基于APOS理論和RMI原則的二次函數圖象平移教學實驗研究

江春蓮，胡 玲

基于APOS理論和RMI原則的二次函數圖象平移教學實驗研究

江春蓮1，胡 玲2

（1．澳門大學 教育學院，澳門 999078；2．北京字節跳動有限公司上海分公司，上海 201100）

函數圖象變換是中學數學中的重點和難點，嘗試運用動態幾何軟件呈現二次函數圖象平移過程中點的共同運動特點以促進學生的理解．采用準實驗設計，實驗包括6節課，其中4節用于教學實驗，2節用于前測和后測．實驗組（=23）的教學是基于APOS理論以及RMI原則設計的，并在DGS的支持下進行；而對照組（=22）則運用傳統的教學，也無DGS的支持．結果表明：實驗組的學生在點的平移、二次函數圖象的平移以及復合函數和圓的平移等拓展領域均好于對照組．該實驗設計可以擴展到三角函數圖象變換教學．

APOS理論；關系—映射—反演原則（RMI原則）；函數；圖象平移；多重表征

1 問題提出

2 理論框架

關于二次函數圖象平移的教學實驗研究設計主要以杜賓斯基與其合作伙伴[3，9]提出的APOS理論為基礎．該實驗是在SSP的支持下進行的，SSP可以作為建立二次函數的代數表征和圖象表征之間關聯的媒介．然而，若要解決點的平移的代數表征和函數圖象的代數表征之間的認知沖突，以及函數圖象沿軸平移和沿軸平移的代數表征之間的認知沖突，需要運用關系—映像—反演（relationship mapping and inverse，簡寫為RMI）原則．圖1展示了實驗所涉及的4個方面之間的關系．下面將從APOS理論、函數的多元表征、DGS軟件在函數教學中的應用和RMI原則4個方面作文獻綜述．

圖1 “APOS理論”“多元表征”“SSP和RMI原則”之間的關系

2.1 “操作—過程—對象—圖式”理論

在APOS理論中，當學生能夠按照一套明確的指示對一個數學對象做變換時，就說他達到了操作水平．當學生不需要進行任何實際的操作就可以在腦海中進行整個操作或作反思時，就說學生將操作內化成了一個過程．如果學生意識到過程可以當作一個整體來把握并且可以對其實施更高級的操作時，學生的理解就達到了對象水平．此時，學生將內化形成的過程濃縮成一個對象．數學圖式可以看作是當前的操作、過程和對象等概念和其它先前構建的圖式所形成的連貫的整體[3，10-12]．圖式的連貫性可通過學生能否用它來解決特定的數學問題的能力來確定[8]．杜賓斯基的圖式概念源自皮亞杰[13]，皮亞杰指出學生學會了一個專題就意味著他能夠解決和此專題相關的問題．

函數是中學數學的核心概念[2，14-15]．因此，關于函數概念的教與學的研究比較多[4，16]．杜賓斯基[13]認為，如果一個學生只能用數字代替公式中的字母，他對函數概念的理解處于操作階段．如果他能內化這些操作并能將情境看作是對對象實施的一個操作，而該操作可以將一個函數對象變為另一個函數對象，他就能夠協調函數過程及其圖象，他對函數概念的理解就達到了過程階段．反轉函數的知求的過程以求得反函數可以看作是對函數的過程理解水平．當學生對函數的理解完成了內化—壓縮過程并將其視為一個對象時（如可以解微分方程或建立不定積分），就可以看作達到了函數的對象理解水平．理解函數圖象的平移和其它變換可以看作是對函數概念的過程和對象理解水平．

在運用APOS理論描述學生的建構過程時，研究者需要對學生要學習的概念從發生認識論的角度進行分解，生成一個假設的模型，以描述學生學習該數學概念可能需要建構的心理結構和機制[8]．結合RMI原則、多重表征理論和信息技術的整合理論，研究中的發生認識論的解構如下．

