲透到教學的每一個環節中，建構“微型探究”[30]和“興趣小組”[31]等打通數學探究與數學文化、數學建模之間的鏈接，以不斷促成學生數學探究能力、問題意識的強化，發展學生數學學科核心素養．

3.2.3 學習路徑的實踐

探究是人類本能的認知方式，數學探究學習則是學生數學學習過程中必不可少的學習方式．縱觀數學探究學習方面的研究，主要是有關數學探究學習的基礎、模式、關鍵環節、實施條件、局限性等研究，以及信息技術輔助下的數學探究學習、教學模式和相關建議等．與數學探究教學研究相似，數學探究學習研究也以案例的方式來進行，從中探析數學探究學習的意義、探究課題的選擇、確立、開發等，個別研究梳理了數學探究學習的特點，啟發數學教育共同體深度思考數學探究學習的本真涵義．

數學探究順利開展的基礎是要有動態數學觀及由此形成的數學教學觀、數學學習觀[16]，在此基礎上明晰數學探究與其它學科探究的區別，進而有效地開啟數學探究學習．鄧文虹等人揭示了初中數學主題探究性學習中存在基于演繹推理、數學實驗、社會調查、文獻研究等4種探究模式[32]．數學探究立足知識并強調素養的提升，重點關注轉化性過程、主動力量、臨界點以及過程性評價4個關鍵環節[33]，同時自我監控活動也是一關鍵環節，其具體運作與特點同樣值得關注[34]．作為數學教育工作者也應明確數學探究的局限性，鄭毓信、吳曉紅從探究學習與科學知識內容的掌握、數學思維的學習以及其與建構主義和情境理論3方面關系分析其局限性[35]．因此，數學探究必須在一定的條件下才能夠順利展開，其中強化教師信息技術與數學教育的融合意識就是其中之一，基于案例研究信息技術支持下的數學探究學習成為數學教育研究者青睞的研究方式[36-37]．但總體來看，數學探究學習的案例研究會出現探究泛化、窄化而引起的將數學探究歸結為數學解題的探究過程，沒有觸及數學探究學習的本質，因此要針對數學學科的特點研究數學探究的學習問題，從而投身于亟待解決的探究學習的理論與實踐相關問題的研究[38]．

3.2.4 評價路徑的實踐

課程改革倡導評價關注學生學習過程與結果兩方面，在評價中不僅重視評價主體多元化、評價方式多樣化、評價內容全面化等，而且提出評價過程與結果相融合、評價理念與思路相一致，充分發揮以評促改的功能．數學探究作為一種基于已有認知材料、教師引導下的學生數學再創造的數學活動，對其過程的評價關系到數學探究的質與量．數學探究評價研究起步較晚，且最有價值的研究乃是對其評價標準或體系的建立以及對探究試題的研究．

朱哲民、賈冰立足SIRA理論和實踐教學，通過探究主體、探究互動、探究資源、探究能力4個維度嘗試建立中學數學探究教學的評價標準[39]；蘇洪雨面對目前由于教師對“探究”理解偏差及刻板印象（探究費時）而導致的數學探究實施過程中的表演性突出這一現狀提出了一種易于操作、可以較好地融入課堂教學的“中間地帶”——“數學微探究”，并基于問題設計指出其評價體系的建構[12]．而早在2008年單肖天便針對數學探究題目，即無確切結論、由學生憑借數學意識以及以往數學活動經驗經過一定數學活動，歸納規律，最后做出正確結論與判斷的試題，總結了當時初中數學探究試題考查特征特點，啟發教師善于挖掘、換位思考、合情推理，豐富教學資源，不斷優化教學過程，提高教學效果[40]．隨著“立德樹人”的提出，數學育人價值突出表現在愛國情懷、誠實守信、熱愛勞動、理性精神、探究能力、創新意識、辯證思維等方面，數學探究的評價無疑要與高考命題立德樹人的新亮點保持一致[41]．

4 “數學探究”研究的未來展望

4.1 “數學探究”研究的價值取向：基于學習者數學學科核心素養的發展

數學探究承載著發展學生數學學科核心素養的重要使命，即重點在于提升學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析素養，以此定位數學探究研究的價值取向．要基于學習者數學素養發展的視角對數學探究進行整體設計，突出問題導向、目標導向、任務驅動、合作交流、過程把握，讓學習者主動參與“做數學”“學數學”的全程，積累數學活動經驗，并聯系實際“用數學”，讓學習者在數學探究的全過程中，從數學概念、原理、思想、方法的“源”“流”角度明晰數學探究之意境，使其最終能學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界[20]．

