MPCK:基于實證精神的數(shù)學教學研究

倪媛媛

[摘要]MPCK是數(shù)學學科教學知識的簡稱，指數(shù)學學科知識（MK）、教學法知識（PK）以及有關(guān)數(shù)學學習的知識（CK）的綜合與融合其中，本體性知識研究是MPCK研究的原點，兒童性知識研究是MPCK研究的關(guān)鍵，教學法知識研究是MPCK研究的核心。加強對教師MPCK知識的研究，如MPCK知識培訓、教學觀摩、經(jīng)驗反思等，能不斷優(yōu)化教師的教學，促進教師的專業(yè)成長，使學生在數(shù)學學習上得到更好的發(fā)展、

[關(guān)鍵詞]MPCK;實證精神;數(shù)學教學;研究

[中圖分類號]G623.5 [文獻標識碼]A [文章編號] 1007-9068（2020）36-0030-02

MPCK是數(shù)學的核心知識教學基礎(chǔ)，也是教師專業(yè)發(fā)展的重要內(nèi)容。所謂MPCK（Mathematics Peda-gogical Content Knowledge），是數(shù)學學科教學知識的簡稱，一般認為是數(shù)學教師開展常規(guī)教學所具備的三類知識，即數(shù)學學科知識（Mathematics Knowledge，簡稱MK）、教學法知識（Pedagogical Knowledge，簡稱PK）以及有關(guān)數(shù)學學習的知識（Content Knowledge，簡稱CK）。MPCK這一術(shù)語最早源于美國學者舒爾曼提出的學科教學知識（Pedagogical Content Knowledge，簡稱PCK），通過這一概念使人們逐漸認識到教師教學工作的專業(yè)性、獨特性。

基于MPCK視角，秉持實證精神研究小學數(shù)學教學，能讓教師獲得新的啟示，進而改進自己的教學，使學生在數(shù)學學習上得到更好的發(fā)展。

一、本體性知識研究：MPCK研究的原點

對數(shù)學本體性知識進行深度研究，是MPCK研究的原點。對教師的教學來說，首要的問題是“教什么”或?qū)W生“學什么”的問題，這是課程本體論的問題，是教學中最為核心的問題。正如華東師范大學著名教育家張奠宙先生所說的“‘教什么永遠比‘怎樣教更重要”，因為“教什么”涉及教學方向的問題，而“怎樣教”涉及教學方法、策略等問題。

數(shù)學課程本體論的研究，就是MK的研究。進行數(shù)學教學，教師要先研讀數(shù)學教材，因為“教材是知識最為重要的載體”，知識是“鑲嵌”在教材之中的。但在教學實踐中，教師不能“唯教材”至上，對教材頂禮膜拜，在這一點上，葉圣陶先生說得好“教材只不過是一個例子”。這就要求教師進行數(shù)學課程本體論研究時，既要從教材出發(fā)，又不能為教材所束縛。因此，教師研究數(shù)學教材時要瞻前顧后，將分散在教材中的知識點串聯(lián)、整合起來，形成“知識串”“知識塊”“知識群”。

例如，統(tǒng)觀蘇教版小學數(shù)學教材，嚴格地說，《確定位置》在教材中出現(xiàn)了四次：第一次是在一年級上冊，課題為《認位置》;第二次是在二年級下冊，課題為《測定方向》;第三次是在四年級下冊，課題為《用數(shù)對確定位置》;第四次是在六年級下冊，課題為《用方向和距離確定位置》。從教材編排來看這一內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)一年級、二年級的教學主要讓學生初步認識方位、和方向，為四年級與六年級的教學服務(wù)、奠基。認識到這一點，教師就要深入研究四年級《用數(shù)對確定位置》和六年級《用方向和距離確定位置》的內(nèi)容，以及研究《確定位置》的編寫意圖。為此，我們組織教師進行沙龍研討。通過深度研討，教師達成共識：由于《用數(shù)對確定位置》與《用方向和距離確定位置》分別對應(yīng)初、高中《平面直角坐標系》以及《極坐標系》的學習，所以從這個意義上來說，小學階段《確定位置》的學習是為了初中、高中的數(shù)學學習奠基的。有了這樣的整體性視角，教師的教學思路就更明朗、更清晰了。

