立足數學課本　根在核心素養

摘 要：高中數學課堂教學應以數學核心素養為導向，立足于課本教材，充分挖掘課本例題、習題資源，培養學生的數學思維能力。注重邏輯推理，有較強的復雜運算能力，發散思維，以期面對新的高考、新的學習。

關鍵詞：數學課本;核心素養;高考

高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質。在學習了等差數列、等比數列的基本知識之后，再次翻開課本前面的內容，充分利用課本資源，適度拓展和延伸，激發學生的學習興趣。文章先從一道課本例題談起。

一、 課本例題

【例1】 （課本例3，文[2]第31頁）：設數列{an}滿足a1=1，an=1+1an-1（n>1）。

寫出這個數列的前5項。

顯然，按照遞推公式，這里求解是機械的、容易的。已經學過的等差數列、等比數列的通項公式都可以看作是遞推公式，那么例1有沒有通項公式？如果有，怎樣求解？

二、 不動點

（一）不動點的概念

設函數f（x），若f（α）=α，則稱α是f（x）的不動點。

在數列{an}中，若an=f（αn-1）（n>1），α是f（x）的不動點，則稱α是{an}的不動點。

（二）不動點與數列通項

關于函數不動點與數列通項公式之間的關聯，通過簡單的數學變換即可推證。與例1相關的結論表述如下：

設函數f（x）=ax+bx+c（a，b，c∈R，ac-b≠0）。數列{an}，若a1≠f（α1），an=f（αn-1）（n>1），那么：

（1）若f（x）有兩個不同的不動點α，β，則有

an+1-αan+1-β=k·an-αan-β，

其中k=a-αa-β ①

（2）若f（x）有唯一一個不動點α，則有

1an+1-α=1an-α+k，

其中k=2a+c ②

（3）若f（x）沒有不動點，則數列{an}具有某種周期性。

實際上，上述結論的得到是容易的，可以引導學生示意性的推導，以期提高他們的運算推理能力，培養他們的探索創新能力。其他各種形式的不動點與數列通項公式的關聯，無非就是an+1-α與an-α（α為不動點）的各種組合、變形，以期得到熟悉的等差、等比數列，進而求得其通項公式。

其實，（3）若f（x）沒有不動點，那它必有兩個不同的復數根，這樣完全可以歸結為（1）。甚至（1）中也可以只選一個不動點，變形處理即可。

三、 例1的通項公式

考慮f（x）=1+1x=x+1x，由f（x）=x得f（x）有兩個不同的不動點α=1-52，β=1+52，又a1≠f（α1），an=f（αn-1）（n>1）。

（一）用兩個不動點

比照①式，

k=1-1-521-1+52=-3+52，

從而

an+1-1-52an+1-1+52=-3+52·an-1-52an-1+52，

這是一個新的等比數列，其中首項a1-1-52a1-1+52=1-1-521-1+52=-3+52，

于是

an-1-52an-1+52=-3+52·（-3+52）n-1，

解之

an=12·（1-5）n+1-（1+5）n+1（1-5）n-（1+5）n ③

（二）用一個不動點

現在選用一個不動點，作差處理。取α=1-52，

由an+1-1-52=an+1an-1-52=1+52·an-1-52an，

取倒數

1an+1-1-52=an1+52·an-1-52=5-32·1an-1-52+5-12。

這里涉及另一種類型的不動點，即f（x）=dx+e（d≠0，1），f（x）有不動點δ，則對應數列{bn}（bn=f（bn-1）（n>1）），有bn+1-δ=d（bn-δ），從而出現一個新的等比數列。

我們接著處理例1，有

1an+1-1-52-55=5-32·1an-1-52-55。

這里構造了一個新的等比數列，類似于3.1后半段，可以解出

an=1-52+5·22n22n+（-1）n-1·（1-5）2n ④

四、 例1的變式

【例2】 設數列{an}滿足a1=2，an=2-1an-1（n>1）。

求數列{an}的通項公式。

考慮f（x）=2-1x=x，得數列{an}有唯一一個不動點1，比照②式即可求出an=1+1n。

【例3】 （課本習題2.1A組4（2），文[2]第33頁）：寫出數列{an}的前5項：a1=-14，an=1-1an-1（n>1）。

這個數列沒有不動點（方程f（x）=1-1x=x無實數根），事實上由簡單計算，a1=a4=-14，它具有周期性。

為了激發學生的興趣，拓展學生的視野，可以對例1繼續變式：寫出數列{an}的前5項：a1=1，an=3an-1-7an-1-3（n>1）。易見數列{an}有兩個不同的不動點，故可比照①式寫出它的通項公式;很明顯它還具有周期性（a1=a3=1）。

五、 教學啟示

（一）用好課本，注重通解通法

用不動點處理數列的通項公式，課本中雖未提及，但它具有通解通法性，而且學生完全可以套搬套用。適當運用不動點，可以避免解題的盲目性、增強解題的方向感。有利于激發學生學習數學的興趣，提高教師教學的實效性。技高不壓人，常常會有意外的驚喜。

【例4】 （2019年高考浙江卷第10題）：設a，b∈R，數列{an}滿足a1=a，an+1=a2n+b，n∈N*。則（）

A. 當b=12時，a10>10

B. 當b=14時，a10>10

C. 當b=-2時，a10>10

D. 當b=-4時，a10>10

這是選擇題的最后一題，應該算是壓軸題。對于A選項，用估算、迭代的辦法可以證明其真實性;本題如果從不動點的角度來考慮，它就變成了口算題！

考慮x=x2+b求出不動點，對于A選項，沒有不動點;對于B選項，取不動點12，令a=12，則an=12<10;對于C選項，取不動點-1，令a=-1，則an=-1<10;對于D選項，取不動點1-172，令a=1-172，則an=1-172<10。

（二）適度拓展，關注后繼學習

立根數學核心素養，應該充分利用好課本材料。課本在例1之后，給出了《閱讀與思考》（文[2]第32頁），介紹了歷史上著名的Fibonacci數列{Fn}：

F1=F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n>2）

細心的學生會發現，例1的各項明顯具有數列{Fn}的影子！事實上數列{Fn}亦有“不動點”1±52（其實是特征方程特征根，這里借用“不動點”名稱），類似方法可以得到Fn=（1+5）n-（1-5）n5·2n，這是用無理數表示有理數的經典案例。這與例1的兩個通項公式③、④何其相像。

如果沿著這個閱讀材料繼續走下去，美麗而神奇的數學大門會越開越大。比如limn→∞FnFn+1=5-12（黃金分割比）。

適度拓展，適時引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值。有時一個小小的變式，毫厘之差，但卻相差萬里。比如數列{an}：an+1=2a2n-1，

若a1=13，則an=cos2n-1θ，（cosθ=13）;

若a1=3，則an=（3-22）2n-1+（3+22）2n-12。

關注學生的后繼學習與發展，努力提升學生的數學思維、運算求解能力，培養他們良好的數學興趣。立足課本，充分挖掘課本例題習題、閱讀探究材料，有的放矢地進行課堂教學。數學的有趣，也許即在于此。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：2-3.

[2]人民教育出版社等.普通高中課程標準實驗教科書數學5必修（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007：31-33.

[3]伍勝健.數學分析（第一冊）[M].北京：北京大學出版社，2009：28.

作者簡介：

王永軍，重慶市，重慶市廣益中學校。