4.2 “數學探究”研究的機制取向：基于數學問題解決要素的優化

數學探究的基本要義是以數學問題解決為導向，因此基于數學問題解決要素的優化是數學探究研究的核心機制．一般情況下數學探究的過程也就是數學問題解決的過程，這個過程是一個系統工程，關涉眾多要素，不僅涉及數學探究的內外環境、主體、情感等要素，而且涉及數學探究中的問題、方案、方法、反思等要素，無論是數學探究的基礎、主體、對象、工具、路徑、評價等主體性要素，還是數學探究的時間、環境、資源、空間等關聯性要素都需要理順其關系，探析其功能，優化其要素，形成數學探究研究系統的完善機制．讓學習共同體在充滿好奇、真情投入、渴望成功的狀態下浸泡在數學探究的過程中，開展基于數學問題解決的數學探究活動，經歷數學探究的過程，夯實四基、四能，提高數學學科核心素養．

4.3 “數學探究”研究的前沿取向：基于理論之維與實踐之徑的創新

數學課改以來，數學探究研究已有多年，基于數學探究的重要性和迫切性，數學探究將是一個可持續研究的話題，其研究的前沿熱點應定位于理論之維與實踐之徑的創新．數學探究研究的理論之維就是要從數學發展與學習者數學素養提升的視角聚焦數學探究科學問題、把握數學探究真實問題、深耕數學探究核心問題、凝練數學探究重大問題、拓展跨學科數學探究問題、科學預測數學探究未來問題來進行理論探索，加強實證研究，提煉研究結果，開創數學探究研究新局面，使研究更加系統、完善．數學探究研究的實踐之徑要從教育、心理、資源、情境等條件性要素出發，在激發學習者好奇、喚醒學習者思維的情形下探析數學探究開展的路徑與方式，遵從數學探究的形式邏輯、檢驗數學探究行為的品質提升、把握數學探究實踐的層次節奏、從實踐維度總結提煉數學探究的有效路徑，融理論與實踐為一體，提升數學探究的研究質量，以理論促實踐、實踐完善理論，豐富“數學探究”研究的體系建構．

5 結語

細數數學探究20年的風雨歷程，取得了大量的理論與實踐成果，聚焦于數學探究的理論與實踐問題進行研究，體現出中國數學教育的研究特色，突出了數學素養提升導向，成為數學教育研究領域最豐富、最寶貴的資源，但這些成果大多還是主觀的、個體的、零碎的，需要更進一步地系統整理與分析，更深層次地加工，提高研究的規范性，揭示數學探究要素之間的內在聯系，弄清這些聯系的因果關系，探析關系間的作用機制，獲得關于數學探究的規律性認識．因此，數學教育研究工作者需要擁有數學探究研究的自覺與自信，樹立批判與反思意識，重視與數學教育相關聯的機制分析，增強數學探究研究的時效性和影響力，促進數學探究研究邁上一個新高度．

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Twenty Years of Research on Mathematics Inquiry: Review, Experience and Prospect

YANG Yi, LIANG Hui-fang, ZHANG Ding-qiang

(College of Education, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070, China)

“Mathematics inquiry” is one of the core topics in the field of mathematics education in the past 20 years, which is not only the need of promoting the curriculum reform, but also the need of the development of the times. Through the analysis of the research trajectory of mathematical inquiry, it is found that it has gone through three stages: preliminary understanding, reflective practice and comprehensive exploration. Combing the previous theoretical and practical research experience lays a solid foundation for the subsequent in-depth exploration. The future research of “mathematics inquiry” will take the development of students’ mathematical core competencies as the value orientation, the optimization of mathematical problem-solving elements as the dynamic mechanism, and the innovation of theoretical dimension and practice path as the leading orientation. Thus, it will form a new situation of “mathematics inquiry” research.

mathematics inquiry; history review; experience combing; future prospect

G629.21

A

1004-9894（2020）06-0040-06

楊怡，梁會芳，張定強．“數學探究”研究二十年：回顧經驗展望[J]．數學教育學報，2020，29（6）：40-45．

2020-09-30

西北師范大學研究生培養與課程改革項目——數學教育研究與論文寫作（2020KGLX01001）

楊怡（1996—），女，甘肅慶陽人，碩士生，主要從事數學教學論研究．張定強為本文通訊作者．

[責任編校：周學智、陳雋]