基于MPCK視角的數(shù)學本體性知識研究，包括數(shù)學知識的核心概念、思想方法等。作為教師，要對數(shù)學知識進行整合、梳理、組織，淡化形式，注重實質(zhì)，不僅重視顯性知識的研讀，更要深入發(fā)掘隱性知識。對數(shù)學本體性知識的研究，尤其要把握其中的數(shù)學思想方法，因為數(shù)學思想方法是最具活力的知識，具有遷移性、統(tǒng)領(lǐng)性、概括性等特點。通過研讀數(shù)學本體性知識，使教師形成正確的知識觀，從而更好地指導(dǎo)自己的教學。

二、兒童性知識研究：MPCK研究的關(guān)鍵

著名教育家盧梭曾經(jīng)說過：“在人類的各種知識中，最有用而最不完備的就是關(guān)于‘人的知識。”同樣，在數(shù)學教學研究中，最不完備的知識就是關(guān)于學生的知識。作為教師，必須基于學生的立場，從學生的立場、視角去統(tǒng)觀數(shù)學知識，去研究學生、發(fā)現(xiàn)學生、引領(lǐng)學生，而兒童性知識研究是MPCK研究的關(guān)鍵。正如德國著名兒童教育家凱斯特納所說的：“只有保持童心的人才是完整的人?！睆哪撤N意義上說，數(shù)學教學成敗的關(guān)鍵，不僅在于對數(shù)學本體性知識的解讀，更在于對兒童性知識的解讀。

兒童性知識研究，不僅需要研究學生一般的年齡特征、心理特征，更需要深入到學生之中，研究每一位學生的認知特點、認知傾向以及迷思概念、相異構(gòu)想等方面。同時，教師要主動地、自覺地把握學生的現(xiàn)實認知路徑、可能認知路徑，揣摩學生理解數(shù)學的歷程，認識到學生數(shù)學學習的優(yōu)勢與障礙等。另外，教師還要考慮到學生的家庭背景、社會政治文化等外在因素的影響。只有這樣，才能讓數(shù)學教學與學生的“最近發(fā)展區(qū)”相契合，使學生以積極的態(tài)度投入到數(shù)學學習中去。

美國學者舒爾曼提出的學科教學知識主要由兩個因素組成，即教師對知識的表征以及教師對學生具體學情的把握。在教學實踐中，這兩個因素是交織在一起的，相互關(guān)聯(lián)、相互依賴、相互促進。當教師擁有較多的對學科知識的表征方式時，就越能把握學生的具體學情，了解學生學習的障礙、困惑等;反之，當教師能夠把握學生的認知傾向、認知特點后，也就能形成多元化的知識表征方式。例如，江蘇省著名特級教師柳小梅執(zhí)教《用字母表示數(shù)》（蘇教版小學數(shù)學五年級上冊）一課時，運用“數(shù)學魔盒”將數(shù)學知識“包裝”起來，以一種近乎魔術(shù)般的教學，讓學生學習“好吃又有營養(yǎng)”的數(shù)學，獲得了好的教學效果。在這節(jié)課中，學生對“變量”的理解是難點，尤其對“兩種相關(guān)聯(lián)的變量”的理解更是有一定的困難?；诖?，柳老師通過“數(shù)學魔盒”中的“魔盒吐數(shù)”功能，讓學生在兩種相關(guān)聯(lián)的變量之間尋找關(guān)聯(lián)性。如學生輸入數(shù)字2，“數(shù)學魔盒”吐出數(shù)字20;學生輸入數(shù)字0.2，“數(shù)學魔盒”吐出數(shù)字2;學生輸入數(shù)字3，“數(shù)學魔盒”吐出數(shù)字30-在多次輸入數(shù)字、輸出數(shù)字后，學生發(fā)現(xiàn)輸入數(shù)字和輸出數(shù)字之間的關(guān)系，即輸出數(shù)字總是輸入數(shù)字的10倍。在此基礎(chǔ)上，柳老師引導(dǎo)學生用字母a來表示任意一個輸入數(shù)字，用lOa來表示相應(yīng)的輸出數(shù)字。在這個過程中，學生體會到字母的本領(lǐng)，明白用字母表示數(shù)的作用和意義。上述教學，由于柳老師設(shè)計的教學符合學生的認知特點，所以能調(diào)動學生的數(shù)學學習積極性，激發(fā)學生的數(shù)學思考，引發(fā)學生的深度探究，催生學生的深度想象，進而挖掘?qū)W生的創(chuàng)新潛質(zhì)，使學生積極主動地建構(gòu)數(shù)學知識。