（3）對象．當學生能將二次函數的圖象平移濃縮成一個整體，并遷移到一般的單變量函數時，更高層次的內化就出現了．RMI原則在這一過程中發揮了類似的作用．

（4）圖式．主體可以運用函數圖象平移的策略來解決其它涉及圖形變換的問題，例如圓的平移或壓縮等，形成連貫的知識體系．

2.2 函數的多重表征

日常用多重表征表示同一個數學概念，如函數，常用解析式、列表和圖象等來表示．研究表明，與只通過單一表征（多數是代數符號表征）學習數學的學生相比，通過多重表征學習數學的學生通常對知識的記憶更長久，對知識的運用也更加高效[17]．多重表征可以促進學生對抽象的數學概念的理解[18-19]．中國的中學數學課程非常強調數形結合的思想方法，以幫助學生建立代數表征與圖形表征之間的關聯，并被廣泛應用于數學教學和數學問題解決．

多重表征之間的轉換可以幫助學生進行歸納．歸納能力是代數推理的一個標志，特別是在思維習慣上需要有重大突破時[6]．德雷福斯[18]提出歸納過程一般需要經歷如下4個階段：使用單個表征，平行地使用多重表征，在平行的多重表征之間建立聯系，將不同表征整合在一起并能在彼此之間靈活進行轉換．

多重表征的使用為抽象數學概念的學習提供了便利，然而不同表征之間的變換對學生來說，有時又會造成認知障礙[18-20]．借助現代資訊科技，可以幫助學生克服這些認知障礙．

一個函數可以用多種不同的表示形式，如語言、數字、圖象和代數符號等形式[4]，它們呈現出函數的不同特征[21]．所以學生不僅需要運用多重表征來表示函數，還需要建立不同表征之間的關聯，才能形成對函數的完整理解．大量研究表明多重表征的運用有助于函數的教學[11，22-24]，其不僅有助于學生理解觀察到的現象與函數概念之間的聯系，也有助于學生對函數概念的理解從操作水平提升到過程水平．

代數表征和圖象表征之間的互動可以幫助學生在大腦中建構關于函數圖象平移的知識．研究者試圖以SSP為媒介去建立函數的多重表征之間的聯系．在函數圖象平移的過程，SSP可以動態地呈現原圖象上的點如何移到新的函數圖象上，這種動態表征有助于建立原函數圖象和新函數圖象之間的聯系．以SSP為媒介的多重表征也有助于學生通過同時顯示的代數表征和圖象表征的變化歸納函數圖象平移的普遍規律．DGS軟件（包括幾何畫板GSP、SSP等）能動態地、靈活地處理不同表征形式的函數，例如表格、圖象、解析式等形式[25]，其提供的多重表征及其之間的動態變換可以豐富學生對數學對象和過程的理解．

2.3 動態幾何軟件

當前，可用于數學教學的軟件有很多，如可用于代數教學的軟件有計算機代數系統（CAS）、SimCalc、動態幾何軟件（包括GSP、SSP等）以及其它相似的軟件．與傳統的代數教學相比，這些軟件提供的環境通常具備如下5個特點：（1）它提供了支持性的、豐富的問題解決環境；（2）減少了用于技能訓練的時間，因此學生將更多的時間和精力用于發展概念性理解；（3）技術的廣泛應用；（4）提高了學生的學習動機；（5）促進了與現實世界問題的聯系[6，23-24，26-28]．CAS軟件建立了圖象、數字和符號運算之間的多重聯系，這使得老師和學生可以用它來解決各種現實世界問題[29]．如在SimCalc中，使用者能調查和研究模擬的現象，探索與運動相關的數學概念[30]．

自20世紀80年代第一個DGS軟件GSP問世以來，動態幾何的教育價值很快得到世界各國數學教育工作者的肯定，DGS軟件在數學教學中的運用也一直是一項熱門的研究課題．在傳統的數學課堂里，DGS軟件通常用作教學的輔助手段．如中國的數學教師在制作課件時，常使用SSP來幫助學生探究幾何對象之間的關系，掌握它們的本質屬性[31-32]．在創新的數學課堂里，DGS則通常用作學生的學習工具．這些工具給學生提供了獨立探索數學思想、驗證假設和分析例子的機會．當學生的學習變為主動時，老師的角色則變成了學習的指導者和促進者．這種全新的師生關系提高了學習效率并且促進了師生之間在情感和學術上的交流[27]．近來有許多研究關注到DGS軟件提供的動態行為（如拖曳），特別是學生運用DGS軟件動態行為的策略可以促進他們建構抽象的數學概念[24，28，33-35]．

計算機軟件（如DGS）如果運用得當，可以促進學生的縱向發展（從操作到對象水平的發展）和橫向發展（不同表征之間關聯的建立）[9，12，18，23-24，36]．計算機軟件可以用具體的形式表示抽象的概念，進而簡化學生學習的縱向發展過程．它還可以讓學生在對一種表征進行操作的過程中研究另一個表征的相應變化，進而幫助學生建立多重表征之間的聯系[36-37]．SSP軟件主要起到輔助教學的作用，其主要有兩個作用，一是同步顯示多重表征，幫助學生建立它們之間的關系；二是在函數圖象平移的過程中追蹤對應點的變化．圖2和圖3分別展示了原函數圖象上的每一點如何一致地沿軸和軸平移到新的函數圖象上．與此同時，希望SSP的運用能激發學生對數學學習的興趣．

圖2 原圖象上的每一點以相同的方式沿x軸平移

圖3 原圖象上的每一點以相同的方式沿y軸平移

學生可以通過追蹤移動圖象上的點，看到所有的點以相同的方式移動，來理解函數圖象的平移過程．必須注意到，二次函數沿軸的平移看起來比沿軸的平移更明顯．在圖3中，兩個終點所走的距離似乎比最低點所走過的距離要短，這里有個視覺差．這個問題后面還會作進一步探討．

2.4 兩個認知沖突

2.5 關系—映射—反演原則

圖4 RMI原則

3 研究問題

研究旨在回答這樣一個研究問題：“與傳統教學相比，基于APOS理論和RMI原則設計的、在DGS支持下的一元二次函數圖象的教學能否更好地促進學生對函數圖象平移的理解？”對應的研究假設是：與傳統教學相比，基于APOS理論和RMI原則設計的、在DGS的支持下的一元二次函數圖象的教學能更好地促進學生對函數圖象平移的理解．

4 研究方法

采用準實驗設計，實驗時間跨兩周，總共6節課，其中4節用于教學，前后兩節分別用于前測和后測．實驗組學生接受SSP支持下的實驗教學，對照組則采用傳統的教學，不使用任何DGS軟件．

圖5 RMI原則在函數圖象平移中的應用

實驗對象是來自西安市某校兩個十年級的班級共45名學生．其中實驗組學生23名（女生8名，男生15名）；對照組學生22名（女生7名，男生15名）．兩班學生男女比例比較接近．實驗組和對照組的教學均由原班數學老師實施，是同一位老師．

實驗措施：在教學實驗進行之前，兩個班的實驗對象已在九年級時學習過二次函數并且知道二次函數的基本特點．他們也學習過二次函數圖象平移的基本規則，即左加右減，上加下減．實驗組的教學主要是基于前面提到的發生認識論視角的分解而設計的，并且要先介紹3個背景專題．實驗組的教學從點的平移開始，通過二次函數的圖象平移，到單變量函數的圖象平移．在SSP的支持下，實驗組的教學還側重于展示平移前后兩個函數圖象上對應坐標點之間的關系以及函數的圖形表征和代數表征之間的關聯．四節課的教學涵蓋了如下7個專題．

（3）點的平移．這部分同樣借助于SSP的支持，涉及坐標平面R2上點的平移以及平移過程中的多重表征．

（5）二次函數圖象的平移1（頂點法）．基于頂點的平移，使用RMI原則將原函數和平移后得到的函數關聯起來．

（6）二次函數圖象的平移2（任意點）．由二次函數上特殊的點（如頂點）擴展至二次函數圖象上的任意點，在SSP的幫助下，學生會發現不僅是二次函數圖象的頂點，該圖象上的任意點都以相同的方式平移．學生可能也會認為函數圖象上的所有點跟著頂點做相同的平移．

（7）單變量函數的圖象平移（任意點）．第六部分可以作為這里的引入部分．在這里，學生可以發現第六部分的規則適用于任何單變量函數圖象的平移．

數據分析．對于填空題，使用0—1評分法．還確定了參與者可能達到的APOS的階段．處于操作前階段的學生無法在所有涉及操作階段的題目上得到正確的答案．而處于操作階段的學生應該在所有涉及操作階段的問題上得到正確的答案．處于過程階段的學生應該在所有涉及操作和過程階段的問題上得到正確答案．處于對象階段的學生應該在操作、過程和對象階段的所有問題上得到正確答案．處于圖式階段的學生應該能正確回答所有問題．