基于MPCK視角，我們認為小學階段的MPCK具有以下特點：（l）數(shù)學性，即教師教學時要引導(dǎo)學生進行抽象、推理和建模等數(shù)學活動;（2）多樣性，即在數(shù)學教學實踐中，教師秉持不同的兒童觀就會形成不同的教學方式?？梢赃@樣說，每一種對兒童的理解、解讀都是一把鑰匙，能打開神秘的兒童世界;從根本上說，每一種兒童觀都只是提供了一種理解兒童的方式，意味著實踐一種發(fā)展的可能性。因此，在數(shù)學教學中，只有探明與掌握學生的具體學情，教師才能具備多樣化的知識，提高自己的教學水平。

三、教學法知識研究：MPCK研究的核心

傳統(tǒng)的數(shù)學教學注重學生是否掌握了數(shù)學知識，且主要指對結(jié)果性知識的掌握?；诮虒W法知識，從教學法的角度來審視教學，我們不僅要考查學生對結(jié)果性知識的掌握程度，還要考查學生獲得數(shù)學知識的合理性、合情性、合度性。具體而言，教學法知識包括教學觀念、教學理論知識、課程知識等。

事實上，并不是每一位數(shù)學學習優(yōu)秀的學生都能成為一名好的教師。如陳景潤當年曾經(jīng)在北京的一所中學任教，事實證明，教師這一職業(yè)不適合他。從某種意義上說，教師的專業(yè)發(fā)展取決于他（她）教學法知識的優(yōu)劣。正如張奠宙教授所指出的那樣，“教師在數(shù)學教學中要將學術(shù)形態(tài)的數(shù)學轉(zhuǎn)化成教育形態(tài)的數(shù)學”。因此，如何有效地選擇和組織教學內(nèi)容與確定教學方法、如何激活學生的數(shù)學思維和催生學生的數(shù)學想象、如何激發(fā)學生的學習動機與評價學生的學習結(jié)果等，就成為在教學法知識視角下MPCK研究的主要內(nèi)容。例如，《三角形的內(nèi)角和》（蘇教版小學數(shù)學四年級下冊）一課，許多教師在教學中常引導(dǎo)學生進行實驗探究。學生也很爭氣，運用不同方法探究三角形的內(nèi)角和，如“撕角拼角法”“折角拼角法”“量角求和法”等，但無論運用何種方法探究，總有一部分學生的實驗結(jié)果為180°左右，所以這些學生認為“三角形的內(nèi)角和大約是180°”。于是，部分教師會運用初中的同位角、內(nèi)錯角等知識進行教學，將學生拉人并不適合的邏輯推理之中。事實上，三角形的內(nèi)角和是一種超驗性知識，一般來說，經(jīng)驗性知識適合運用探究式教學，而超驗性知識適合運用驗證式教學。因此，在《三角形的內(nèi)角和》教學中，教師不妨先出示結(jié)論，然后放手讓學生運用自己的方法去進行驗證。如此，就能調(diào)動學生驗證的積極性，不會出現(xiàn)上述教學中的尷尬了。

由于教學法知識的差異，面對同樣的數(shù)學知識，不同的教師會有不同的教學設(shè)計，所以有的課堂教學平平淡淡，而有的課堂教學則精彩紛呈。也就是說，基于同樣的教學日標，運用同樣的教學素材，不同的教師會選擇不同的教學法知識，從而形成對數(shù)學問題的不同表征，對教學方法的不同抉擇。

總之，知識結(jié)構(gòu)是教師進行有效教學的條件，其中數(shù)學學科知識（MK）是根基，有關(guān)數(shù)學學習的知識（CK）是關(guān)鍵，教學法知識（PK）是核心，只有將三者有機融合，才能真正創(chuàng)建豐富的教學場域。因此，作為教師，要不斷地學習、不斷地研究、不斷地完善自身的MPCK，逐步建構(gòu)自身最佳的知識結(jié)構(gòu)。同時，加強對教師MPCK知識的研究，如MPCK知識培訓、教學觀摩、經(jīng)驗反思等，能不斷優(yōu)化教師的教學，促進教師的專業(yè)成長，使學生在數(shù)學學習上得到更好的發(fā)展。

（責編 杜華）