通過檢驗比較實驗組和對照組學生的成績增長是否有差異．

5 實驗結果

實驗得到的Cronbach’s系數是0.84，所以從統計意義上來說，測試是可信的．下面將首先報告兩組學生的總分，然后再呈現達到操作、過程、對象和圖式等階段的學生的百分比，以比較兩組學生的表現差異．

表1 實驗組和對照組學生在前測和后測的原始總分的 均值（標準化的）和標準差

注：前測滿分是25分，后測滿分是34分；前測和后測標準化后的范圍是[0, 100]；**<0.01．

表2展示了在不同APOS階段學生的百分比．對照組的學生在前測和后測中的百分比沒有太大差異．在前測中，實驗組的學生在操作階段的百分比高于對照組，而在其余3個階段，實驗組和對照組學生在百分比之間沒有多大差異．然而，在后測中，實驗組的學生達到圖式階段所占的百分比遠高于對照組，而且實驗組的學生在操作階段所占的百分比也遠低于對照組．盡管在過程和對象階段，實驗組和對照組學生的百分比之間沒有較明顯的差異，實驗組學生在后測中到達對象階段和圖式階段所占的百分比均有提升．與此同時，實驗組的學生在后測中達到過程階段的百分比和圖式階段的百分比均高于前測中的對應百分比，相應地，實驗組學生在后測中處于操作階段的百分比較明顯地低于其在前測中的百分比．

表2 學生在不同APOS階段所占的百分比

這些結果表明，研究設計有助于實驗組學生在函數圖象平移的理解方面從操作階段向圖式階段提升．特別地，更多的學生能夠在腦中建構二次函數圖象平移的意象，并運用這一策略解決其它數學圖形的平移問題．SSP的使用不僅可以促進學生的理解從操作階段向對象階段提升[3，9，11]，也可以幫助學生從對象階段向圖式階段提升．他們可以擴展函數圖象平移的策略來解決解析幾何中的圖形（如圓）平移問題．RMI原則的使用有助于學生將這種問題解決的方法融會貫通．

6 討論

研究表明：基于APOS理論和RMI原則設計的、在DGS支持下的教學可以幫助實驗組學生形成對函數圖象平移的更好理解．同時，實驗組學生在拓展問題上的突出表現表明：該教學設計可以幫助實驗組學生完成從操作階段向圖式階段的過渡．

之前的研究表明，大多數學生對函數概念的理解停留在操作階段，而沒能達到APOS理論中更高的水平[4]．研究結果表明：好的教學設計是可以幫助學生從操作階段提升到過程階段，甚至更高的階段．怎樣達成這個目標呢？研究中試圖去跟蹤一些點以幫助學生看到原函數和新獲得的函數圖象上的點是如何關聯的．這種跟蹤也可以讓學生看到所有的點以相同的方式移動，因此可以幫助學生看到原函數圖象上的點和新獲得函數圖象上的點之間的一一對應關系．DGS軟件所提供的跟蹤功能的創造性運用，幫助實驗組學生看到二次函數圖象的平移，不僅是基于相應點的平移，更重要的是均與頂點做相同的平移．點的跟蹤給學生提供了一個將操作內化的機會．研究者觀察到大多數教師只是追蹤一個運動著的函數圖象，希望學生能看到原函數和新獲得函數之間的關系．然而，如果不基于點的平移，學生將很難看到兩個圖象之間的關聯．

當然，跟蹤的運用只能“顯示”平移對圖象的影響，包括對圖象表征和代數表征的影響．DGS提供了德雷福斯所建議的可平行使用多個表征的平臺．然而，它并不能解釋點的平移和函數圖象平移之間的認知沖突，這時RMI原則的使用發揮了更重要的作用．實驗中RMI原則的運用不僅能幫助學生解決認知沖突，還能將這一策略推廣到解決解析幾何中一般的圖形平移問題．同時，RMI原則的運用也能避免傳統教學方法給學生造成的困惑，因此也可能會降低實驗組學生的認知負荷．

7 啟示

研究表明：點的平移是學生理解函數圖象平移的基礎．不幸的是，在20世紀90年代，教學中已經將點的平移從高中數學課程中刪除．強烈建議重新將這一內容加入高中數學課程，為學生深刻理解函數圖象的平移和變換打好基礎．

研究主要關注二次函數圖象沿兩個坐標軸的平移，該設計思想同樣可以用于其它函數（如三角函數）及其包括平移在內的圖象變換．同樣地，點的坐標變換也是三角函數圖象變換的基礎．因此，點的坐標變換也應被納入高中數學課程之中，并放在三角函數圖象變換之前．像SSP這樣的DGS軟件所提供的跟蹤功能是一種很強大的工具，它可以顯示兩個相互關聯的圖象上的點與點之間關系，幫助學生建立圖象表征和代數表征之間的關聯．

不可避免，研究也受到實驗條件的限制．首先樣本太小，需要有更大樣本的研究．其次，在前測和后測中需要加入更多的題目，以保證在APOS理論的每個階段中至少有3道題目．最后，在研究中，SSP用來說明原函數圖象和平移后的函數圖象之間的關系．這個工具也可以教給學生，讓他們自己去探索一組函數圖象之間的關聯，以及代數和解析幾何中其它相似的專題．

圖6 函數和圖象之間的關系

圖7 函數和圖象間的關系

8 結論

簡而言之，實驗成功地將多種數學教育理論（APOS理論、RMI原則、表征理論等）綜合在一起解決學生在學習二次函數圖象平移中的困難．對數學教育的貢獻在于它不僅指出了學生在學習二次函數圖象平移時可能遇到的認知障礙，還設計了一個教學計劃以幫助學生克服可能存在的障礙．先前的研究表明學生們對于函數概念的理解常限于操作階段而不能達至APOS理論中更高的層次[4]，這里通過DGS環境的支持，結合RMI原則的解釋所設計的教學可以提升學生的理解．DGS軟件清晰地展示了原函數圖象上的每個點是如何移動到平移后的圖象上的對應點．除此之外，DGS軟件清晰地展現了所有的點都在以相同的方式移動，這有助于學生對操作階段進行內化，從而進入更高層次的過程階段．而對二次函數圖象平移形成較好的理解，必將為今后微積分和大學數學中復合函數的研究奠定堅實的基礎．

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Teaching Graph Translation of Quadratic Functions Based on APOS Theory and RMI Principle: A Quasi- Experimental Study

JIANG Chun-lian1, HU Ling2

(1. Faculty of Education, University of Macau, Macao 999078, China;2. Shanghai Branch, Beijing Bytedance Limited Cooperation, Shanghai 201100, China)

Graph translation of functions is an important but difficult topic in high school mathematics. This study attempts to facilitate students’ understanding of graph translation of quadratic functions in a dynamic-geometry-software (DGS) supported environment. A quasi-experimental study design was used. This teaching experiment was carried out in two weeks including six lessons, four of which were used for teaching and two for pre- and post-tests. The experimental group (=23) received an instruction based on Action-Process-Object-Schema (APOS) theory and Relationship-Mapping-Inversion (RMI) principle in a DGS supported environment. The control group (=22) followed the traditional instruction without using any DGS. The comparison between students’ performance in the pre- and post-tests indicates that the experimental group outperformed the control group not only in items of point translations and graph translation of quadratic functions, but also in items in an extended area including complex functions and circles. This quasi-experimental design can be extended to the teaching of graph transformation of trigonometrical functions as well as geometrical shapes in 2-D and 3-D coordinate systems.

APOS theory; Relationship-Mapping-Inversion (RMI) principle; function; graph translation; multiple representations

G632.0

A

1004-9894（2020）06-0032-08

江春蓮，胡玲．基于APOS理論和RMI原則的二次函數圖象平移教學實驗研究[J]．數學教育學報，2020，29（6）：32-39．

2020-08-18

澳門大學研究基金項目——高中生函數學習路徑分析（MYRG2020-00277-FED）

江春蓮（1971—），女，湖北武漢人，助理教授，主要從事數學問題解決、數學問題提出、數學考試評價、數學教育技術、數學奧林匹克研究．

[責任編校：周學智、陳漢君]